3,4 (2)

(i)

(1) (ii) (iii)

O. G A

A e A -> A' g A

Vke N, A_k eA => (jA_k g J3.

ke N’

Rodzinę mającą własności (1) nazywać będziemy o-ciałem A podzbioru zbioru fi.

Wróćmy do badania niezawodnościowego. Zauważmy, że

W_{t t} =U ₀ uS

^ł0A)    ^rl

U, = fi-S_t ss; ,

^ro    ^fo ^to ’

Z _t = S n U ,

^T0-^Ti ^lr>    H

co wskazuje, aby żądać od rodziny A następującej własności: wszystkie działania teoriomnogościowe na zdarzeniach wzięte w liczbie skończonej mają dać w wyniku zdarzenie. Ale jeśli postawić naturalne pytanie opisane zbiorem V = {co_t g Q; t > t₀},

które ma oczywiście sens i może interesować eksperymentatora, to zauważymy, że

V,

V,

o

co₍ g t > t₀ —

o

1

n

A zatem pojawia się ochota,

czyli innymi słowy aby żądać wykonalności działań

teoriomnogościowych na zdarzeniach dla przeliczalnej liczby zdarzeń i w ich wyniku otrzymywać zawsze zdarzenie. Patrząc więc na własności opisane w (1) dochodzimy do wniosku, że rodzina zdarzeń losowych A musi tworzyć o-ciało podzbiorów zbioru

zdarzeń elementarnych Q.

Zauważmy, że w przypadku każdej niepustej przestrzeni Q rodzina wszystkich podzbiorów Q spełnia warunki (1) i jest to "najbogatsza" rodzina zdarzeń, jaką można rozważać dla fi. Z kolei rodzina składająca się tylko z fi i zbioru pustego 0 "najuboższą" rodzinę zdarzeń w fi.

Podsumowując: elementy o-ciała A (najmniejszego) podzbiorów fi nazywać będziemy zdarzeniami losowymi, a parę (fi,^) przestrzenią mierzalną.

Przyjmijmy następującą terminologię. Jeżeli w wyniku przeprowadzonego eksperymentu otrzymamy zdarzenie elementarne co, należące do interesującego nas zdarzenia losowego A, to mówimy, że zaszło zdarzenie A. Pojęcie to przenosi się także na model matematyczny opisujący dane doświadczenie. I tak jeśli dla danej przestrzeni zdarzeń elementarnych Cl, oraz danych zdarzeń losowych A i B zdarzy się:

co e A to powiemy: zaszło zdarzenie losowe A (co sprzyja A),

co e A to powiemy: zaszło zdarzenie A'(A‘ nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A), coeAuB to powiemy: zaszło A lub zaszło B (AuB nazywamy sumą zdarzeń A i B), coeAnB to powiemy: zaszło A i zaszło B (AnB nazywamy iloczynem zdarzeń A i B).

Zauważmy związki między algebrą zbiorów i algebrą zdarzeń:

Algebra zbiorów	Algebra zdarzeń	Oznaczenia
Zbiór Cl	Zbiór zdarzeń elementarnych Cl	Cl
Element zbioru (punkt)	Zdarzenie elementarne	00
o-ciało podzbiorów Cl	Zbiór zdarzeń losowych	A
Element o-ciała	Zdarzenie losowe	A, B, ...
Zbiór Q jako podzbiór g-ciała	Zdarzenie pewne	Cl
Zbiór pusty	Zdarzenie niemożliwe	0
Inkluzja AcB	Zdarzenie A pociąga zajście zdarzenia B	AcB
Rozłączność zbiorów A i B	Zdarzenia wykluczają się	AnB=0

4