62 (112)

Matematyka. Zbiór zadań do liceów i techników. Klasa III

• Łatwo zauważyć, że takich punktów, o których jest mowa w zadaniu, można otrzymać 15.

Korzystając z wyżej opisanego sposobu oblicz, ile można otrzymać takich punktów, które leżą powyżej prostej y = -x + 3 lub poniżej prostej y = -x - 3.

*7.91. Ze zbioru {1,2, 3,..., 20} losujemy ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Oznacza-my te liczby, w kolejności wylosowania, a oraz b. Ile jest takich par (a, b), dla których liczba \a - b\ jest podzielna przez 3?

Zadanie to możemy rozwiązać budując następującą tabelkę:

\ a-* b 4 \	1	2	3	4	5	6	7	• • •	• • •	20
1	0	1	2	3	4	5	6			19
2	1	0	1	2	3	4	5			18
3	2	1	0	1	2	3	4			17
4	3	2	1	0	1	2	3	...		16
5	4	3	2	i	0	1	2			15
6	5	4	3	2	1	0	1			14
7	6	5	4	3	2	1	0			13
• • •	• • •	...	• • •	...	• • •	• • •	...
• • •	...	• • •	...	...	• • •	• • • •	• • •	...		• • •
20	19	18	17	16	15	14	13	. . .		0

Na przecięciu każdego wiersza i każdej kolumny wpisana jest liczba równa |a - b\ (dla odpowiednich wartości wylosowanych liczb a i b). Zauważmy, że interesujące nas wartości wyrażenia |a - b\ leżą na „przekątnych” tej tabeli (wyróżniliśmy je tłustym drukiem) i należą do zbioru {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}. Policzmy, ile jest „małych kwadracików”, na których widnieją liczby z tego ostatniego zbioru:

20 + 2-17 + 2-14 + 2-11 + 2-8 + 2-5 + 2-2 =134.

z liczbą 0 ₂ |i_czbą 3 z liczbą 6 z liczbą 9 z liczbą 12 z liczbą 15 z liczbą 18

A więc są 134 możliwości wylosowania takiej pary liczb (a, 6), dla której liczba |a - b\ jest podzielna przez 3.

Wykorzystując opisany sposób rozwiąż następujące zadanie:

Ze zbioru (1, 2, 3, ..., 50} losujemy ze zwracaniem kolejno dwie liczby. Oznaczamy je (w kolejności losowania) a oraz b. Ile jest takich par (a, b\ dla których liczba |a - b\ jest podzielna przez 4?

7.92. Ze zbioru {1, 2, 3, ..., n] (n e N, n > 3) losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oznaczmy je, w kolejności losowania, a i b. Ile jest możliwości wylosowania:

a)    dowolnej pary liczb,

b)    pary liczb, dla której a > b - 1,

c)    pary liczb, dla której \a-b\> 2?

62