9 (1478)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

15/ Zmienna losowa X ma rozkład postaci: ^Pk    ^ j ]. ^3] [3] .

Znaleźć funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej:

y = x²+ j.

Rozwiązanie:

Ponieważ Y = X¹ +1 więc X = fY -1 gdzie e {1,2, 5, 10, 17, 26}.

/    _X f 5 V,vK=ⁱ

_<?, = p(y=7<)=n^=V^^r>)=

16/ Zmienna losowa X ma funkcją prawdopodobieństwa postaci:

= />(* = *)=!.gj *6 N

Wyznaczyć funkcją prawdopodobieństwa dla zmiennej a/ Y = cos(n-X); b/Y = sin((n/2) X).

Rozwiązanie:

a/ Zmienna losowa Y ma dwa punkty skokowe: {-1, 1}

Jeżeli yi = -1 tzn. cos(tzX) = -1 dla X = 2k-J gdzie k e N.

Jeżeli y₂ = 1 tzn. cos(nX) = 1 dla X = 2k gdzie k s N.

Stąd otrzymujemy:    , ₂    ,

qt⁼ P(Y ~    ~ P(X — 2k-l, keN) = Śf (0”'

I —iii ¹    25 /

2*1

_qi = p(r = \)=r{x = 2k,keN)=Ż-

n=I

A zatem rozkład p

Tabela 23.	Yi	-1	1
		5	4
	<U	9	9

rawdopodobieństwa zmiennej Y można zapisać w tabeli:

b/ Jeżeli Y = sin((7t/2)-X ) więc zmienna Y ma punkty skokowe {-1,0, 1}. Jeżeli yi = -1 tzn. sin((n/2) -X) = - J dla X = 4k -1, k e N.

Jeżeli y2 - I tzn. sin((7tZ2) -X) - 1 dla X = 4k - 3, k e N.

Jeżeli y3= 0 tzn. sin((n/2)-X) = 0 dla X = 2k, k e bl.

Stąd otrzymujemy prawdopodobieństwa:

<7, = P(Y = -1) = P{X = 4* -1.* e N) = £

n = 1 5v5

41-2

16

25

256

V‘    625 y

^0

369

v.-

q^Ąr = \)= ĄX = 4* -3,* eN) =

,4 k-\

12$

369

1 (4

V*-'

164

369

q_x = />(y = <))=/>(* = 2*,*€*)=£- -    ,    , .

»-i -> v->y >    •>

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y zapiszemy w tabeli 24:

Tabela 24.

1 -JŁ

25

yi	-i	0	1
qi	80 369	164 369	125 369

17/ Dobrać tak stałą k aby funkcja f(x) była gęstością.

./ v fAsinjt dla Q<x<x f\x) = <

0 dla pozostałozh

OC

Wyznaczyć jej dystrybuantę oraz p(^X\ < j zr)-

Rozwiązanie:    ³    tf(_x\tx = l

Aby funkcja f(x) była gęstością musi być spełniony warunek: )^J v^

—X

CD    0    1T    CC    X    ~

^f(x)dx= Jo<& + Ja sin xdx+ Jo<ix = Ja sin = [-A-cosjrf =2A = 1

-oo    -ao    O    x    O

Stąd k = Vi.

Wyznaczamy dystrybuantę F(x):

X

F(jc)= Jodt =0 dla x *< 0,zr >;

x    O    x |

F(x) = \f(t)dt = Jo dt + J- sin tdi -

-»    -co    o ^

*c\ .

1

— cos /

2

Jo

₌ _I_cos^ ₊ i = i(i-cos_Jr) _dj_a xe(0,7t>;

^F(*) = J/('V'= JOdt+f-smtdt+fOd/ = l dla X > 71.

~r    ~x    O ^    x

-(i - cos jc) dla xe(0,^>

O dla x<£(j),K>\

Aby wyznaczyć prawdopodobieństwo wykorzystamy dystrybuantę:

Ąx\ < f 4= H- 7* < A- < f)= />(o < X < f*)= F^J j - F(0)=i(l - cosf *)- O = ±

18/ Dobrać tak stałe A i B aby funkcja F(x) była dystrybuantą pewnej ciągłej zmiennej losowej X. Wyznaczyć funkcją gęstości.

A + B arccos x dla |x| < 1 O dla jc < —1

1 dla x> I

Rozwiązanie:

Aby funkcja F(x) była dystrybuantą musi spełniać następujące warunki: lim (A + Barccosx) = O

Ostatecznie: F(x) =

F(*)=

Iim(/ł + B arccos x)= 1

.17.