354 2

354

8. Równania różniczkowe

Istnieją metody numeryczne rozwiązywania zagadnień własnych zc znacznie wiek*: macierzami; zob. § 5.8. Ekstrapolacja Richardsona pozwala jednak otrzymać dóbr Jt-kladność za pomocą rozsądnej liczby punktów.

To samo ogólne postępowanie można stosować do wyrażeń różniczkowych t (8.4.9), przybliżając je wyrażeniami różnicowymi (8.4.10).

W zagadnieniach własnych można posługiwać się też metodą strzałów; zob dania 3 i 4 niżej.

Pytanie przeglądowe

Opisać ogólnie różne sposoby podejścia do zagadnień własnych opisane w tym paragrafie.

Zadani*

1. Stosując metodę strzałów do zagadnienia

„ *    2 WY

y --

2 y

>'(0)=l.    >(0 = 1.5,

otrzymano następujące wyniki:

y(0) = 0=>>(l)= 1.543081, y<0)= -0.05=>y(l)= 1.425560.

Jakiej wartości /(O) należy użyć w następnym „strzale”?

2. (Collatz [101P Ugięcie u obciążonej belki o długości 2L spełnia (przy pewnych założeniach) równanie różniczkowe

+ /Cu = ą(.v)

( —

i warunki brzegowe

u "(—L)=u "— L)=0,    u”(L)=u"'(L) = 0.

Dla pewnej belki mamy

K

40 El₀

HF

Chcemy znaleźć ugięcie dla .t=0.

(a) Wprowadzić zmienne właściwsze w tym zagadnieniu i wyrazić je jako układ dwoc równań rzędu drugiego z warunkami brzegowymi. Udowodnić i wykorzystać parzyć funkcji u. (Założyć, że układ ma jedyne rozwiązanie).

(b)    Zaproponować dla tego zagadnienia przybliżenie różnicowe, przyjmując* że *=LjN_t gdzie N jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią. Wyznaczyć liczbę równań i ^11,8