300 (11)

11. CIĄGŁOSCI POCHODNA FUNKC

d) Procedura badania monotoniczności funkcji f(x)

(1)    Obliczenie pochodnej.

(2)    Zbadanie znaku pochodnej (por. wnioski z twierdzenia Lagrange’a w: 11.3.2a.) — czyli rozwiązanie dwóch nierówności:

f'(x) > O oraz    f'(^x) ^{< 0}

(dla znalezienia przedziałów,    (dla znalezienia przedziałów,

w których funkcja rośnie)    w których funkcja maleje)

Uwaga: W celu technicznego skrócenia ww. procedury rozwiązywania dwóch pokrewnych nierówności: /'(z) > O i f'(x) < 0, można:

(1)    wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej (rozwiązując równanie /'(a:) = O),

(2)    zaznaczyć obliczone pierwiastki pochodnej na osi liczbowej, oraz

(3)    ustalić znak pochodnej w poszczególnych przedziałach — są to zbiory rozwiązań każdej z nierówności: /’(■*) > O, f'(x) < O (por. przykłady wraz z uwagą w 11,3.2c.).

(por. np. 3.6.ńa. lub 3.8.2.). e) Monotoniczność i ekstremum — problemy pokrewne

Na podstawie wnikliwej analizy powyższych punktów c) i d) (por. 11.3.2.) można wyciągnąć następujący wniosek:

Zarówno monotoniczność, jak i ekstremum funkcji to problemy pokrewne i dające się rozwiązać za pomocą pochodnej. Ponadto rozwiązując zadanie polegające na wyznaczeniu ekstremum, można określić monotoniczność — bez dodatkowych obliczeń, tylko na podstawie warunku wystarczającego na ekstremum (por. 11.3.2b(2)). Natomiast badając monotoniczność funkcji, przy okazji otrzymujemy informację o ewentualnych ekstremach (por. uwaga w 11.3.2d.).

Zawsze jednak wszelkie rozważania należy zawężać do dziedziny funkcji f i dziedziny jej pochodnej

1.3.3. Naitwiplfcin ■ naimnihicia wnrtaść funkcii

Na mocy własności funkcji ciągłych w przedziale domkniętym (por. 11.1.2d.: III — twierdzenie Weierstras-sa i IV — własność Darboux) wiemy, że każda funkcja ciągła w b') osiąga w tym przedziale zarówno wartość największą, jak i najmniejszą oraz wszystkie wartości pośrednie między nimi.

Aby wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji ciągłej w przedziale domkniętym (a;b) i różnicz-kowalnej w przedziale otwartym (a; b\ należy wykonać następujące kroki:

a)    wyznaczyć ekstremum (lokalne) funkcji wewnątrz przedziału (por. 11.3.2c.),

b)    obliczyć wartości funkcji f na końcach przedziału: /(a I li!

c)    spośród obliczonych wartości (z ww. a) i b)) wybrać największą M oraz najmniejszą m.

Uwaga: Funkcja może osiągnąć wartość największą lub najmniejszą na końcach przedziału (a; &), czyli dla x = a lub x = b, ewentualnie wewnątrz (a; ó), czyli dla x e (a; b).

Oto rysunkowe przykłady niektórych przypadków:

11.3.2. Związek pochodnej funkcji z monofonicznością i ekstremum funkcji (IV)

Procedura rozwiązywania równań i nierówności w początkowych etapach jest bowiem taka sama

najmniejsza m dla argumentów x z przedziału ( a;b) dla: x_x, x₂)

(tylko jedna z wartości — m jest osiągnięta na końcu przedziału: dla .v = a, zaś M jest osiągnięta wewnątrz przedziału, dla .v - v_lk)

^m =/(«), M =f(b) (wartość największa M i wartość najmniejsza nt na krańcach przedziału dla: x = a i x — b)