2 (1123)

300

XVIII. Całki potrójne i wielokrotne

Rozwiązanie. Stosujemy współrzędne sferyczne.

n/2 a

ffjss

r*s in⁵* cos* sin Ocosd drchydO

0 0 0

po podstawieniu sin²*=M, sin²0*v otrzymujemy

t n

a² sin²* cos² 6+■fi² sin²* sin² 0+ y² cos V

u dr dudo

ooo t i

yja*u( 1 ~v)+fi²uv + y²(l — u) dv

o    o

R^s    0y+ya + a0

y²)«]+ (fi²-a²)uv

3) Obliczyć całkę gdzie V jest elipsoidą trójosiową

15 (/ł+y) (y+a) (a + /0

xyz dxdydz x ²+y² + z²’

-///

jf2 j>2    2²

Rozwiązanie. Stosujemy uogólnione współrzędne sferyczne, korzystając ze wzorów xsar$in*cosd, j^ór sin*sin0, z—cr cos * ,

J=abcr² sin *.

i otrzymujemy całkę

Kr*d*b^lc*

nil n,'2 i

///'

_i sin²* cos* s\r\9cos8drd^d0 o² sin²* cos²0-t-ł>2sin²*$in²0-ł-e²cos²*

ooo

Po podstawieniu sm²**«, sin²0*u dostajemy, jako wynik końcowy: a²**:²

—r (b*c² In —• + Od² ln — + db² In — ) • -o²) \    b    e    a/

80*-A2)C62-c2)<c*

4) Obliczyć całkę iterowaną

“    « U pt

jdzjydyj t*^¥tx² dx .

i 1 o

Rozwiązanie. Zamieniając tę całkę na całkę potrójną

f f I e*^ytx²y dxdydz,

*> 0.».(>|

stosujemy następnie podstawienie

y-~.    J__!_ .

“    u+v ’    u(u + v)

Otrzymujemy całkę

JJJ -

*> ». wi>0 **v+tc <1

"dudvdw,

którą łatwo obliczyć.

Odpowiedź. \e- 1.

C

5) Powróćmy do obliczenia całki podwójnej:

CC oc    _

B* J J *-«V*'♦»*cos cosyi;<źr</y

o o

(por. 617. 21)1- Ponieważ przy f>>0

I^exp(-⁹¹'^)^de=5T'^xp( ^

0

(497. 8)1. więc przyjmując b=a x^l+y¹, otrzymujemy

exp(-a \ix^l+y²)= f e*P (-6*--M■

0

Podstawiając ten wynik do całki B i zmieniając porządek całkowania, dostajemy

B= J* cxp{-0²)<#

J J ^expl )

cosa:£ cos yn dxdy,

o o

ax    ay

czyli po przejściu do zmiennych — oraz v = — :

«c    , <x>    ®    .

8 r    fi*    2 Uu£ r    28vq f

jja-—. cxp(—0²)0²dt) J exp( • - u~)co$-duj exp(-t>2)cos-

^v o    'd    o    *

o

(519.6) (a)l. Całkując przez części otrzymujemy już ł3two wynik końcowy

n

B= —

Przestawienie porządku całkowania daje się uzasadnić istnieniem całki potrójnej.

6)    Znaleźć masę i określić położenie środka ciężkości kuli

x²+y*+z²<2az

Pny rozkładzie mas

k

P = ~ -

V-t»+y2+z²

(Por. 650. 5)).

Wskazówka. Przejść do współrzędnych sferycznych. *

7)    Znaleźć przyciąganie jednorodnej kuli w dowolnym punkcie przestrzeni. (Por. 650, 9)1-Rozwiązanie. Przechodząc do współrzędnych sferycznych otrzymujemy

ŻV

in * *

■W

pr² (rcosy—a) siny drikpdO (r*+<jz—2or cosp)^{J / 2}