CCF20090321014

podczas gdy udział właściciela domu gry wynosi zawsze ponad l^ft/o wkładów *, co przy milionie rozegranych partii wyraża się liczbą równą iloczynowi pojedynczej stawki przez 10 000. Ten, kto gra milion partii, może zatem być całkowicie pewien, że nawet, gdy mu się poszczęści na tyle, na ile to jest praktycznie możliwe, poniesie stratę przewyższającą jego przeciętny wkład co najmniej 7000 razy.

(13) prawo wielkich liczb

Z prawa odchyleń można wyprowadzić prawo wielkich liczb, sformułowane po raz pierwszy w XVIII wieku przez Jacques Bernoulliego. Rozważmy nieskończony szereg prób powtarzanych i nazwijmy częstością przypadku sprzyjającego w ciągu n początkowych prób iloraz liczby przypadków sprzyjających przez liczbę n. Częstość tę oznaczymy symbolem fn. Prawo wielkich liczb głosi, co następuje: gdy n dąży do nieskończoności, częstość fn dąży do granicy f równej prawdopodobieństwu p.

Niektórzy współcześni teoretycy utrzymywali, że owo prawo wielkich liczb stanowi po prostu tautologię; sądzili bowiem, iż prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia można zdefiniować tylko jako częstość jego występowania w dużej liczbie prób. Jeśli przy bardzo dużej liczbie prób częstość ta nie dąży ku jakiejś określonej granicy, lecz oscyluje mniej lub bardziej pomiędzy różnymi granicami, należy uznać, że prawdopodobieństwo p nie jest niezmienne, ale zmienia się w toku kolejnych prób. Tak jest na przykład gdy chodzi o poziom śmiertelności ludzi, ponieważ wraz z postępem medycyny i higieny wzrasta przeciętna długość życia. Tak więc prawdopodobieństwo tego, iż nowonarodzone dziecko dożyje wieku lat 60, ujawnia tendencję wzrostu. Ten empiryczny

i W ruletce udział ten wynosi^ sumy wkładów. • ^: punkt widzenia w pełni odpowiada zadaniom statystyka badającego zjawiska demograficzne, których nie sposób przewidywać w inny sposób, jak tylko w oparciu o niezliczone obserwacje. Inaczej wszakże ma się rzecz w przypadku prostych zjawisk, których prawdopodobieństwo daje się obliczyć w oparciu o samą ich naturę; dotyczy to na przykład gry w kości, prawidłowo skonstruowanej ruletki, pewnych zjawisk fizycznych czy biologicznych, o których później będzie mowa.

Jeśli będziemy rzucać kostkę pewną niewielką ilość razy notując kolejno uzyskiwane rezultaty, stwierdzimy poważne różnice pomiędzy rozmaitymi wynikami: jeśli wykonamy 60 rzutów, uzyskamy np. 13 razy 6 oczek a tylko 7 razy 5 oczek. Ale prawo odchyleń mówi nam, że jeśli kość zostanie rzucona 30 000 razy, odchylenie rzeczywistej liczby rzutów, w których wypadnie 6 oczek, od liczby prawdopodobnej, wynoszącej 5000, nie może przekroczyć niewielkiej wielokrotności jednostki odchylenia, która wynosi tu 100 (pierwiastek kwadratowy z 5000 • 2). 6 oczek będziemy zatem uzyskiwali z częstością zawartą pomiędzy ilorazem 5300 przez 30 000 a ilorazem 4700 przez 30 000; częstość ta będzie zatem odbiegać od prawdopodobieństwa 1/6 mniej niż o jedną setną. Gdyby liczba prób była 100 razy większa, jednostka odchylenia wzrosłaby tylko 10-krotnie, a różnica między częstością a prawdopodobieństwem niemal na pewno nie sięgałaby jednej milionowej.

Ten prosty przykład pozwala dostrzec mechanizm działania prawa wielkich liczb. Oznaczyliśmy przez np + h zaobserwowaną liczbę przypadków sprzyjających danemu zdarzeniu; wiemy, że dodatnie lub ujemne odchylenie nie może przekroczyć niewielkiej wielokrotności (źl u) jednostki odchylenia w; owa jednostka odchylenia jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z 2 npą, a więc równa iloczynowi pewnej stałej liczbowej przez pierwiastek kwadratowy z n. Częstość f, równa

3 Prawdopodobieństwo I pewność    33