2 (575)

McH U-OYTĄ^ClC

Gi ^{- /ł}‘

-ef

-Ho/»!«>~ uitu. (-<0 "l"/ Xe <' i /    /O 1.1*0-

GraniceIterowane: " ,_<tlM    y, _t „ ^ j_c,_e^

2- tA* (9 ^{1    r}

Z'

A

lim

\

lim f(x,y)

lim

lim f(x,y)

y->yoV^x->xo

j    ohy^ir-lz l ę /•'kAC^ i (j&2^ yS^- >'L £ 7 &    f?<A<l    £ Gf \ CL W.ĆCty l^s/tc C'u&-

Uwaga 1    że    x.    ₍    ^ «u'e «v ^ya^ććGj

Jeżeli funkcja f: X^9t, Xc=9i² ma granicę w punkcie (x₀,yo) oraz istnieją obydwie granice iterowane, to są one równe tej granicy. Implikacja przeciwna nie jest prawdziwa.

x-»<ovy-^>yo

Przykład 3.

Wyznaczyć granicę oraz granice iterowane w punkcie (0,0) funkcji f, gdzie:

1

b) f(x,y)= ^xsm ~ •

b)

\ 2 2 y X, X x - y + x + y .

a) f(x,y) =-;

x + y

U iM (	^r u ^y	- YJ y^2	) - Ll	K^?-/
y-j & ^	^Y-^O	y-f y	^J y->€	y
(ć ^Ia. (	l(‘ i M *	y 4 x V^1 J	~ U<M	y-i y^7
y->e '	y->o	y	>c -><9	X
i± i v ^w / ^	)Mo,o\	ih i)	I sU I 5 ^	^4 £ -ł
	/	-yXy, n ’	TT	-/ i
(\ X ) 3* / *i /	-yiPfO)	ui.iy.	4 ^M i-i<b ~~-1——	w

y ->V

UtM

)C->£

V)

V) -f !T

4 i

fttti (ów    ⁴¹ a    Ćo

yr->0 y-^O    '~'^>U

( (L#i X y ) -    ^    ^

O

( L VW

r>

■i

^ “ 3

-i/ue,

<?£ £*/tLajd

{(*( W - y 5^ x

1 "i <- (L

Y~_t i (/

7^fc

y-><? ^v

- ^ liiM X' 5^(M y — (y

(<P,0) i i

0    0£j^/Y

Ciągłość funkcji (przypomnienie)

Mówimy, że odwzorowanie f : X -> % Xc9f jest ciągłe w punkcie poeX wtedy i tylko wtedy, gdy Ve>0 3S>0 Vp e X: d(p,p₀) <5 => /f(p)-f(po)/< e.

Ważne twierdzenia:

twierdzenie o zachowaniu znaku, twierdzenie Weierstrassa, twierdzenie Darboux.

2 MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki