96 (44)

* = 1, / = 0	/«, 0 - £(X)	* - U = 0
fc*0, / — 1	mo., = ^£:(^y)	* = 0, l« l
7 1!	mu = £(XK)	Jfcssl, / = 1
k=2, 1 = 0	;«,0 = £(X^2)	k — 2, 1-0
* = 0, / = 2	/»02 = £(K^2)	k ~0, 1-2

jk, O = £{[* -£(X)]} = 0

jx„.| - E{[Y-EW)\ = 0

ji, , = E{{X ~ E(X)][Y ~ U^Y)]] ~ ^Cov{X '^Y)

n₂,o = /^(X    } = W^x>

;2_0>2 = /*ur-E(ni²)

Moment centralny drugiego rzędu //_i(i = E{[X~ E{X)][Y- E(Y)]i ^cov(^> ^ jest nazywany kowariancją. Ponieważ

cov(X, h) = £{[X -£(X)][y -E(Y))) =

= £{xy-x£(y)-£(X)y + £(X)£(y)) =

= £(Ay)-£(A)£(H

więc jeśli zmienne ŻT i Y są niezależne, czyli jeśli

E(XY) = E(X)E(Y)

to cov(X ,Y) — 0.

Współczynnik korelacji

Miarą zależności liniowej między zmiennymi losowymi X i Y jest współczynnik korelacji wyrażany wzorem

(2.31)

₌ ęov(Xj.Y) ₌ cov(X,Y)

^Px'^Y ~ <yx°y /vumy)

Współczynnik p_xy może przyjmować wartości tylko z przedziału (—1,1). Na przykład jeśli Y-- aX_y to (dla a > 0)

p ₌ cov(X,Y) ₌    £([X - £(A)][y - £(K)j}    ₌

'^X'^K jV{X)V(Y) ^E{[X-E(X))² }£( [Y - £(y>]²} £{lX-£(X))[aX-£(oX)|}

^E{[X - £(A)]²}£{[aX - £(«X))² }

«£{1X-£(X)]²}_₁

«£{IX-£(X)]²}”

Dla a<0, p_XY~-' 1 (poglądową interpretację tych wartości przedstawiono na rys. 2.14)'

y

Jeśli V/, j:pij -    p.j lub (dla zmiennych ciągłych) /(.v,y)-/y (-¹')/r (>')»

to zmienne I i f są niezależne, i wówczas    K) - 0 —> p _x y = 0.

Odwrotne twierdzenie nie jest jednak prawdziwe. Na podstawie uzyskanej w doświadczeniu wartości p_vy-0 nie można bowiem wnioskować, że z całą pewnością X i Y są wzajemnie niezależne. Można co najwyżej mówić, że są to zmienne nieskoreiowane.

2.3. Wielowymiarowe zmienne losowe

Wielowymiarową zmienną losową (.Y,, X_nt..., X_n) jest wygodnie, o czym była już mowa, przedstawiać w postaci wektora losowego X~kY,, X₂, ..., X_/!\¹. Wszystkie problemy omówione w poprzednim podrozdziale (zmienne dwuwymiarowe) odnoszą się także, po odpowiednich uogólnieniach, do wektora X. Szczególną rolę w praktycznych zastosowaniach wielowymiarowych zmiennych losowych odgrywają jednak parametry opisowe.

Parametry opisowe wektora X

momenty zwyczajne pierwszego rzędu

wektor wartości oczekiwanych.

\

momenty centralne drugiego rzędu

macierz kowariancji

~E(X |)

E(X) -

E(X₂)

C_x=£UX-E(X)RX-£(X)f}

E{X_n)_

97