62 Punkty osobliwe i residua

gdzie C jest dowolnym dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w punkcie zo zawartym w tym pierścieniu.

Uwaga. Wobec powyższego twierdzenia możemy szukać rozwinięć funkcji holomorficznych w szereg Laurenta, wykorzystując znane już rozwinięcia oraz twierdzenia o szeregach potęgowych. Jest to z reguły łatwiejsze niż korzystanie z podanych powyżej wzorów na współczynniki.

O Ćwiczenie 5.1.7

Rozwinąć funkcję /(z) =    -- w szereg Laurenta w podanym pierścieniu:

a)    {* € C: 0 < |z- 1| < 2); b) (z 6 C: 2 < |z - 1| < oo}; c) {z € C: |z| > 1} .

O Ćwiczenie 5.1.8

Wyznaczyć pierścienie, w których można rozwinąć funkcję

^fl-^Z) = (z - l)(z + 2)

w szereg Laurenta o środku w punkcie zo = 0. Podać rozwinięcia funkcji f(z) w tych pierścieniach.

O Ćwiczenie 5.1.9

Rozwinąć podane funkcje w szereg Laurenta w zadanym pierścieniu: ^{ł) /}(*⁾⁼'(, ₊ 2)¹(z + 4)- ł»eC:0<|. + 2|<2);

^b)    f{2)= z(z^Vi)’ ^{zeC'■ ¹ < 1^1 <

^c)    /(*) = -j-1    e C: 1 < |z - 1| < oo};

d)    /(z) = (z³ + 2z) sin J, (zfC: 0< |z| < oo};

**) /(*) = irry. (*e c_: o<|z|<2r}.

O Ćwiczenie* 5.1.10

Załóżmy, że funkcja /(z) jest holomorficzna w pierścieniu P = {z £ C: t < |z| < /?} zawierającym okrąg C : |z| = 1. Wówczas dla z 6 P funkcja /(z) rozwija się w szereg Laurenta

OO

/(*) =    Cni".

n= — oo

Niech F(<) = / (e'*) dla t € [0,2tt]. Pokazać, że wtedy

oo

F(t)= y, ^c"^e‘^nt

jest rozwinięciem funkcji /•'(() w zespolony szereg Fouriera¹. Rozwinąć funkcję

1

a + cos l'

gdzie a > 1, w szereg Fouriera podstawiając e" — z oraz cos i = funkcję /(z) w szereg Laurenta.

5.2 Punkty osobliwe

•    Definicja 5.2.1 (punkt osobliwy odosobniony)

Jeśli funkcja /(z) nie jest holomorficzna w punkcie zo, ale jest holomorficzna w sąsiedztwie tego punktu, to zo nazywamy punktem osobliwym odosobnionym funkcji /(*)•

•    Przykład 5.2.2

a)    /(z) = - H—=---, punkty osobliwe odosobnione: 0, i, —

z z¹ + 1

i

b)    /(z) = e‘~^l , punkt osobliwy odosobniony: 1;

c)    /(z) = tg z, punkty osobliwe odosobnione: ^ + kx, gdzie Jfc g Z\

d)    /(z) = ctg —, punkty osobliwe odosobnione: -—, gdzie k £ Z\ {0} .

z    k 7T

Punkt 0 nie jest odosobnionym punktem osobliwym.

•    Definicja 5.2.3 (klasyfikacja punktów osobliwych)

Niech

OO    OO

będzie rozwinięciem funkcji /(z) w szereg Laurenta w sąsiedztwie punktu osobliwego odosobnionego zo- Wtedy:

1.    jeśli część osobliwa rozwinięcia znika, to punkt zo nazywamy pozornie osobliwym ;

2.    jeśli część osobliwa zawiera skończoną liczbę składników, tj. istnieje takie k 6 N, że c-k 5Ć 0 oraz c_„ = 0 dla n > k, to punkt z o nazywamy biegunem Ib-krotnym;

3.    jeśli część osobliwa zawiera nieskończoną liczbę składników, to punkt z o nazywamy istotnie osobliwym.

'Zespolonym szeregiem Fouriera funkcji F(t) określonej na przedziale (0,2ir) nary

1 7

wamy szereg postaci y ^ c_ne'^nt, gdzie c_n = — / F(t)e *^nt dt dla n £ Z,