caleczki

Zadania do rozwiązania

i. Obliczyć całki potrójne:

a) /// x²y²z dxdydz, gdzie:    V jest obszarem ograniczonym

płaszczyznami: ' x = 1, x = 3, y = 0, y = 2,

z = 2, z = 5 ;

b)    tj , gdzie:    V jest obszarem ograniczonym

v (x+y+z+l)

płaszczyznami układu współrzędnych oraz płaszczyzną o równaniu x+y+z = i;

o) _££/" xyzdxdydz, gdzie: obszar V ograniczony jest płasz-

czyznami:    x=0, y=O_f z = O i powierzchnią kulistą

2 2 2

o równaniu:    x +y + z =1 i leży w pierwszej

ósemce; ■■

<») /// xdxdydz, gdzie obszar V ograniczony jest powierz-

V    •

2 2

chnią walcową x + y =1 i płaszczyznami:    z = 0 i

z = 3;

^e) III dxdydz, gdzie:    V jest obszarem ograniczonym

v

płaszczyznami układu współrzędnych i płaszczyzną o równaniu x + y + z = i;

*) III xy²z³dxdydz, gdzie obszar V ograniczony Jest po-

V

wierzclmiami':    z = xy, z = 0, y = x, x = i;

g)    fff sin (x + 2y + 3z)dxdydz, gdzie:    V jest prostopad-

V

łościanem:    0^x<5r,jr<y<tf23r,    0 < z < 3Jt ;

h)    /// zdxdydz, gdzie V:    jest ostrosłupem ograniczonym

płaszczyznami współrzędnych i płaszczyzną o równaniu

d) 0 ;

i. a)

^v: ■ •

Etfe*'

^c)

BI

^h)

728 3 >	b) (f-'ln 2 - j|-) ;	°) 48
1 6 >	1 r x r xy ^f) /[/[/ ^xy2z3dz] 0 ^L 0 ^u 0 ^J	= 314
1 24 >	i) r ą^3bc^2 ;	„ a^2b^2e^248

§ 3. Zamiano zmiennych w całce potrójnej

Bardzo często przy obliczaniu całek potrójnych zastosowanie twierdzenia o zamianie zmiennych ułatwia i skraca wydatnie rachunki.

Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej. Jeżeli funkcja f(x,y,z) jest ciągła i ograniczona w obszarze przestrzennym regularnym V oraz spełnione są trzy następujące warunki:

1° Funkcje:

z = 3C(u,v,w)    (3.1)

x = <f(u,v,w) y = i|/(u,v,w)

są ciągłe wraz z pochodnymi cząstkowymi i-go rzędu w obszarze przestrzennym regularnym A i na jego brzegu.

2° Odwzorowanie wnętrza obszaru A na obszar -V za pomocą przekształcenia (3.1) jest wzajemnie jednoznaczne.

3° Jakobian ■»yprzekształcenia (3.1) jest różny od zera w każdym punkcie wewnętrznym obszaru A , to słuszny jest wzór:

(3.2)

j'fjf (x,y,z) dxdydz =fff t [<f (u,.v',w) ,V^,(^U.^V.^W)    (u,v,w)]

1 ^D(	;x,y,z;	>|
1 Dl		il

dudvdw

kelację (3.2) nazywamy wzorem na zamianę zmiennych w całce potrójnej. Praktyczne znaczenie wzoru (3.2) polega na tym, że