261


7.2. Proste metody konstrukcji wzorów przybliżonych

BUJjemy funkcję/wielomianem drugiego stopnia 7(x)=a+£.(x-x8)+ic(x-xII)2,

. je (w0bec wzoru Taylora i przykładu 7.1.7)

a=fn,

h 7'    1

h2


C=/,

/'(x)s*b+c(x—xj=0 dla x=x=xll-ó2 1 /b\2 b2

/w—7+r‘bJ

Jeśli zatem wybierzemy / jako wielomian interpolacyjny zgodny z funkcją/dla x=x„. x.,xa_ x, to otrzymamy wynik

(7.2.7)

gdzie


min/(x)«a~


2e


dla


/■+! -2fn+fn-l


.    2fc    A2

Szacując błąd wartości minimalnej funkcji /. otrzymujemy

|min/(x)-min7(x)|«max|/(x)-7(x)|,    * € [x„_,, *,+,].

Korzystając z postaci reszty dla wzoru interpolacyjnego (twierdzenie 4.3.3) i zakładając, ^    otrzymujemy nierówność

Vffj3

raax |/(x) -/(x)| '€&M max |(x -x„ - h){x-xB)(x-x„+Ji)| =


(wb. zadanie 3 na końcu § 7.2). M można oszacować za pomocą trzeciej różnicy; zob. twierdzenie 7.1.4.

.. i^cj9j(x)y gdzie <?j (x)=(x—x0)y. Stąd fó^fó=ci - Użyjmy iloczynu skalarnego U >9)- 1 fi9i-


pnr^RZVKLAD 7.2.4. Przybliżyć fó, znając wartości /-2. /-i, /o, fi, f2 (xH=x0+nA). . jmuje się, że funkcja/jest tak regularna, że można by ją dobrze przybliżyć w [x_ 2> x2] om-anem drugiego stopnia; wartości funkcji są jednak obarczone przypadkowymi <tami,^co uzasadnia aproksymację średniekwadraicwą. Przybliżamy f(x) wielomianem