238 (12)

UO

CO

O

o

O

o_

o

o

<c

oc

CL

II) Z Wąsy liczącej 20 uczniów należy wybrać 5 osób, które wystąpią podczas uroczystości szkolnej. Obije?, na ile sposobów można to uczynić, jeżeli:

I I’każda z wybranych osób zagra inną rolę w scence „z życia szkoły";

2° wybrane osoby będą pojedynczo recytować pięciozwrotkowy wiersz, przy czym każda z nich może recytować dowolną liczbę zwrotek;

3° wszystkie wybrane osoby wykonają wspólnie piosenkę, h) dokonano wyboru 5 uczniów. Oblicz, na ile sposobów:

4° wszystkie Ic osoby mogą ustawić się w szeregu podczas wspólnego wykonania piosenki;

5° osoby mogą zaśpiewać piosenkę, przy czym może być ona wykonana przez dowolną liczbę uczniów.

Komentarz

Rozwiązanie

a) Ze zbioru złożonego z 20 uczniów dokonamy wyboru 5 osób przy różnych założeniach.

Z - zbiór złożony z 20 uczniów, n = 20, k = 5

1“ Zastosujemy wzór na liczbę wariacji bez powtórzeń, ponieważ każda z wybranych osób zagra w scence oraz istotne jest, jaką otrzyma rolę.

v:=

(n-k)l SSB 20! I 15! 15!

16 17 • 18 • 19 - 20 15!

= 1860480

2° Zastosujemy wzór na liczbę wariacji z powtó-tzeniami, ponieważ wybrana osoba może recytować więcej niż jedną zwrotkę wiersza.

V^,,_A= 20⁵= 3200000

RACHUNEK

3° Zastosujemy wzór na liczbę kombinacji, ponieważ wszystkie wybrane osoby wystąpią równocześnie, kolejność wyboru nie jest istotna.

C' =

Cl=

k) k\{n-k)\

20\ I 20!

5*15!

115! 16 - 17 18 19 ■ 20 _ 1 2 3-4 5- 15!

=15504

b)

Z - zbiór złożony z 5 uczniów, rt = 5

4° Zastosujemy wzór na liczbę pcrmutacji, ponieważ dokonujemy ustawienia wszystkich osób i kolejność ustawienia jest istotna.

P_m =n\

P = 5! i 120

5° Piosenka może być wykonana przez jedną, dwie, trzy, cztery lub pięć osób. Zatem liczba możliwości jest równa liczbie podzbiorów zbioru osób pomniejszonej o 1 (zbiór pusty).

2 - 1 = 2 - 1 =31

Formułujemy odpowiedź.

Odp.

1° 1860480    możliwości wyboru

2° 3200000    możliwości wyboru

3° 15504    możliwości wyboru

4° 120    możliwości ustawień

31    możliwości wykonania    piose

nki