342 (13)

684 26. Analiza obwodów nieliniowych

/

x

Rys. 26.21. Charakterystyka układu nieliniowego o postaci linii łamanej

y y\

o

'2x oit

Rys. 26.22. Przebieg odpowiedzi ustalonej układu nieliniowego o charakterystyce z rys. 26.21

nych oraz podharmonicznych. W tych warunkach przyjmuje się odpowiedź ustaloną układu nieliniowego za wielkość sinusoidalną, wobec tego można stosować pojęcie podobne do transmitancji widmowej w układach liniowych, znane pod nazwą funkcji opisującej.

Niech x = A^sincut oraz y_mlsin(<ut + <p,) oznaczają odpowiednio wymuszenie oraz pierwszą harmoniczną odpowiedzi ustalonej układu nieliniowego. Funkcją opisującą nazywamy wyrażenie

(26.73)

Modułem funkcji opisującej jest więc iloraz amplitud pierwszej harmonicznej odpowiedzi ustalonej oraz wymuszenia, argumentem zaś tej funkcji — kąt przesunięcia fazowego między tą harmoniczną a wymuszeniem. Funkcja opisująca przybiera w ogólnym przypadku wartości zespolone.

Jako przykład rozpatrzymy układ nieliniowy o charakterystyce y(x) określonej wzorem

I

(26.74)

-yi, gdy x -x,, y = "S mx, gdy -x₁<x^x₁, ,    gdyxSsx₁,

gdzie m > 0, x_t > 0 oraz y₁ = mx_v Charakterystyka ta ma postać linii łamanej (rys. 26.21).

Odpowiedź ustaloną y rozpatrywanego układu przy wymuszeniu x = A^sin cot wyznacza się, wykonując konstrukcję omówioną w p. 25.1.2, a przebieg tej odpowiedzi przedstawia rys. 26.22. Odpowiedź ustaloną w przedziale pierwszego półokresu określa wzór

gdy 0 ^ a>t ^ fi lub 7i — P < not ^ n, gdy p^cot^n-p,

(26.75)

przy czym wielkość j? odpowiadającą chwili r,, w której osiągnięty jest punkt załamania linii łamanej, oblicza się ze wzoru

y, = mX_m sin/?,

czyli

sin/? ⁼    (26.76)

Odpowiedź ustalona y jest funkcją nieparzystą antysymetryczną, wobec tego (por. p. 9.3.4).

y = Y_mlsina)t + y_m3sin3ajf + Y_m5sin5cut..., a amplitudę pierwszej harmonicznej oblicza się ze wzoru

4 */2

^Ymt = ~ I ysinada.

Podstawiając zależność (26.75), otrzymujemy

4 P    4 */2

Y_ml = - jmX_msinxsinada + - j mx,sinada, czyli

P    *12

Y_ml = ~mX_n

Tl

Jsin²adot + sin/l | sinadot

LO    fi

Po obliczeniu całek i wykonaniu prostych przekształceń znajdujemy Funkcja opisująca omawianego układu nieliniowego wyraża się wzorem bowiem faza pierwszej harmonicznej odpowiedzi y jest równa zeru.

26.11. Równania stanu dla obwodów nieliniowych

Obwody nieliniowe można również opisać za pomocą równań stanu.

Przykład. Rozpatrzymy obwód z rys. 26.23, zawierający opornik nieliniowy.

Jako zmienne stanu przyjmujemy i oraz u_c. Dla omawianego obwodu otrzymujemy równani; następujące;

di

L— + y(i) + u_c = e(t), df