494 19. Zastosowanie przekształcenia dyskretnego 2

Ciąg {/„} jest nazywany oryginałem dyskretnym, a funkcja F(z) — transformatą lub transformatą dyskretną ciągu {/„}. Funkcja F(z) określona wzorem (19.6) jest holomorficzna na zewnątrz okręgu \z\ > r, a szereg (19.6) jest rozwinięciem funkcji F(z) w szereg Taylora w otoczeniu punktu w nieskończoności. Transformata dyskretna £ jest również oznaczana symbolem if {/„}.

Przykład 1. W przypadku dyskretnej funkcji jednostkowej {e(n)} określonej wzorem

otrzymujemy na podstawie wyrażenia (19.6) i po wykorzystaniu wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego

^{c(«)}= f _z-" = -L = -L-,    (19.8)

u = 0 | _ ^{1 Z— 1}

Z

który jest zbieżny dla |z| > 1, co określa obszar zbieżności szeregu.

Przykład 2. Obliczymy 2 {n}. Zgodnie z zależnością (19.6) mamy

*{"}- i ^nz~"=i ^z~"’

n=0    4Z„₌₀

a stąd, wykorzystując wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, który jest zbieżny dla |z| > 1, otrzymujemy

•*>} =

(19.9)

Przykład 3. Rozpatrzymy dyskretną funkcję wykładniczą Je¹"}, gdzie z jest liczbą zespoloną.

Wykorzystując określenie przekształcenia % oraz wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, mamy

^{e^J"[ = X (c~’^z) "

H-0

(19.10)

— < 1. skąd wynika |z| > |c’| = exp[Rca], co określa obszar zbieżności szeregu, e 'z

Przykład 4. Dla ciągu {u"'¹ z(n- 1)}, gdzie a 0 oznacza liczbę zespoloną, mamy

10

& {a"~¹ r.(n— 1)} = X a"~'z \

bowiem c(— 1) = 0, zgodnie z określeniem dyskretnej funkcji jednostkowej (wzór (19.7)). Po podstawieniu m = n— 1, znajdujemy

Tt

JT [a" 'r.(n- 1)! =z~’ X («^z T.

W~0

sk.nl P° zastosowaniu wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, otrzymujemy

c(n-l)} =-

jeżeli fc! > Ml-

W zastosowaniach nie ma potrzeby wyznaczania obszaru zbieżności szeregu nieskończonego, wobec tego będziemy pomijać to zagadnienie w dalszych rozważaniach.

Wiele informacji na temat przekształcenia 3J i jego zastosowań można znaleźć w pracach [23, 27, 28].

19.3. Własności przekształcenia

Twierdzenie 1 (o liniowości przekształcenia). Jeżeli istnieją przekształcenia 2 ciągów {/„} i {g_n}, to dla dowolnych stałych a, b

&{af_n + bg_n} = aZ{f_n} + b2J{g_n}.    (19.12)

Dowód tego twierdzenia wynika natychmiast z określenia przekształcenia żf.

Przykład 1. Zgodnie ze wzorem (19.10) mamy

^oraz

wobec tego na podstawie zależności (19.12) otrzymuje się

psinom} = ^{i^-e-n} =

skąd po wykonaniu elementarnych przekształceń otrzymuje się

zsinat

z²—2zcoso)+ 1

W podobny sposób znajduje się

z(z-cosat)

^{cosam} = —--

z— 2zcoso)+ 1

Twierdzenie 2 (o ciągu przesuniętym). Jeżeli 3J{fni ~ z), to dla m ^ 0

^    =z~^mF(z)    ^(,9,3)

oraz

(19.14)