50 (156)

Matematyka. Zbiór zadań do liceów i techników. Klasa III

Wariacje

7.23. Pewna firma chce wydać ulotki, których lewa połowa ma być zadrukowana innym kolorem niż prawa. Ile jest możliwości rozplanowania tych kolorów, jeśli mamy do dyspozycji kolory: żółty, zielony, niebieski i czerwony?

ż z n c

A A A A

Zadanie to możemy rozwiązać rysując drzewko. Nazwy kolorów oznaczmy odpowiednio: ż, z, n i c.

Wszystkich możliwości jest zatem 4-3=12.

zcnżcnżzcznź

Postępując podobnie oblicz, ile razy zwiększyłaby się liczba możliwości wydrukowania takich ulotek, jeśli będziemy mieć do dyspozycji dwa razy więcej różnych kolorów.

7.24. Oblicz, ile byłoby możliwości wydrukowania ulotek, o jakich mowa w poprzednim zadaniu, gdyby mieć do dyspozycji 9 różnych kolorów. Zbuduj odpowiednie drzewko. Znajdź taką

9^f

liczbę naturalną dodatnią x, aby otrzymana liczba możliwości dała się zapisać w postaci-.

7.25. Pewien przedsiębiorca pragnie produkować chorągiewki, złożone z trzech pionowych pasów równej szerokości, każdy w innym kolorze. Ile rodzajów takich chorągiewek może produkować, jeśli ma do dyspozycji:

a) 7 różnych kolorów,    b) 10 różnych kolorów?

, .    k'

Zbuduj odpowiednie drzewko. Wynik przedstaw w postaci-, gdzie k jest liczbą kolorów,

zaśx g N+.    (A:-*)!

7.26. Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach?

7.27. Oblicz, ile różnych liczb czterocyfrowych parzystych, w których wszystkie cyfry są różne, można utworzyć z cyfr h, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

Zadanie to możemy rozwiązać następująco:

Sposób 1.

Ostatnią cyfrę (2 lub 4 lub 6) można wybrać na k = 3 sposoby. Jeśli ustalimy ostatnią cyfrę, to liczba sposobów, na które można wybrać pozostałe trzy cyfry, jest równa liczbie ciągów trój-elementowych o różnych wyrazach, należących do zbioru 6 cyfr (wyłączamy tę, która jest

61

(6-3)!

ostatnią cyfrą): m =

= 120. Zatem wszystkich szukanych liczb jest k • m = 360.

2    4    6

1 3 5 6 7

A

Sposób 2.

Wykorzystamy drzewko. Wygodniej je będzie utworzyć tak, by I piętro opisywało wybór ostatniej cyfry, II piętro - cyfry drugiej od końca itd. Pełne drzewko miałoby bardzo dużo gałęzi, nie będziemy więc go całego rysować. Zauważamy jedynie, że z wierzchołka na I piętrze drzewa wychodzą 3 gałęzie, z każdego z wierzchołków II piętra - po 6 gałęzi, z każdego z wierzchołków III piętra - po 5 gałęzi, a z każdego z wierzchołków IV piętra po 4 gałęzie.

50