najmniejsza m dla argumentów x z przedziału ( a;b) dla: xx, x2)
11. CIĄGŁOSCI POCHODNA FUNKC
d) Procedura badania monotoniczności funkcji f(x)
(1) Obliczenie pochodnej.
(2) Zbadanie znaku pochodnej (por. wnioski z twierdzenia Lagrange’a w: 11.3.2a.) — czyli rozwiązanie dwóch nierówności:
f'(x) > O oraz f'(x) < 0
(dla znalezienia przedziałów, (dla znalezienia przedziałów,
w których funkcja rośnie) w których funkcja maleje)
Uwaga: W celu technicznego skrócenia ww. procedury rozwiązywania dwóch pokrewnych nierówności: /'(z) > O i f'(x) < 0, można:
(1) wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej (rozwiązując równanie /'(a:) = O),
(2) zaznaczyć obliczone pierwiastki pochodnej na osi liczbowej, oraz
(3) ustalić znak pochodnej w poszczególnych przedziałach — są to zbiory rozwiązań każdej z nierówności: /’(■*) > O, f'(x) < O (por. przykłady wraz z uwagą w 11,3.2c.).
(por. np. 3.6.ńa. lub 3.8.2.). e) Monotoniczność i ekstremum — problemy pokrewne
Na podstawie wnikliwej analizy powyższych punktów c) i d) (por. 11.3.2.) można wyciągnąć następujący wniosek:
Zarówno monotoniczność, jak i ekstremum funkcji to problemy pokrewne i dające się rozwiązać za pomocą pochodnej. Ponadto rozwiązując zadanie polegające na wyznaczeniu ekstremum, można określić monotoniczność — bez dodatkowych obliczeń, tylko na podstawie warunku wystarczającego na ekstremum (por. 11.3.2b(2)). Natomiast badając monotoniczność funkcji, przy okazji otrzymujemy informację o ewentualnych ekstremach (por. uwaga w 11.3.2d.).
Zawsze jednak wszelkie rozważania należy zawężać do dziedziny funkcji f i dziedziny jej pochodnej
1.3.3. Naitwiplfcin ■ naimnihicia wnrtaść funkcii
Na mocy własności funkcji ciągłych w przedziale domkniętym (por. 11.1.2d.: III — twierdzenie Weierstras-sa i IV — własność Darboux) wiemy, że każda funkcja ciągła w b') osiąga w tym przedziale zarówno wartość największą, jak i najmniejszą oraz wszystkie wartości pośrednie między nimi.
Aby wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji ciągłej w przedziale domkniętym (a;b) i różnicz-kowalnej w przedziale otwartym (a; b\ należy wykonać następujące kroki:
a) wyznaczyć ekstremum (lokalne) funkcji wewnątrz przedziału (por. 11.3.2c.),
b) obliczyć wartości funkcji f na końcach przedziału: /(a I li!
c) spośród obliczonych wartości (z ww. a) i b)) wybrać największą M oraz najmniejszą m.
Uwaga: Funkcja może osiągnąć wartość największą lub najmniejszą na końcach przedziału (a; &), czyli dla x = a lub x = b, ewentualnie wewnątrz (a; ó), czyli dla x e (a; b).
Oto rysunkowe przykłady niektórych przypadków:
11.3.2. Związek pochodnej funkcji z monofonicznością i ekstremum funkcji (IV)
Procedura rozwiązywania równań i nierówności w początkowych etapach jest bowiem taka sama
najmniejsza m dla argumentów x z przedziału ( a;b) dla: xx, x2)
(tylko jedna z wartości — m jest osiągnięta na końcu przedziału: dla .v = a, zaś M jest osiągnięta wewnątrz przedziału, dla .v - vlk)
m =/(«), M =f(b) (wartość największa M i wartość najmniejsza nt na krańcach przedziału dla: x = a i x — b)