54 (164)

i

i

Prowadząc przez punkt i

prostą prostopadłą do prostej b ,otrzymuje

my punkt 1 -c b - leiąoy na prostej b , który za pomocą prostopadłej do osi x^y przenosimy do rsntn poziomego »<t b' - na prostą b', a następnie za pomocą odnoszącej pionowej przenosimy do rzutu pionowego B < b" - na prostą b . Odcinek d a |AB/ /d' =/l’ Wid = /■* B?/ jest szukanym najkrótszym odcinkiem zawartym pomiędzy prostymi a i b skośnymi.

29. HZBCBTWIBCT BIEIKOSCI ZĄT01

29.1. Kąt pomiędzy dwiema fc r o a t y a i

Obeonle zajmiemy ślą wyznaczeniem rzeczywistej wielkości kąta, zar wartego pomiędzy dwiema prostymi przecinającymi się lub skośnymi określonymi w rzutach. Podstawowe pojęcia, definicje 1 twierdzenia dotyczące kątów zawartych pomiędzy dwiema prostymi zostały omówione w paragrafie 9.4,, tutaj zaś, zajmiemy się wyznaczaniem rzeczywistych wielkości ty oh, kątów, ta pomocą kładu płaszczyzny zawierającej ramiona szukanego kąta. Balety na wstępie zaznaozyó, ii obojętnym jest dla osiągnięcia poprawności rozwiązania, jaką metodę zastosujemyą oclu wyznaczenia rzeczywistej wielkości szukanego kąta. Tak więc rzeczywistą wielkość kąta zawartego pomiędzy dwiema proatyni,możemy wyznaczać za pomocą odpowiedniego obrotu /w wyniku którego otrzymamy płaszczyznę szukanego kąta równoległą do Jednej * rzutni/, kładu na jedną z rzutni lub na płaszczyznę równoległą do rzutni, transformacji położenia lub układu odniesienia,/ w których doprowadzimy do równoległości płaszczyzny szukanego kąta do płaszczyzny transfomacji/. Tutaj ograniczymy się do omówienia metody kładu płaszczyzny szukanego, kąta na rzutnię i na płaszczyznę równoległą do rzutni, pomijając metody obrotu 1 transformacji, które zostały omówione w paragrafach 23 1 28.

Zajmijmy aię najpierw wyznaezaiiea rzeczywistej wielkości kąta zawartego pomiędzy prostymi lip przecinającymi się, kładem płaszczyzny *■ a lp na poziomą płaszczyznę i , przechodzącą przez wierzchołek W kąta i przez prostą p poziomą - iys.217.

Osią kładu jest krawędź k » p =*£-płaszczyzn oc = lp 14, jednocząca się z prostą p /k » k = p /. Ha prostej 1 obierany dowolny punkt 1 i prowadzimy przez ten punkt poziomo rzutującą płaez-czysmę obrotu 8 prostopadłą do prostej p, kreśląc przez punkt V prostą S .prostopadłą do prostej p‘. Wyznaczamy środek obrotu S =. p'S' , który jest punktem przeblola płaszczyzny 8 prostą p, a następnie

wykonu Jeny kład piaszczysty obrotu 4 na poziomą płaszczyznę i .otrzymując kład 1* punktu 1 na prostej prostopadłej to fi odległości równej wysokości praktu 1 od poziomej płaszczyzny i , oraz rzeczywista wielkość promienia obrotu    r* =» /S 1*/. Zakreślając z punktu    S

jakośrodca promieniem obrotu r* » /S 1*/ łuk kołowy, otrzymujemy w przecięciu z prostą S punkt 1° - jako kład punktu 1*1 ma płaszczyznę t , Ponieważ w kładzie prosta p jednoczy się z jej kładem, tj. p‘ ~ p° 1 tak Bano punkt W¹ = 1°, to łącząc punkt 1° z punktem f‘ =« otrzymujemy kład 1° prostej 1 oraz kąt ^ • < A°P°/ - J«ko rzeczywistą wielkość kąta zawartego pomiędzy prostymi lip.

łyznaczmy następnie rzeczywistą wielkość kąta' zawartego pomiędzy prostą b 1 osią x » a przecinającymi się - rys. 218,

t tym przypadku wykonamy kład płaszczyzny w = tu na rzutnię poziomą    przy ozym osią kładu Jest krawędź k =* x »    - płasz

czyzny ot. • ta i rzutni poziomej 3C.,. Obieramy na prostej b dowolny punkt 1, prowadzimy przez tma punkt płaszczyznę obrotu 8 prostopadłą do osi obrotu X i wykonujemy jej kład na rzutnię poziomą Xotrzymując kład 1* punktu 1 oraz promień obrotu I* /1* S/. Nakreślając z punktu S a 6 x jako środka, promieniem r* => /I* S/ łuk kołowy,otrzymujemy w przecięciu z prostą 5’ punkt 1°, a łąesąo punkt 1° z punktem '• \    , otrzymujemy prostą b° oraz kąt ■ Ą- /b°x?/-

jako rzeczywistą wielkość kąta zawartego pomiędzy prostą b a osią X.

V przypadkach, gdy mamy wyznaozyć rzeczywistą wielkość kąta zawartego pomiędzy, prostymi alb efcośnymi, postępujemy zgodnie z definicją w tai sposób, że przez dowolny punkt W np. obrany na prostej a, prowadzimy prostą b₁# b - równoległą do danej prostej b i wyznaczamy rzeczywistą wielkość kąta V » </ab^/ - zawartego pomiędzy prostymi a 1 bj // b, który jest równy rzeczywistej wielkości szukanego kąta zawartego pomiędzy prostymi a 1 b skośnymi - rys. 219,

29.2. Kąt pomiędzy prostą a płaszczyzną

Jak wynika z omówionych w paragrafie 9.5. pojęć dotyczących wyznaczania kąta zawartego pomiędzy prostą a 1 płaszczyzną, istnkją dwa sposoby wyznaczania tego kąta, a mianowicie pierwszy taw.bezpośredni,w którym szukamy kąta V zawartego pomiędzy daną prostą m 1 je j rautom prostokątnym na płaszczyznę ot, oraz drugi - pośredni, w którym stukamy kąta H' zawartego pomiędzy daną prostą 1 i prostą p prostopadłą do płaszczyzny « przecinającą prostą 1 - rys..22. Ponieważ sposób drugi w znacznym stopniu skraca konstrukcję wyznaczania rzeczywistej wielkości kąta zawartego pomiędzy prostą i płaszczyzną, dlatego - w praktyce najczęściej będziemy korzystać z tego sposobu, tutaj omówimy zarówno sposób pierwszy tj.bezpośredni jak i drugi - pośredni.