285 (14)

wm

57 0    22. Zastosowanie przekształcenia Fouriera

Zgodnie z określeniem przekształcenia Fouriera mamy

^Fm-^A .(“"[-KO.

e~^j“'df,

skąd po uwzględnieniu wzoru e^_i<"‘= coswf —jsintor, otrzymujemy

+ X)

sinwtdt.

F(w) = A j exp

Biorąc pod uwagę, że funkcja podcałkowa w pierwszej całce jest parzysta, a w drugiej całce — nieparzysta względem zmiennej t, przy czym całkowanie wykonuje się w przedziale symetrycznym,

mamy

wobec tego

Po obliczeniu tej całki otrzymujemy

v r iAYl

J expl —2\~) ^s,n<atdt = 0.

⁺*    r l/r\²l

F{co) = 2A I exp —I -    cosmfdt.

o    L 2\aj J

y

F(a>) = /4a_N/^/2rcexpj^ — -(atu)²

cosajtdf,

(22.29)

Wyprowadzenie tego wzoru pomijamy.

Stwierdzamy zatem, że gęstość widmowa sygnału o postaci funkcji Gaussa jest również funkcją Gaussa.

Wykres gęstości widmowej sygnału o postaci funkcji Gaussa podany jest na rys. 22.3. Gdy a przybiera małe wartości (np. a < 1), wówczas sygnał o postaci

Rys. 22.3. Wykres gęstości widmowej sygnału o postaci funkcji Gaussa

funkcji Gaussa jest wąski. Ponieważ w tym przypadku \/a jest stosunkowo duże, więc krzywa gęstości widmowej sygnału o postaci funkcji Gaussa jest spłaszczona. Oznacza to, że krzywa gęstości widmowej jest spłaszczona w przypadku wąskiego impulsu o postaci funkcji Gaussa, a wąska — w przypadku szerokiego impulsu. Gęstość widmowa energii wynosi

1

—|F(ru)|² = (/la)²exp[ —(a<y)²].

(22.30)

Gęstość widmowa energii ma również postać funkcji Gaussa.

Przykład 2. Wyznaczymy gęstość widmową impulsu prostokątnego przedstawionego na rys. 22.4. Impuls prostokątny z rys. 22.4 można przedstawić za pomocą dwóch przesuniętych funkcji lednostkowych, a mianowicie:

/(r)= 4[/(r + E)-/(r-s)].    (22.31)

Rys. 22.4. Impuls prostokątny

Różniczkując to wyrażenie względem czasu i uwzględniając, że pochodna funkcji jednostkowej jest równa funkcji Diraca, znajdujemy

f(t) = A[6(t+e)-5(t-ei]    (22.32)

zawierające dwie przesunięte funkcje impulsowe Diraca o polu A i — A (rys. 22.5). Stwierdzamy, żc pole funkcji impulsowej Diraca równa się skokowej zmianie funkcji różniczkowanej, przy czym otrzymuje się funkcję Diraca o polu dodatnim lub ujemnym w zależności od tego, czy funkcja różniczkowana wzrasta

skokowo, c/y też maleje.

A			-A
Rys. 22.5. Pochodna funkcji z rys. 22.4 ~^£ 0		£ f

Obliczając transformatę Fouriera wyrażenia (22.32), znajdujemy

= /4[.^{^(i+«)}-jF{^(_f-_e)}] = /4(e^i<“—e ■'"*),

zgodnie ze wzorem (22.26). Z drugiej strony, na podstawie twierdzenia o transformacie pochodnej funkcji czasowej (wzór (22.16)) mamy

^ {/'(«)} =jwF(o».

Wobec tego

jwF(uj) = /4(e^j<“—e“ ^j<“),

a stąd znajdujemy gęstość widmową impulsu prostokątnego

(22.33)

2Ae‘^M-e~^im    2 A

F((o) =--:-= —sincuc.

a) 2j    to .

Przykład 3. Wyznaczymy gęstość widmową impulsu przedstawionego na rys. 22.6.

Różniczkując funkcję/ (() przedstawioną na rys. 22.6, otrzymujemy funkcję z rys. 22.7. Po powtórnym zróżniczkowaniu funkcji/(r), czyli po zróżniczkowaniu funkcji z rys. 22.7, otrzymuje się trzy przesunięte funkcje impulsowe Diraca (rys. 22.8).