494 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego 2
Ciąg {/„} jest nazywany oryginałem dyskretnym, a funkcja F(z) — transformatą lub transformatą dyskretną ciągu {/„}. Funkcja F(z) określona wzorem (19.6) jest holomorficzna na zewnątrz okręgu \z\ > r, a szereg (19.6) jest rozwinięciem funkcji F(z) w szereg Taylora w otoczeniu punktu w nieskończoności. Transformata dyskretna £ jest również oznaczana symbolem if {/„}.
Przykład 1. W przypadku dyskretnej funkcji jednostkowej {e(n)} określonej wzorem
c(n) =
0 dla n < 0,
1 dla n > 0,
(19.7)
otrzymujemy na podstawie wyrażenia (19.6) i po wykorzystaniu wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego
^{c(«)}= f z-" = -L = -L-, (19.8)
u = 0 | _ 1 Z— 1
Z
który jest zbieżny dla |z| > 1, co określa obszar zbieżności szeregu.
Przykład 2. Obliczymy 2 {n}. Zgodnie z zależnością (19.6) mamy
n=0 4Z„=0
a stąd, wykorzystując wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, który jest zbieżny dla |z| > 1, otrzymujemy
•*>} =
(19.9)
Przykład 3. Rozpatrzymy dyskretną funkcję wykładniczą Je1"}, gdzie z jest liczbą zespoloną.
Wykorzystując określenie przekształcenia % oraz wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, mamy
^{eJ"[ = X (c~’z) "
H-0
(19.10)
dla
— < 1. skąd wynika |z| > |c’| = exp[Rca], co określa obszar zbieżności szeregu, e 'z
Przykład 4. Dla ciągu {u"'1 z(n- 1)}, gdzie a 0 oznacza liczbę zespoloną, mamy
10
& {a"~1 r.(n— 1)} = X a"~'z \
bowiem c(— 1) = 0, zgodnie z określeniem dyskretnej funkcji jednostkowej (wzór (19.7)). Po podstawieniu m = n— 1, znajdujemy
Tt
JT [a" 'r.(n- 1)! =z~’ X («z T.
W~0
sk.nl P° zastosowaniu wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, otrzymujemy
(19.11)
c(n-l)} =-
jeżeli fc! > Ml-
W zastosowaniach nie ma potrzeby wyznaczania obszaru zbieżności szeregu nieskończonego, wobec tego będziemy pomijać to zagadnienie w dalszych rozważaniach.
Wiele informacji na temat przekształcenia 3J i jego zastosowań można znaleźć w pracach [23, 27, 28].
Twierdzenie 1 (o liniowości przekształcenia). Jeżeli istnieją przekształcenia 2 ciągów {/„} i {gn}, to dla dowolnych stałych a, b
&{afn + bgn} = aZ{fn} + b2J{gn}. (19.12)
Dowód tego twierdzenia wynika natychmiast z określenia przekształcenia żf.
Przykład 1. Zgodnie ze wzorem (19.10) mamy
oraz
wobec tego na podstawie zależności (19.12) otrzymuje się
psinom} = ^{i^-e-n} =
skąd po wykonaniu elementarnych przekształceń otrzymuje się
2t {sinawi}
zsinat
z2—2zcoso)+ 1
W podobny sposób znajduje się
z(z-cosat)
^{cosam} = —--
z— 2zcoso)+ 1
Twierdzenie 2 (o ciągu przesuniętym). Jeżeli 3J{fni ~ z), to dla m ^ 0
^ =z~mF(z) (,9,3)
oraz