261 2

261

7.2. Proste metody konstrukcji wzorów przybliżonych

BUJjemy funkcję/wielomianem drugiego stopnia 7(x)=a+£.(x-x₈)+ic(x-x_II)²,

. _{je (w0}bec wzoru Taylora i przykładu 7.1.7)

a=f_n,

h 7'    ¹

h²

C=/,

/'(x)s*b+c(x—xj=0 dla x=x=x_ll-ó² 1 /b\² b²

/w—7+r‘bJ

Jeśli zatem wybierzemy / jako wielomian interpolacyjny zgodny z funkcją/dla x=x„. x.,x_a_ _x, to otrzymamy wynik

(7.2.7)

gdzie

min/(x)«a~

2e

dla

/■+! -2fn+fn-l

.    2fc    A²

Szacując błąd wartości minimalnej funkcji /. otrzymujemy

|min/(x)-min7(x)|«max|/(x)-7(x)|,    * € [x„_,, *,+,].

Korzystając z postaci reszty dla wzoru interpolacyjnego (twierdzenie 4.3.3) i zakładając, ^    otrzymujemy nierówność

Vffj3

raax |/(x) -/(x)| '€&M max |(x -x„ - h){x-x_B)(x-x„+Ji)| =

(wb. zadanie 3 na końcu § 7.2). M można oszacować za pomocą trzeciej różnicy; zob. twierdzenie 7.1.4.

.. i^^cj9j(x)_y gdzie <?j (x)=(x—x₀)^y. Stąd fó^fó=^ci - Użyjmy iloczynu skalarnego U >9)- 1 fi9i-

p_nr^^RZVKLAD 7.2.4. Przybliżyć fó, znając wartości /-₂. /-i, /o, fi, f₂ (x_H=x₀+nA). . jmuje się, że funkcja/jest tak regularna, że można by ją dobrze przybliżyć w [x_ _2> x₂] om-anem drugiego stopnia; wartości funkcji są jednak obarczone przypadkowymi <tami,^co uzasadnia aproksymację średniekwadraicwą. Przybliżamy f(x) wielomianem