288 (9)

H Cląjlotf i F»cłoi»* hrt'1¹ _

II.1.2. Ciqgłośt łunktji (I)

^t—J | / a) ciągłość taW »• punkcie .<■„ 6 />/ * //

/- ciągła

w.r„eZ?_f

V

•Ą/A) •*

funkcjo ma

wlaściwę granicę

w punkcie .r_#

granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie a*₀

Funkcja jest ciągła w zbiorze (np. w dziedzinie), gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

— j j Uwaga I: Jeśli tylko granica jednostronna jest równa wartości funkcji w punkcie x„ to mówimy o ciągłości jednostronnej (prawostronnej lub lewostronnej).

Uwaga 2: Ciągłość funkcji to ciągłość lewostronna i prawostronna równocześnie.

Uwaga 3: Aby zbadać ciągłość funkcji w punkcie x₀, należy koniunktywnie wykonać następujące czynności: r obliczyć granicę funkcji w punkcie x_a:

O

o

X

LJ

O

Cl.

“00

o

CD

OJ

lim/( ,v) to wspólna wartość granic jednostronnych lim/(.r) = lim/(.v)(por. II.1.1.)

,%/(*)

2° obliczyć wartość funkcji w punkcie x₀: f(x₀J y sprawdzić równość: lim/(.x)=/(*„) b) Nieciągłość funkcji w punkcie v₀6 Df.

Funkcja jest nieciągła w punkcie .r₀e W gdy:

me ma granicy w punkcie x₀€ D.:

lub

na przykład:

(jim/ (x)=g#lim₍/(x)=+oo

ma właściwą granicę w punkcie x₀: lim /(*), ale inną niż wartość funkcji w punkcie x₀

Y
/(*o)	---<
g		\x
\ ^0		Xo V.

Umf{x) = g+f(x₀))

*iiy -nie ma nawet ciągłości lewostronnej)

c) Ciągłość funkcji w przedziale:    ,

(1)    w przedziale otwartym (a; b): (/-ciągła w (a; b) c D.) »1 A lim/(x) =/(x₀)l

Ue(«b)*“*»

(2)    w przedziale domkniętym (a; b):

■ !>

(f-cią^aw(a;b)cD₍)' 2¹’ L '

(funkcja ciągła w każdym punkcie przedziału (o, b ))

jj    ciągłość w przedziale

otwartym 1 <j; b)

I    =/(a) A lim/(x) =/(b)

‘•"1___ i-k__,

prawostronna ciągłość lewostronna ciągłość w lewym końcu a w prawym końcu b przedziału (u; b)    przedziału (a: b)

jednostronna ciągłość w końcach przedziału (mb)

Uwaga: Wielomiany, funkcje wymierne, trygonometryczne oraz funkcja wykładnicza i logarytmiczna są funkcjami ciągłymi w swoich dziedzinach. Natomiast /(je) = (x (lioha całkowita nie większa od x) nic jest ciągła dla argumentów całkowitych: