268 (47)

METODY NUMERYCZNE...

Z tego lematu wynika, że są spełnione założenia (10.134). Norma operatora przejścia w cyklu ma oszacowanie

iip. ii <

\V7i +V7o i

które nie zależy od h. Tak więc wyznaczenie roz.wiązania z dokładnością e wymaga wykonania n cykli, gdzie n jest rzędu Inl/e.

Zastanówmy się teraz nad realizacją jednego kroku iteracji metody (10.133). Wymaga on rozwiązania równania z operatorem B_h. W przypadku gdy obszar O. jest prostokątem, to do rozwiązywania tych układów stosujemy algorytm z p. 10.4.3 wykorzystujący FFT (lub cykliczną redukcję, zob. książkę [71]). W' tym przypadku całkowity koszt wyznaczenia rozwiązania z dokładnością e wynosi rzędu logj (1 jh) ln (l.k)ih² działań i jest bliski optymalnemu.

W przypadku obszarów niepcostokatnych możemy stosować algorytmy z p. 10.4.3 i p. 10.4.4. Z tym, że już dla obszaru o kształcie litery L koszt wyznaczenia rozwiązania z dokładnością sjest wtedy tego samego rzędu co i koszt metody (10.133) z B = E, czyli zwykłej metody Czcbyszewa.

Przy realizacji metody (10.1330 z v/yźej określonym operatorem B_h często stosujemy metodę iteracyjną. Otrzymujemy w ten sposób tzw. dwukrokową (dwustopniową) metodę iteracyjną, której tutaj nie będziemy omawiać (zob. np. prace [21], [95]). Dodajmy tylko, że znana jest już metoda iteracyjna, której koszt wyznaczenia rozwiązania z dokładnością e jest rzędu (ln (1//?) In 1 /s)/ti² działań arytmetycznych dla dowolnego obszaru Q (zob. prace [l] i [99]).

Omówimy pokrótce jeszcze jeden sposób w7boru operatora B dla zadania (10.138). Niech    i — 1,2 będą operatorami przekształcającymi

w Ll (Oj postaci określonymi dla xeQ_h i dla funkcji v (x) = 0, gdy xeT_k. Zauważmy, że -f R[²⁾ = B_k, gdzie operator B_h jest określony wzorem (10.142). Za B = R_h w tym przypadku przyjmujemy

R„ = (£+o)RŁ^1,)(£+coO

gdzie o) jest dodatnim parametrem. Można pokazać, że operator R_h jest samo-sprzężony i dodatnio określony. Przyjmując w = hp dow^rodzi się, że

5₀ Rh ^ ^H ^

z <$o = Po* = -t~ P\, gdzie /!, Pi są stałymi dodatnimi, a h = max {A_łf h₂).

n

Okazuje się, że koszt wyznaczenia rozwiązania z dokładnością e metodą (10.133) z operatorem B = R_h dla zadania (10.138) jest rzędu (In l/e)/A^5/2 działań. Każdy