239 (23)

238 Rozdział 4. Ocena przebiegów w układach regulacji...

Rys. 4.44. Schemat blokowy układu regulacji poziomu cieczy

gdzie:

min

= 1,3-10“

4,98	1‘
1	.^S\		^11
		= 4,68
min			[s^2

ki = k_ak_aa = 0,083 k_akpk_zk\j

V

= 3,16

OO    JOO

h = J e²{t)dt = ^~ J E (s) E (-s) ds,

0    -joo

I₂ istnieje, bo e (00) = lim [sE (s)] = 0. Dla

E(s) =

W rozważanym przykładzie:

CjS + c₀

d₂s² 4- d\S + d₀ ’

h =

Ądp + (?₀d₂ 2d₀d\d₂

(3)

ci = 0, c₀ = Q_z—, d₂ = 1,    ~ *»*i» ^d° ~ ^kwk

A

A zatem:

, _ •*2 — Tm T" —

Ql^klt

2klkik₂ 2A&*iM²‘

(4)

Minimum I₂ osiąga się dla k_w = 00. Ze względu jednak na ograniczenie całki z kwadratu przyspieszenia k_w będzie ograniczone. Przyspieszenie na wale silnika wyraża się wzorem.

r

W celu sprawdzenia warunku:

(6)

(7)

oo    _i >«

hs = I [a (<)]² di = J [*²“ W] [*²<* (-*)] ds < N

o    -JOO

można ponownie skorzystać ze wzoru (3), przyjmując:

Ci ~    di 1) d\ — k_wk\ d₀ ⁼ k_wk_2y

(w miejsce E (s) należy bowiem wstawić s²a (s)).

Zatem:

_r klk&klffckuki _ „

“ ait.tł—^SJV

A więc minimum I₂ przy narzuconym dodatkowym warunku ograniczającym uzyskuje się

, ^ 2Nk_xA² 2Nk,_tA² k_w <

dla:

(8)

2Nk,_zA²

M^Q² '

W celu wyznaczenia stopnia stabilności i oscylacyjności układu należy obliczyć pierwiastki równania charakterystycznego

s² + sk_wki + k_wk₂ = 0,    (9)

A = &²    - 4k_wk₂ =

2Nk_szA² (2Nk„A² ,_a,_a    ,k,k,k,k_M\

4Nk_szA² (Nk]_zA²    _nk_pk,k_M\    ,_1fU

' Wz \k²MQ² A )■    ^lUj

Jeśli ^ > 2    , to pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i stopień

oscylacyjności układu wynosi 0, a stopień stabilności jest równy wartości bezwzględnej większego z pierwiastków i wynosi:

V =

~~k_wk\ 4- — \/A

NklA²

k\fQ², kMQ_t

Nk.

(k]_zNA² ^kpk^kM A    . .

l w, a y

Natomiast, gdy ^ < 2^kpki'*$, to pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone i stopień stabilności wynosi:

a stopień oscylacyjności

¹, _Ł    Nk²zA²

(12)

M =

/—r    . t Nk 2^kpk‘^{kM k}l^NA2

V-& \r a    i£qT

k_wk 1

Nk²A

k_MQz.

(13)

Uwaga: Ograniczenie całki z kwadratu przyspieszenia na wyjściu silnika wynika z faktu, że straty cieplne w maszynie są proporcjonalne do kwadratu prądu twornika, a prąd ten proporcjonalnie wpływa na moment obrotowy silnika i tym samym przyspieszenie.