520 20. Elementy analizy macierzowej obwodów
a ponadto
E =
0
0
Otrzymana macierz impedancji gałęziowych nie jest macierzą diagonalną.
Ogólnie, macierz impedancji gałęziowych jest symetryczna, gdy obwód zawiera cewki magnetycznie sprzężone, a niesymetryczna, gdy obwód zawiera źródła sterowane.
20.3.2. Macierz admitancji gałęziowych
Mnożąc lewostronnie równanie (20.9) przez Z-1, otrzymujemy Z_1U = = 1 — Z“'E, bowiem Z_IZI = I, a stąd znajdujemy
I = YU +J, (20.12)
gdzie
Y = Z-1 (20.13)
oraz
J = YE (20.14)
Macierz Y, równa odwrotności macierzy impedancji gałęziowych, nazywa się macierzą admitancji gałęziowych. Gdy w obwodzie nie ma ani cewek magnetycznie sprzężonych, ani też źródeł sterowanych, wówczas macierz impedancji gałęziowych jest macierzą diagonalną, wobec tego jej odwrotność jest również macierzą diagonalną, czyli
■Yi(s) 0
(20.15)
W
0 Yn(s) J
gdzie y^-(s) = 1 /Zj(s) dla j = 1,2,..., n jest admitancją gałęzi j. Wynika stąd, że przy przyjętych założeniach elementy położone na przekątnej głównej macierzy diagonalnej Y są równe admitancjom poszczególnych gałęzi.
Łatwo sprawdzić, że w przypadku gdy macierz admitancji gałęziowych Y jest diagonalna, wówczas macierz J określona wzorem (20.14) jest kolumnowa i jej elementami są iloczyny
Ej(s) Zj(s)‘
Yj(s)Ej(s) =
Wobec tego elementy macierzy J są prądami źródłowymi zastępczych źródeł prądu, trzymanych po przekształceniu źródeł napięcia o napięciach źródłowych Ej(s) j o impedancjach wewnętrznych Z,(s).
Gdy obwód zawiera cewki magnetycznie sprzężone lub źródła sterowane, wówczas macierz admitancji gałęziowych Y nie jest diagonalna. Macierz tę można wyznaczyć na podstawie wzoru (20.13), jako odwrotność macierzy impedancji
gałęziowych Z.
Przykład 3. Macierz admitancji gałęziowych obwodu z rys. 20.3 wynosi
1
Y =
z As)
0
i
ŹAŚ)
wobec tego
Z6(s)
>.(s) |
0 |
- EAsY ~Ei(s) |
■ YAs) EAs)' - YAs) EAs) | ||
Y2(s) |
EAs) |
YAs) EAs) | |||
£«(s) |
YAs) EAs) | ||||
0 |
Y6(s) |
0 |
0 | ||
. 0 |
. 0 |
20.4. Równania oczkowe i równania węzłowe
20.4.1. Równania oczkowe
Równanie (20.9) mnożymy lewostronnie przez macierz łączącą oczkową B obwodu, mamy BU = BZI —BE, gdzie U, I i Z są odpowiednio macierzami napięć, prądów i impedancji gałęziowych, macierz E zaś przedstawia wzór (20.11). Zgodnie z II prawem Kirchhoffa w postaci macierzowej, mamy BU = 0, wobec tego BZI - BE = 0, czyli BZI = BE. Podstawiając do tego równania wzór (20.5) dla transformacji oczkowej, otrzymujemy
BZBTI0 = BE.
Równanie to przedstawiamy w postaci
Z0I0 = E0, (20.16)
gdzie
(20.17)
(20.18)
Z0 = BZBT,
E0 = BE.