520 20. Elementy analizy macierzowej obwodów

a ponadto

E =

Otrzymana macierz impedancji gałęziowych nie jest macierzą diagonalną.

Ogólnie, macierz impedancji gałęziowych jest symetryczna, gdy obwód zawiera cewki magnetycznie sprzężone, a niesymetryczna, gdy obwód zawiera źródła sterowane.

20.3.2. Macierz admitancji gałęziowych

Mnożąc lewostronnie równanie (20.9) przez Z^-1, otrzymujemy Z^_1U = = 1 — Z“'E, bowiem Z^_IZI = I, a stąd znajdujemy

I = YU +J, (20.12)

gdzie

Y = Z^-1 (20.13)

oraz

J = YE (20.14)

Macierz Y, równa odwrotności macierzy impedancji gałęziowych, nazywa się macierzą admitancji gałęziowych. Gdy w obwodzie nie ma ani cewek magnetycznie sprzężonych, ani też źródeł sterowanych, wówczas macierz impedancji gałęziowych jest macierzą diagonalną, wobec tego jej odwrotność jest również macierzą diagonalną, czyli

■Yi(s) 0

(20.15)

0 Y_n(s) J

gdzie y^-(s) = 1 /Zj(s) dla j = 1,2,..., n jest admitancją gałęzi j. Wynika stąd, że przy przyjętych założeniach elementy położone na przekątnej głównej macierzy diagonalnej Y są równe admitancjom poszczególnych gałęzi.

Łatwo sprawdzić, że w przypadku gdy macierz admitancji gałęziowych Y jest diagonalna, wówczas macierz J określona wzorem (20.14) jest kolumnowa i jej elementami są iloczyny

Ej(s) Zj(s)‘

Yj(s)Ej(s) =

Wobec tego elementy macierzy J są prądami źródłowymi zastępczych źródeł prądu, trzymanych po przekształceniu źródeł napięcia o napięciach źródłowych Ej(s) j o impedancjach wewnętrznych Z,(s).

Gdy obwód zawiera cewki magnetycznie sprzężone lub źródła sterowane, wówczas macierz admitancji gałęziowych Y nie jest diagonalna. Macierz tę można wyznaczyć na podstawie wzoru (20.13), jako odwrotność macierzy impedancji

gałęziowych Z.

Przykład 3. Macierz admitancji gałęziowych obwodu z rys. 20.3 wynosi

Y =

z As)

ŹAŚ)

Y,0) 0

n(s)

o ń(s)

wobec tego

Z₆(s)

>.(s)	0	- EAsY ~Ei(s)	■ YAs) EAs)' - YAs) EAs)
Y₂(s)		EAs)	YAs) EAs)
		£«(s)	YAs) EAs)
0	Y₆(s)	0	0
		. 0	. 0

20.4. Równania oczkowe i równania węzłowe

20.4.1. Równania oczkowe

Równanie (20.9) mnożymy lewostronnie przez macierz łączącą oczkową B obwodu, mamy BU = BZI —BE, gdzie U, I i Z są odpowiednio macierzami napięć, prądów i impedancji gałęziowych, macierz E zaś przedstawia wzór (20.11). Zgodnie z II prawem Kirchhoffa w postaci macierzowej, mamy BU = 0, wobec tego BZI - BE = 0, czyli BZI = BE. Podstawiając do tego równania wzór (20.5) dla transformacji oczkowej, otrzymujemy

BZB^TI₀ = BE.

Równanie to przedstawiamy w postaci

Z₀I₀ = E₀, (20.16)

gdzie

(20.17)

(20.18)

Z₀ = BZB^T,

E₀ = BE.