247 (21)

247 (21)



494 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego 2

Ciąg {/„} jest nazywany oryginałem dyskretnym, a funkcja F(z) — transformatą lub transformatą dyskretną ciągu {/„}. Funkcja F(z) określona wzorem (19.6) jest holomorficzna na zewnątrz okręgu \z\ > r, a szereg (19.6) jest rozwinięciem funkcji F(z) w szereg Taylora w otoczeniu punktu w nieskończoności. Transformata dyskretna £ jest również oznaczana symbolem if {/„}.

Przykład 1. W przypadku dyskretnej funkcji jednostkowej {e(n)} określonej wzorem

c(n) =


0    dla n < 0,

1    dla n > 0,


(19.7)


otrzymujemy na podstawie wyrażenia (19.6) i po wykorzystaniu wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego

^{c(«)}= f z-" = -L = -L-,    (19.8)

u = 0 | _ 1 Z— 1

Z

który jest zbieżny dla |z| > 1, co określa obszar zbieżności szeregu.

Przykład 2. Obliczymy 2 {n}. Zgodnie z zależnością (19.6) mamy

*{"}- i nz~"=i z~"’

n=0    4Z„=0

a stąd, wykorzystując wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, który jest zbieżny dla |z| > 1, otrzymujemy

•*>} =


(19.9)

Przykład 3. Rozpatrzymy dyskretną funkcję wykładniczą Je1"}, gdzie z jest liczbą zespoloną.

Wykorzystując określenie przekształcenia % oraz wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, mamy

^{eJ"[ = X (c~’z) "

H-0


(19.10)

dla


— < 1. skąd wynika |z| > |c’| = exp[Rca], co określa obszar zbieżności szeregu, e 'z

Przykład 4. Dla ciągu {u"'1 z(n- 1)}, gdzie a 0 oznacza liczbę zespoloną, mamy

10

& {a"~1 r.(n— 1)} = X a"~'z \

bowiem c(— 1) = 0, zgodnie z określeniem dyskretnej funkcji jednostkowej (wzór (19.7)). Po podstawieniu m = n— 1, znajdujemy

Tt

JT [a" 'r.(n- 1)! =z~’ X («z T.

W~0

sk.nl P° zastosowaniu wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, otrzymujemy

(19.11)


c(n-l)} =-

jeżeli fc! > Ml-

W zastosowaniach nie ma potrzeby wyznaczania obszaru zbieżności szeregu nieskończonego, wobec tego będziemy pomijać to zagadnienie w dalszych rozważaniach.

Wiele informacji na temat przekształcenia 3J i jego zastosowań można znaleźć w pracach [23, 27, 28].

19.3. Własności przekształcenia

Twierdzenie 1 (o liniowości przekształcenia). Jeżeli istnieją przekształcenia 2 ciągów {/„} i {gn}, to dla dowolnych stałych a, b

&{afn + bgn} = aZ{fn} + b2J{gn}.    (19.12)

Dowód tego twierdzenia wynika natychmiast z określenia przekształcenia żf.

Przykład 1. Zgodnie ze wzorem (19.10) mamy

oraz

wobec tego na podstawie zależności (19.12) otrzymuje się

psinom} = ^{i^-e-n} =

skąd po wykonaniu elementarnych przekształceń otrzymuje się

2t {sinawi}


zsinat

z2—2zcoso)+ 1

W podobny sposób znajduje się

z(z-cosat)

^{cosam} = —--

z— 2zcoso)+ 1

Twierdzenie 2 (o ciągu przesuniętym). Jeżeli 3J{fni ~ z), to dla m ^ 0

^    =z~mF(z)    (,9,3)

oraz

(19.14)


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
249 (18) 498 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego X Splotem dwóch ciągów {Jn} i {gn} nazywam
254 (19) 508 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego 2 przekształcamy funkcję rg(t) w ciąg impu
246 (22) 19. ZASTOSOWANIE PRZEKSZTAŁCENIA DYSKRETNEGO19.1. Wiadomości podstawowe W dotychczasowych r
248 (23) 496    19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego 3 Zgodnie z określeniem
250 (18) 500 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego 2t a następnie dzieląc licznik przez miano
251 (16) 502 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego odstępie At. Jednym z najprostszych sposob
252 (19) 504 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego % Przykład 2. Wyznaczymy napięcia Uh (n =
253 (16) 506 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego $f Dyskretną odpowiedzią impulsową {rn} uk
Untitled 24 37J § 3. Ciąg monotoniczny 67 Ciąg {>>„} jest .znacznie dogodniejszy dla przybliżo
Zadanie 14. (0-1) Ciąg («„) jest określony wzorem an = 2n2 dla ;/ > 1. Różnica a5 —a4 jest równa
DSC07026 (4) 40 Ciągi liczbowe Zauważmy, że — ś 1 dla n £ I. Oznacza lo. że ciąg (*„) jest nierosnąc
skrypt031 (2) 31 a (2.18) (2.19) Abc 0,1    = i Inl l+ -a v y) Wyrażenie 2.19 można p
skan0043 1002.12. Zastosowanie przekształcenia Laplaco^n Traneformatę Laplace’a można stosować do ro
B 0.,ill 40% d 18:21 NIEDZ.19 sty JUTRO, 20 STY Birthday Koło Anal 11:00-12:00 Birthday Koło Chemia
19. Zastosowanie bojowe samolotów bezzałogowych i koncepcja ich użycia w Siłach Zbrojnych RP
19. Zastosowanie kwestionariusza EASY do badań socjo-medycznych ludzi starych / Zyta Beata Wojszel,

więcej podobnych podstron