chądzyński1

116 6. FUNKCJE REGULARNE

Jest to funkcja, meromorfiezna w C. Ma ona jedynie dwa bieguny jednokrotne w punktach Zi = ib, z₂ = —ih. Obliczmy residuum funkcji / w punkcie z\. W myśl zadania 6.3.4 mamy

116 6. FUNKCJE REGULARNE

(2)

resii, / =

exp ta z

2z

z—ib

exp(—ab) 2ib "

Niech dalej liczba R będzie większa od b. Wówczas mamy

1 dla k = 1, 0 dla k = 2.

(3)

Z (1), (2) i (3), na mocy twierdzenia o residuach, dla dowolnego R. > b dostajemy

(4)    f    f(z)dz = =

Jr_n    2ib    b    s

Z drugiej strony mamy    I

(5)    f f(z)dz= [ f(z)dz+ [ f(z)dz.

./ T_n    J [—/?.,/?]    JCr    j

Obliczmy granicę pierwszej całki po prawej stronie (5) przy R —> 4-oo. Mamy

(0)

[    f(z)dz=

J\-R_yR]    J-R    J-R

exp iat

dt

R t² + &

^R sin at

-R

f^R cos at ,    . fⁿ si

"    J-R?

-I.

+ b²

dt

cos at _«+ &^s

lim

^R-*+<^x> J[-ri,R}

//'+oo

/ (z)dz = /

-R.R]    J- co

cos at t;² + b²

dt.

Ponadto z zadania 1 mamy

(7)

lim

R-~>+oo

exp ta z z² + b²

dz — 0.

j

i

Przechodząc w (5) do granicy przy R —*■ +oo i korzystając z (4),

(6) i (7), dostajemy

/

⁺°° cos at ^ 7rexp(—ab)

i² + łf- ⁼    6

To kończy rozwiązanie. Zadanie 5* Obliczyć całkę

gdzie a, b > 0.

□

f⁺°° i

Jo

. sin atdt 0 + b² ’

Rozwiązanie. Rozważmy w C funkcję / określoną wzorem

z exp iaz

(i)

/w

2² + 6²

Jest to funkcja meromorficzna w C. Ma ona jedynie dwa bieguny jednokrotne w punktach z\ = ib, Z2 = — ib. Obliczmy residuum funkcji / w punkcie £i. W myśl zadania 6.3.4 mamy

exp(—ab)

(2)

res» / =

zexpiaz

2z

z—ib

Niech dalej liczba R będzie większa od b. Wówczas mamy

dla k = 1, dla k = 2.

(3)    ind_rjj(z*) = j o

Z (1), (2) i (3) na mocy twierdzenia o residuach dla dowolnego R> b dostajemy

(4)

= ni exp(—ab).

Jf    % -r „ exp(—ab)

f (z)dz = 27Tl-—

Tn    ^Z

Z drugiej strony, mamy

(5)

f }{z)dz — f j(z)dz+ I f(z)dz.

J r_R    Ą-r,r]    Jc-r

Obliczmy granicę pierwszej całki po prawej stronie (5) przy R. —► -f oo. Mamy