DSC01861 (2)

Warunek prostopadłości płaszczyzn:

7t,±7t₂ <=> /*| _L/f₂ <=> A_XA₂ + B_xB₂ + C,C₂ = 0 Warunek równoległości płaszczyzn:

II iii    B_x Ci

^,i'»’^ijob.|p^oi:⁼ą⁼q

Jeżeli w liczniku jest zero, to przyjmujemy w mianowniku również zero. Odległość punktu P_Q[x_Q, y₀, z₀) od płaszczyzny

n:    Ax+ By + Cz + D = 0

MB°^+Cz°+^pi

■Ja¹+b²+cⁱ

Równanie pęku płaszczyzn wyznaczonego przez dwie nierównoległe płaszczyzny 7t,,Jt₂:

A_x(A_xx + B_xy + C_lz + D_x)+Z₂(A₂x + B₂y + C₂z + D₂) = 0

Ą+Ą>0

PRZYKŁAD

Znaleźć równanie płaszczyzny n przechodzącej przez punkt P_Q (-1,2,3) oraz prostopadłej do płaszczyzn n_x oraz n₂. Płaszczyzna n_x przechodzi przez punkty P_x (1,0,2), /^(0,—1,3)» Pj (2,1,0); równanie płaszczyzny n₂ jest postaci 2x-,y+ 3z-l = 0.

Rozwiązanie

Wyznaczamy wektor n\ prostopadły do płaszczyzny ji, : Wektor m jest prostopadły do wektorów P_XP₂ = [-l,-l,l], P_XP₃ =[1,1,-2] równoległycłTdo 7t,,

f j h -1 -1 1 1 1 -2

= i - j, czyli n = [1,—1,0].

Wektor n prostopadły do płaszczyzny | jest prostopadły do wektora n, oraz wektora n₂ = [2,-1,3] prostopadłego do płaszczyzny n₂. Wynika stąd, że n = n,xn₂,

i j h

1 -1 0 =-3i-3j+k.

2-13

Równanie płaszczyzny 7t przechodzącej przez punkt P₀ i prostopadłej do wektora n jest więc postaci - 3(x + l)-3(y-2) + z- 3 = 0. Ostatecznie jt:3z+3y-z = 0.

ZADANIA

142.    Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt ^t(l,3,— 2), mając wektor prostopadły do tej płaszczyzny n = [3,- 1,2J.

143.    Dane są punkty    5,4) i B(-4,3,7). Napisać równanie płaszczyzny

przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do wektora AB.

144.    Napisać równanie płaszczyzny równoległej do osi Oz i przechodzącej przez punkty A(2,4,5) i B(0,l,3).

145.    Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(2,-1,3), B(3,l,2) i równoległej do wektora a =[-3,1,4],

77