Bez nazwy�

156

nej, należy model właściwie podeprzeć, to znaczy zablokować przemieszczenia w pewnej liczbie węzłów.

W przykładzie z rysunku 15.1 wszystkie przemieszczenia węzłów nr 1 i 6 są zablokowane, to znaczy, że ri = r₆ = 0.

Warunki podparcia można uwzględnić w różny sposób. Najprostszy polega na wykreśleniu z macierzy sztywności wszystkich kolumn i wierszy o numerach odpowiadających numerom zablokowanych stopni swobody. Po tym zabiegu macierz sztywności przestaje być osobliwa - układ ma jedno rozwiązanie opisujące przemieszczenia wszystkich węzłów modelu.

Po pomnożeniu macierzy sztywności K przez już obliczony wektor przemieszczeń r otrzymujemy siły zewnętrzne R w węzłach. W węzłach, w których nie były przyłożone żadne obciążenia, powinniśmy otrzymać zero. Ze względu na skończoną reprezentację liczb w komputerze mogą w tych węzłach wystąpić pewne małe wartości, zwane siłami resztkowymi. Można z nich zbudować pewną miarę dokładności obliczeń. W sposób iteracyjny możliwe jest polepszenie rozwiązania.

Po pomnożeniu macierzy sztywności danego elementu k^y przez przemieszczenia jego węzłów ą¹ (wzór (15.3)) otrzymujemy siły osiowe N, poprzeczne T i momenty gnące M w końcowych przekrojach tego elementu, a na ich podstawie naprężenia normalne, styczne i zredukowane.

15.7. Biblioteka elementów skończonych

Wyżej opisano elementy belkowe służące do modelowania ram płaskich obciążonych w swojej płaszczyźnie. Do modelowania pracy ram przestrzennych służą elementy belkowe z sześcioma stopniami swobody w węźle. Do modelowania innych niż ramowe konstrukcji komercyjne programy MES mają rozbudowane biblioteki różnych elementów skończonych. W tablicy 15.1 zebrano podstawowe typy elementów skończonych przeznaczone do modelowania konstrukcji prętowych, belkowych, cienkościennych i grubościennych.

Między elementami prętowymi i belkowymi a wszystkimi pozostałymi występuje istotna różnica, polegająca na tym, że macierz sztywności elementów prętowych i belkowych w sposób ścisły opisuje zależność między przemieszczeniami węzłów i obciążeniami zewnętrznymi, a macierze sztywności pozostałych elementów opisują tę zależność w sposób przybliżony. Jest tak, ponieważ albo nie jest znana ścisła zależność, albo jest ona tak skomplikowana, że jej implementacja w programie prowadziłaby do nadmiernego wydłużenia czasu obliczeń. Macierze sztywności elementu są tak konstruowane, że jeśli zmniejszymy wymiary elementów - przez zastosowanie gęstszej siatki elementów - uzyskamy rozwiązania coraz bliższe ścisłemu. W przypadku posługiwania się elementami prętowymi i belkowymi nie ma potrzeby zagęszczania podziału na elementy, ponieważ już przy za-modelowaniu poszczególnych belek o stałym przekroju pojedynczymi elementami otrzymujemy ścisłe rozwiązanie, chyba że belki nie są o stałym przekroju lub występują obciążenia ciągłe.

Tablica 15.1. Podstawowe typy elementów skończonych

Uwaga: 2D, 3D oznacza odpowiednio: w przestrzeni dwu-, trójwymiarowej.

Praktyka obliczeniowa wskazuje, że z reguły przy tej satnej liczbie stopni swobody lepsze rezultaty uzyskuje się przy zastosowaniu mniejszej liczby elementów o większej liczbie węzłów niż przy większej liczbie prostych elementów. Ponadto należy tak dzielić konstrukcję, aby w przypadku elementów trójkątnych były one zbliżone do trójkątów równobocznych, a w przypadku elementów czworokątnych -do kwadratu.

15.8. Struktura programu MES

Współczesny program komputerowy oparty na MES składa się z trzech zasadniczych modułów: preprocesora, procesora, postprocesora.