34 35 (20)

34 •*v.‘ Przestrzenie liniowe

c) Zauważmy, m v - 3(1,1,1) + 2(1,1,0) + (1,0,0) = (6,5,3). Nowe współrzędne [01,02, om] wektor v znajdziemy więc rozwiązując układ równań

34 •*v.‘ Przestrzenie liniowe

{

Ol

Ol

+ 02

«2

O3

6

5 . 3

Ostatecznie [»i, 02, 03] = [4,2, l].

d) Niech bi — bi, bj = bj -f 62, . . , b„ = 5| + 62+ . . + £„ Łatwo zauważyć zc 61 = bj, 62 = b₂ - b_u ■ , b_n = b_n- S_n_,. Sl4d wynika, że v = 6, -f 2 b₂ + 363 +    . + n6_n =

-r 2 ( 6₂ — ^1} — 3 ^63 — 6₂^ + ■■• + « ^b_n —    = —b_l — b₂ —    ■ — b_n_j + nb_n.

Współrzędne wektora v w bazie B' mają postać [-1,-1,. .l.n).

• Przykład 4.3

Wyznaczyć współrzędne wskazanych wektorów w wybranych bazach podanych przestrzeni liniowych:

a)    V = {(x + y,3x + y,x - y) : r,y t ii} , » = (2,8,4);

b)    V = {(x,y. z,<) £ R* : 2x - y = z + 3f} , v = (1,1,-2,1);

c)    V= jpt il₂(x): p'(3) = 0} , q ~ 4x² — 24x — 3;

	2	3 ‘
J ’	3	-1

d) V — |A 6 Af_2x2 : A = A⁷'} , U =

Rozwiązanie

a)    Zauważmy, że V'= lin {(1,3,1), (1, 1, - 1)} Otrzymane generatory przestrzeni V są dniowo niezależne, stanowią zatem bazę tej przestrzeni. Współrzędne [aj, <*2] wektora v wyznaczymy z warunku

(2,8,4) =a,(l,3,l) + o₂(l,1,-1).

Stąd Q; + 02 =2, 3o-j + <*2 = 8, o-i — a₂ = 4, a więc [oj, 02] — [3, — lj.

b)    Znajdziemy najpierw generatory przestrzeni V Mamy

V = {(r.y.i.i) e R^Ą : y = 2x - * - 3i}

= {{z ,2z — 2 — M, z _%t) \ z, z ,t £ R)

= lin {(1,2, 0,0), (0, —1.1,0), (0. —3, 0 1)} .

Łatwo sprawdzić, że generatory tesą liniowo niezależne. Przyjmując je za bazę przestrzeni V znajdujemy współrzędne [aj.a^.as] wektora t». Z definicji wynika równość

(1,4, -2,1) = ai(l, 2,0,0) + o₂(0, -1,1.0) + 013(0, -3,0,1).

Stąd [oj 02, crj) — [l, —2, l]

c)    Niech p € V. Wówczas p(x) = ar² + bx + c, gdzie a,b.c 6 Jl, przy czym j>^#(3) = 2a • 3 + b = 0 Zatem 6 = —6a, a więc

p(x) = az² — 6az + c = c (z⁷ — 6x) + c.

Przestrzeń V jest zatem generowana przez wektory p_t — z' — 6x, p₃ = 1, które są jej bazą Współrzędne wektora q = 4x³ — 24r — 3 w tej bazie są równe [4, —3].

Czwarty tydzień - przykłady

35

d) Mamy

lin <

IL

1 O

O o

0    1

1    o

Również w tym przykładzie znalezione generatory tworzą bazę rozważanej przestrzeni Wektor 2? ma w tej bazie współrzędne (2,3, — I).

• Przykład 4.4

Zbadać, obliczając odpowiednie wyznaczniki, czy podane układy wektorów stanowią bazy odpowiednich przestrzeni liniowych.

a)    u = (1,1,0), c = (2,1,0). # = (3,3,1), V= R³;

b) p ss 2 + x², q = L — x, r = 1 + x -f z², V = Ji₂[x];

c) p = i³ + 2, ę = x + 1, r = 2x² + z + 1, s = x³ + x² + x + 2, V — JK3[jc];

d) A =

'2 r	,B =	1-1	,c=	-2 0	JD =	'3 r
01		1 0		1 1		2 3

v= M_2x2.

Rozwiązanie

Skorzystamy z faktu mówiącego, ze zbiór n wektorów stanowi bazę przestrzeni liniowej wymiaru n ^ 1 wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy współrzędnych tych wektorów w pewnej bazie przestrzeni Vjest różny od zera We wszystkich przykładach będziemy wyznaczać współrzędne w bazach standardowych.

a) Z warunku

ł 1 0 2 1 0 3 3 1

^ 0 wynika, że jest to baza przestrzeni R^z

b) W bazie [l,z,z²| mamy

2    0    1

1    -1    0

1    1    1

= 0, więc podane wektory nie Lworzą bazy.

c) W bazie {£³,x²,r,l} obliczamy wyznacznik

1	0	0	2		1	0	0	^21	1	0	0	2
0	0	1	1	- wi	0	0	1	1 *3 -	0	0	1	1
0	2	1	1		0	2	1	1	0	0	-1	1
1	1	1	2		0	1	1	0 I	0	]	]	0

Stąd wniosek, że rozważane wektory tworzą bazę.

d) W tym przykładzie wystarczy obliczyć wyznacznik

2	1	0	1		2	1	0	1
1	-1	1	0	- wij	1	-1	1	0
-2	0	1	1	“4 -3»*t	-4	-1	1	0
3	1	2	3		-3	-2	2	0

Stąd wynika, że podane wektory nie tworzą bazy.

• Przykład 4.5

Wyznaczyć takie bazy odpowiednich przestrzeni liniowych, w których podane wektory mają wskazane współrzędne: