60 61 (13)

Układy.iównań liniowych

6° - - . . •

b)    Czy po zapłaceniu za zakupione produkty poznamy ich ceny jednostkowe ?

c)    Jakiego zakupu powinniśmy dokonać, aby uzyskać każdy z tych produktów i jednocześnie poznać jego cenę jednostkową ?

d)    Wyznaczyć ceny jednostkowe, jeżeli kupując po jednej sztuce każdego z tych produktów zapłaciliśmy 3,60 zł.

Rozwiązanie

Niech x,y,z,i oznaczając odpowiednie ceny jednostkowe kostki masła, bochenka chleba, jajka, litra mleka. Z danych zadania wynika następujący układ równań

2x    +    2y    +    lOr    +    31    =    9,5

z    +    2y    +    20z    +    t    =    8,2    .

3r    +    y    4-    5z    +    li    =    8,9

a) Należy wyznaczyć wartość c    taką, że    c    = 2z    + 5y +    35r + 5f.    Wystarczy, aby równanie

definujące liczbę c było kombinacją liniową wcześniejszych trzech równań. Mówiąc ściśle, aby istniały stale aj, 02, 03 € Ji takie, że

(2,5,35,5) = a_:(2, 2,10,3) -|-o₂(1,2.20,1) + 03(3,1,5.2).

Stałe a-i, <*2, &2 znajdziemy rozwiązując układ równań

2	1	3	2 1	W2 - tuj — 20u>)	r 2	1	3	2'	-1	— 2t1/4	r 0	1	5	-A
2	2	1	5		-2	0	-5			4- 2tu4	0	0	—7	7
10	20	5	35		-30	0	—55	-5		+ 30 ui 4	0	0	-85	85
3	1	2	5	W4 - tuj	1	0	-1	3			1	0	-1	3.

roi 5	-4	tuj — 5 u-2	[010	1 1	tuj . — u* j	[10 0	2
0 0 1 .10-1	-i 3 .		0 0 1 .1 0 0	-1 2 .	W2 —— u'3	0 1 0 .0 0 1	1 -1 .
		tuj 4 tuj

= 1,0-3 = —1, więc

= (-7)

Stąd aj =2,0(2

c = Oj 9, 5 + oj • 8. 2 + 03 • 3,9 = 18,3.

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że zapłacimy 18,30 zł.

b)    Niemożliwe jest wyznaczenie cen jednostkowych poszczególnych produktów na podstawie podanych informacji. Układ równań opisujący te cztery niewiadome nie ma jednoznacznego rozwiązania. Rząd macierzy układu pierwszych trzech równań jest oczywiście mniejszy od A, zaś dodanie czwartego liniowo zależnego równania nie podwyższa tego rzędu do A

c)    Ceny jednostkowe poszczególnych produktów moglibyśmy wyznaczyć z układu równań o macierzy rzędu A, np. z układu Cramera. Rząd macierzy układu trzech równań napisanych na początku jest równy

[ 2 2 10 3 '	— 2^2 - rz		0 -2 -30	1
1 2 20 1			1 2 20	1
3 1 5 2.			0 -5 -55	-1

co zresztą można już było wcześniej wywnioskować na podstawie rachunku przeprowadzanego w punkcie a). Zakup, jakiego powinniśmy dokonać, musiałby się więc składać

Szósty tydzień - zadania    61 z k. kostek masła, k? bochenków chleba, k₃ jaj i k« litrów mleka, gdzie kj ^ 1, kj > 1, ka ^ 1* *4 ^ i, przy czym musi być spełniony warunek

2	2	10	3
1	2	20	1
3	1	5	2
ki	k2	kj	k*

Warunek ten spełniony jest np. dla ki = 5, k₂ = 5. ka = 35. k₄ = 1.

d) Do początkowego układu tr2ech równań dołączamy czwarte równanie

x + y-ł-2 + < = 3,6

Rozwiązujemy otrzymany układ czterech równań (metodą „kolumn jednostkowych")

' 2	2	10	3	9,	5			2u»2	' 0	-2	-30	1		-6,9 '
1	2	20	1	8.2				3 ui 2	1	2	20	1		8,2		•A'2 — t»l
3	1	5	2	8,	9		u>4	- u/j	0	-5	-55	-1		15,7		*3 +
1	1	1	1	3.	6	-			0	-1	-19	0		-4.6 _
^0	-2	-30		1			■6.9 1	u.] + 2u>4		r o	0	8	1	2.3
1	4	50		0		15.1		*7 “	4u>4	i	0	-26	0	-3.3		U13 : 4B
0	-7	-85		0		-22.6		“2 +	^7 *"4	0	0	48	0	9.6
0	1	19		0			4.6 .			0	1	19	0	4.6	_

0	0	8	1	2.3 1	«*: - 5^3	r 0	0	0	1	0,7
1	0	-26	0	-3,3	t#2 ł 26ivj	1	0	0	0	1.9
0	0	1	0	0.2	u> 4 — 19^3	0	0	1	0	0,2
0	1	19	0	4.6 .		0	1	0	0	0,8

Stąd wynika, ze czwarty zakup k| = k₂ = ka = k₄ = 1 czyni zadość warunkowi z punktu c) i pozwała na wyznaczenie cen jednostkowych (w złotych), które są równe x = 1,9, y = 0,8, z = 0,2 i i = 0,7.

Zadania

O Zadanie 6.1

W podanych układach równali liniowych określić (nie rozwiązując ich) liczby rozwiązań oraz liczby parametrów:

x

3x

+ y +

+ 2y + + 3y + + 2 y +

z = 1 32 = 1 42 = 2 2 = 3

b)

^c)

bz - 3y - 2 = 3

2z -f y - 2 = 1 3x - 2y + 2z = -4 ’

z - y - 2x = -2

d)

2x -	y =	3
x +	y =	4
4x +	CJU << II	11 ’
x +	4y =	10
X —	y +	2z - t =	i
2x -	3 y -	z 4- ł =	-1
X +	7 y	- t =	4

{x - 3y + 2z    =7

r    - t = 2

—x — 3y + 2x + 2< = 3