170 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE
170 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE
f
Rozwiązanie. Z harmoniczności u, v dostajemy
Załóżmy teraz, że funkcja uv jest harmoniczna w G. Wówczas z (1) dostajemy w G równość
(2) u'xv'x 4- u'yvfy = 0.
Podobnie jak w dowodzie twierdzenia 1.60.1, zauważamy, że funkcje f = u x — iu'y, g = v'x — w1 są holomorficzne w G i, w myśl założenia, / 7^ 0, g 7^ 0. Zatem funkcja f jg jest holomorficzna w zbiorze G \ A, gdzie A jest zbiorem zer funkcji g. Z wniosku 1.34.1 i zadania 1.4.1 wynika, że zbiór G \ A jest obszarem. Z (2) w G \ A mamy
f U'z Re - = Re -
iu.
V' — IV.
Stąd, na mocy zadania 6.1.2, istnieje c £ IR, że f /g = ic w G \ A. Zatem z ciągłości / i g dostajemy
(3) / = icg w G.
Z (3) i określenia / i g mamy
u'x - m‘y = lc (v'x - •
Z (4) wynika, że funkcja u+icv spełnia warunki Cauchy’ego-Riemaima, funkcje u,v, jako harmoniczne, mają pochodne cząstkowe pierwszego rzędu ciągłe, zatem na mocy twierdzenia 1.10.2 funkcja u + icv jest holomorficzna w G.
Odwrotnie, załóżmy, że funkcja u + icv jest holomorficzna w G. Wtedy c 7Ś o, bo w przeciwnym razie funkcja u byłaby stała wbrew założeniu. Zatem funkcja (u + icv)2f(2c) jest holomorficzna w G i jej część urojona równa uv jest harmoniczna w G.
To kończy rozwiązanie. □
Zadanie 3. Niech u : C —> IR będzie funkcją harmoniczną. Pokazać, ze jeśli funkcja u jest ograniczona z góry przez stałą M, to jest stała.
Rozwiązanie. Z twierdzenia 1.60.1 wynika, że istnieje funkcja całkowita / taka, że u = Ref. Funkcja exp 0/ jest całkowita i jexp (/ (z))| = exp(Re f(z)) < exp M dla z e <C. Zatem, na mocy twierdzenia Liou-ville’a (twierdzenie 1.30.2), funkcja exp 0/ jest stała. Stąd, na mocy zadania 4.1.1, marny kolejno (expof)' = 0, /' = 0, / = const. W konsekwencji funkcja u jest stała.
To kończy rozwiązanie. □
Zadanie 4. Niech fi = {z £ C : R\ < \z — zo\ < R2}, 0 < Ri < R2 < +00. Pokazać, ze funkcja u jest harmoniczna w pierścieniu fi dokładnie wtedy, gdy istnieją stała A € M i funkcja holomorficzna ip : fi —» Cx pakie, ze
(*) u = X Log|(p| w fi.
I
I
Rozwiązanie. Załóżmy najpierw, że funkcja u jest harmoniczna w fi. jWówczas na mocy twierdzenia 1.62.1 istnieją stała aGli funkcja / jholomorficzna w fi takie, że
j(l) u (z) = a Log \z — zo\ 4- Re f(z) dla z <E fi.
IGdy a = 0, to z (1) dla z £ O, mamy
u (z) = Ref (z) = Log .
Gdy a 0, to z (1) dla z £ Q mamy
u(z) = a (Log |z - z0| + Re (1/a) f{z)) = a Log \p (z)\,
gdzie ip (z) = (z — zq) exp ((1/a) f{z)). Reasumując, w obu przypadkach funkcja u jest postaci (*).
Odwrotnie, załóżmy teraz, że funkcja u jest postaci (*). Ponieważ harmoniczność jest pojęciem lokalnym, wystarczy, by dla dowolnego punktu a £ O. istniało koło Ka C Q o środku w punkcie a takie, że funkcja u jest harmoniczna w Ka. Weźmy dowolne koło Ka C fi o środku w punkcie a. Z założenia funkcja nigdzie nie znika w Ka. ;Na mocy twierdzenia 1.41.1 istnieje w I\a gałąź logarytmu funkcji tp. Oznaczmy ją L. Wtedy Log |c/?| = Ref w Ka• Ponieważ funkcja jL jest holomorficzna (zadanie 4.1.5), więc na mocy własności 1.60.2 funkcja Log \<p\ jest harmoniczna w Ka. W konsekwencji funkcja u jest harmoniczna w Ka.
To kończy rozwiązanie. □
Zadanie 5. Niech Q = {z £ C : Ri < \z — z0| < R2}, 0 < R\ < R-2 < +co. Pokazać, ze jeśli funkcja u jest harmoniczna w O, to istnieją