Wielkości podstawowe i uzupełniające układu SI
Wielkość Jednostka układu SI
Nazwa Oznaczenie
A. Wielkości podstawowe
długość metr m
masa kilogram kg
czas sekunda S
natężenie prądu elektrycznego amper A
temperatura termodynamiczna Kelvin K
światłość kandela cd
B. Wielkości uzupełniające
kąt płaski radian rad
kąt bryłowy steradian sr
Metr jest długością równą l 650 763,73 długości fali w próżni ściśle określonego
promieniowania monochromatycznego o barwie pomarańczowej, emitowanego przez izotop
kryptonu 86.
Kilogram jest masą międzynarodowego wzorca przechowywanego w
Międzynarodowym Biurze Miar w Sevres pod Paryżem.
Sekunda jest 1/31 556925,9747 częścią roku zwrotnikowego 1900.
Amper jest natężeniem nie zmieniającego się prądu elektrycznego, który - płynąc w dwóch
równoległych prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o przekroju okrągłym,
znikomo małym, umieszczonym w próżni w odległości jednego metra jeden od drugiego -
wywołuje między tymi przewodami siłę równą 2*10-7 niutona na każdy metr długości
przewodu.
Kelwin jest jednostką temperatury termodynamicznej w skali, w której temperatura punktu
potrójnego (punkt potrójny odpowiada stanowi równowagi miedzy fazą stałą , ciekłą i gazową)
wody jest równa dokładnie 273,16 K.
1
Kandela jest światłością, która ma w kierunku prostopadłym pole równe ��10-�5 m2
6
powierzchni ciała doskonale czarnego, promieniującego w temperaturze krzepnięcia platyny
pod ciśnieniem 101 325 N/m2.
Radian jest to jednostka miary łukowej kąta płaskiego, równa stosunkowi łuku l do
1
promienia tego łuku r a� =� Słownie definicja radiana (rad) brzmi: Radian jest to kąt płaski
r
zawarty między dwoma promieniami koła, wycinającymi z jego okręgu łuk o długości
równej promieniowi tego koła.
Steradian. Kąt bryłowy jest to cześć przestrzeni ograniczona powierzchnią stożkową. Jeżeli
ze środka pewnej powierzchni kulistej o promieniu r poprowadzimy powierzchnię stożkową
wycinającą część kuli o powierzchni S, to powierzchnia ta ograniczy kąt bryłowy W� równy
S
stosunkowi powierzchni S do kwadratu promienia r : W� =� Jednostką miary kąta bryłowego
r2
jest steradian (sr). Jego definicja brzmi: Steradian jest kątem bryłowym o wierzchołku w
środku kuli, wycinającym z jej powierzchni część równą powierzchni kwadratu o boku
równym promieniu tej kuli.
1
Ruch prostoliniowy. Prędkość ruchu.
Ruchem prostoliniowym nazywamy ruch ciała (punktu materialnego) po torze będącym linią
prostą.
Prędkość średnia. Jeżeli w chwili to ciało zajmuje położenie A (współrzędna S1), a w chwili
12 położenie B (współrzędna S2), to prędkość średnia ruchu jest definiowana wzorem
s2 -� s1 D�s
v =� =� . Prędkość średnia jest. więc ilorazem różnicowym drogi i czasu.
t2 -� t1 D�t
Prędkość chwilowa. Prędkość średnia nie określił dokładnie ruchu ciała. Prawdziwy obraz
ruchu ciała. np. na odcinku AB leżącym wzdłuż osi Os ,otrzymamy, znajdując prędkość
chwilową w każdym punkcie tego odcinka. Zatem prędkość chwilowa jest więc pochodną
drogi względem czasu. Prędkość chwilową nazywamy też po prostu prędkością.
D�S dS
v =� lim =� , ze wzoru tego wynika także , że przyrost drogi D� S w czasie od 0 do t
D�t��0
D�t dt
t
wyraża się całką D�S =�
��vdt
0
Ruch prostoliniowy jednostajny.
Jeżeli prędkość ciała jest stała (nie zależy od czasu), to ruch jest jednostajny. Ze wzoru
t
D�S =� przy założeniu, że w chwili t=0, S=0, otrzymujemy wzór na drogę w ruchu
��vdt
0
jednostajnym prostoliniowym S=vt . Prędkość chwilowa w ruchu jednostajnym jest stała i
równa prędkości średniej.
Ruch prostoliniowy zmienny. Przyspieszenie
Jeżeli prędkość ciała zależy od czasu, to ruch nazywamy zmiennym. Niech w chwili t1
prędkość ciała wynosi v1, a w chwili t2 niech wynosi v2. Przyspieszeniem średnim ruchu
v2 -� v1 D�v
nazywamy iloraz różnicowy prędkości i czasu, co zapisujemy a =� =� .
t2 -� t2 D�t
Przyspieszenie chwilowe, zwane krótko przyspieszeniem, jest pochodną prędkości względem
dv d2s
czasu. a =� =�
dt dt2
Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny.
Ruch, w którym przyspieszenie jest stałe (a=const), nazywamy mchem jednostajnie
zmiennym. Jeżeli a>0, to ruch jest jednostajnie przyspieszony, jeżeli zaś a<0, lo ruch jest
jednostajnie opóz
niony. Przypadek a=0 określa ruch jednostajny. v = vo + at , a draga
at2
określona jest wzorem : S =� vot +�
2
Ruch krzywoliniowy
Załóżmy że w chwili t punkt znajduje się w punkcie A, a jego położenie określone jest przez
wektor wodzący r(t). Po upływie czasu D�t punkt r�przemieści się po swym torze do punktu B,
r� r� r�
który jest określony przez wektor r =� r(t +� D�t) =� r(t) +� D�r . Droga, jaką przebyło ciało w tym
r�
czasie, wynosi D�S. Iloraz różnicowy przyrostu wektora D�r przez czas D�t, w którym ten
r�
r� D�r
przyrost nastąpił określa wektor prędkości średniej v =� . Prędkość chwilowa wyraża się
D�t
r� r�
r�
r� dr r� dS d2r
wzorem : v =� lim v =� v =� , a =�
D�t��0
dt dt dt2
2
Ruch po okręgu jest szczególnym przypadkiem ruchu krzywoliniowego. Obierzmy układ
współrzędnych 0xy tak, aby początek układu znajdował się w środku koła o promieniu r.
Droga kątowa. Położenie punktu A na okręgu można wtedy jednoznacznie określić za
pomocą kąta j�: kątj� nosi nazwę drogi kątowej. Jednostką drogi kątowej j�jest radian. Drogę
liniową s przebytą przez ciało po łuku koła można wyrazić za pomocą drogi kątowej
następująco S = j�r Oczywiście, aby wzór ten był prawdziwy droga j� musi być wyrażona w
radianach.
dj�
Prędkość kątowa oznaczana jest przez w� =� , a prędkość liniowa v =� w�r
dt
Okres ruchu to czas T potrzebny na przebycie drogi kątowej j� = 2p�. Dla ruchu
2p�
jednostajnego po okręgu T =� .
w�
Częstotliwością f ruchu po okręgu nazywamy liczbę obiegów punktu po okręgu w jednostce
1
czasu , f =� .
T
Przyspieszenie kątowe. Gdy ruch po okręgu jest niejednostajny, prędkość kątowa ulega
zmianom, możemy wówczas wprowadzić nową wielkość charakteryzującą ruch, mianowicie
przyspieszenie kątowe e�, które definiujemy jako pochodną, prędkości kątowej względem
ww� d2j�
czasu: e� =� =�
dt dt2
Inercjalne układy odniesienia. Transformacja Galileusza
Z pierwszej zasady dynamiki wynika, że jeśli na ciało nie działają żadne siły lub działają
siły zrównoważone (F=0), to ciało jest nieruchome lub porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym. Ponieważ ruch jest zmianą położenia ciała względem układu.
Otóż okazuje się, że zasada ta obowiązuje tylko w inercjalnych układach odniesienia. Układy
odniesienia, w których I zasada dynamiki nie jest spełniona, noszą nazwę układów
nieinercjalnych. Pierwsza zasada dynamiki jest w istocie postulatem, że układ inercjalny
istnieje.
Rozpatrzmy dwa układy odniesienia jeden nieruchomy O i drugi O' poruszający się
względem układu (J ruchem jednostajnym prostoliniowym x. prędkością v0. Układy te
orientujemy tak, aby osie x i x` pokrywały się i aby kierunek tych osi pokrywał się z
kierunkiem ruchu układu O'.
Przyjmujmy ponadto, że osie y i y' oraz z i z' są. do siebie równoległe oraz że w chwili t=0
układy pokrywają się.
Załóżmy, że chcemy opisać ruch punktu materialnego P z punktu widzenia
obserwatora związanego z układem O i obserwatora związanego /. układem O'.
Dwa układy odniesienia O i O' poruszają się względem siebie mchem jednostajnym
prostoliniowym. Prędkość poruszającego się ciała jest w obu układach różna, natomiast
przyspieszenie jest jednakowe. x'=x-vot y'=y z'=z Przyjmiemy ponadto, że w obydwu
układach odniesienia czas płynie jednakowo, tzn. t'=t Zależności te noszą nazwę
transformacji Galileusza.
Pierwsza zasada dynamiki głosi, że ciało nie poddane działaniu żadnej siły albo poddane
działaniu sił równoważących się pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym. Pierwsza zasada dynamiki nosi nazwę zasady bezwładności. Przez
bezwładność rozumiemy właściwość ciała decydującą o tym, że ciało bez działania sił nie
może zmienić ani wartości, ani kierunku swej prędkości. Czyli bez działania sil pozostaje w
3
takim stanie jak było wcześniej; spoczywa jeśli spoczywało, lub porusza się ruchem
jednostajnym jeśli było w jakimkolwiek ruchu.
Druga zasada dynamiki głosi, że: przyspieszenie ciała a jest wprost proporcjonalne do
siły F, która to przyśpieszenie wywołuje: F = ma
Trzecia zasada dynamiki zwana również zasadą akcji i reakcji, dotyczy wzajemnego
oddziaływania dwóch ciał (względnie układów ciał). Głosi, że jeżeli ciało A działa na ciało B
r� r�
siłą FAB a ciało B działa na ciało A siłą FBA równą co do wartości, lecz przeciwnie
skierowaną: FAB=-FBA
Pęd (p) - wektorowa wielkość fizyczna charakteryzująca ruch postępowy ciała o kierunku i
zwrocie pokrywającym się z kierunkiem i zwrotem wektora prędkości. Pęd ciała jest równy
iloczynowi masy (m) i prędkości (V) poruszającego się ciała: p = mv.
Jednostką pędu jest kilogramometr na sekundę kg m/s - jest to pęd ciała o masie 1kg
poruszającego się z prędkością 1m/s.
Popęd siły (impuls siły) - wektorowa wielkość fizyczna charakteryzująca działanie siły F na
ciało w przeciągu czasu D�t; równa jest iloczynowi: FD�t.
Jednostką popędu jest niutonosekunda (Ns) - jest to popęd (impuls) siły udzielony ciału
przez działanie na nie w czasie 1s stałej siły równej 1N.
Zasada zachowania pędu - w układach odosobnionych pęd całkowity układu, będący sumą
wektorową pędów poszczególnych ciał układu, jest wielkością stałą. W układzie, na który nie
działają niezrównoważone siły zewnętrzne, suma pędów początkowych p0 oddziałujących na
siebie ciał jest równa sumie pędów końcowych pk tych ciał. Co zapisujemy w postaci p=const.
lub pk=p0.
Moment pędu, kręt, wektor osiowy J charakteryzujący ruch ciała (w szczególności ruch
obrotowy): J=r�p (iloczyn wektorowy wektora wodzącego r i pędu ciała).Dla układu ciał
moment pędu układu jest sumą wektorową momentu pędu pojedynczych ciał, dla ciała
o ciągłym rozkładzie masy moment pędu wyraża się wzorem:
gdzie: V - objętość ciała, dv - element objętości, �(r) - funkcja rozkładu gęstości, u(r) -
prędkość elementu objętości dv. Równanie ruchu obrotowego ciała ma postać: dJ/dt=D gdzie
D moment sił zewnętrznych (moment siły). Moment pędu bryły sztywnej wyraża się (w
układzie odniesienia, w którym oś obrotu przechodzi przez początek układu) poprzez tensor
momentu bezwładności I i prędkość kątową �, J=I�. Moment pędu izolowanego układu jest
zachowywany (zasada zachowania krętu).
Coriolisa siła, jedna z sił bezwładności działająca na ciało znajdujące się w nieinercjalnym
(tu: obracającym się) układzie odniesienia, Fcor = -2m ��v, gdzie m - masa ciała, � - wektor
prędkości kątowej obracającego się układu, v - wektor prędkości liniowej ciała mierzony
w obracającym się układzie odniesienia .Siła Coriolisa spowodowana dziennym ruchem
obrotowym działa na poruszające się poziomo na Ziemi ciała, osiągając największe wartości
na biegunach (przy ruchu poziomym wektory � i v są prostopadłe, niezależnie od kierunku
4
v), a jej składowa pozioma zanika na równiku. Na półkuli północnej powoduje odchylanie
się poruszających się poziomo ciał na prawo (odpowiedzialne np. za intensywniejsze
podmywanie prawych brzegów rzek), a na półkuli południowej - w lewo. Siła Coriolisa
działa na spadające swobodnie ciała, odchylając je od pionu w kierunku wschodnim. Siła
działająca na jednostkową masę nazywa się przyspieszeniem Coriolisa.
Nieinercjalny układ odniesienia, fizyczny układ odniesienia, w którym nie jest spełniona I
zasada dynamiki Newtona: np. układ związany z obracającym się ciałem (w szczególności
układ związany z Ziemią) lub ciałem poddanym przyspieszeniom liniowym. Przeciwieństwo
układu odniesienia inercjalnego. W nieinercjalnym układzie odniesienia obserwuje się np.
siłę Coriolisa, siłę odśrodkową, inne siły bezwładności.
Siły bezwładności, pozorne siły działające na ciała fizyczne w nieinercjalnych układach
odniesienia (styczna siła bezwładności, siła odśrodkowa, siła Coriolisa). Liczbowo siły
bezwładności równe są iloczynowi masy i odpowiedniego przyspieszenia, a skierowane
przeciwnie niż siła wymuszająca ruch.
Lorentza transformacja, Lorentza przekształcenie, przekształcenie matematyczne opisujące
transformacje wielkości fizycznych w czasoprzestrzeni czterowymiarowej przy przechodzeniu
od jednego inercjalnego układu odniesienia, określonego przez współrzędne przestrzenne x, y,
z i współrzędną czasową t, do drugiego, określonego przez współrzędne x', y', z' oraz t'. W
najprostszym przypadku, jeśli układ (x', y', z', t') porusza się jednostajnie w kierunku osi
x z prędkością v, to transformacja Lorentza ma postać:
gdzie c - prędkość światła w próżni.
transformacji Lorentza wynikają wszystkie efekty
kinematyczne szczególnej teorii względności, takie
jak: reguła sumowania się prędkości prowadząca do
niemożności uzyskania prędkości większej od
prędkości światła, względność pojęcia równoczesności, skrócenie Lorentza-Fitzgeralda,
spowolnienie biegu poruszających się zegarów.
Czasoprzestrzeń, przestrzeń czterowymiarowa, w której oprócz trzech składowych
przestrzennych występuje składowa czasowa, podstawowe pojęcie współczesnej fizyki,
inaczej: przestrzeń zdarzeń fizycznych. Pojęcie czasoprzestrzeni wprowadził A. Einstein
w szczególnej teorii względności.
Względności teoria szczególna, STW Podstawowe założenie STW to stałość prędkości
światła w każdym układzie odniesienia (Michelsona-Morleya doświadczenie) - wynika z tego
prawo transformacji współrzędnych przestrzennych i czasu przy przejściu od jednego układu
odniesienia do drugiego, opisane przez transformację Lorentza, oraz postulat prawdziwości
zasady względności głoszącej, że prawa fizyki mają taką samą postać w każdym inercyjnym
układzie odniesienia.
Dodawanie prędkości wg Einsteina. Przedmiot ma już prędkość ux w jednym układzie i u`
x
w innym układzie , który porusza się z prędkością v. A więc u` = ux + v , wiedząc że
x
g�v
dx`=g�dx + g�vdt i dt`=� g�dt +� dx dzieląc pierwsze równanie przez drugie i zastępując dx/dt i
c2
5
ux +� v
dx`/dt` odpowiednio przez ux i u` otrzymujemy : u` =� -dodawanie prędkości wg
x
x
1+� vu
x
c2
Einsteina.
Równoważność masy i energii E=mc2 . E oznacza całkowitą energię ciała. Masa ciała w
spoczynku jest równa masie i jego energia wynosi Eo =� moc2 i nazywamy ją energią
spoczynkową, co oznacza że ciało będąc w spoczynku posiada pewną energię związaną z jego
masą. Jeśli ciało to zostanie wprowadzone w ruch przez działanie siły. Praca tej siły zamieni
się energię kinetyczną ciała . Energia kinetyczna ciała równa jest zatem różnicy energii
całkowitej ciała w ruchu i jego energii spoczynkowej, czyli Ek =� E -� Eo =� (m -� mo )c2 po
ć� ��
�� ��
1
przekształceniu tego wzoru mamy Ek =� moc2 (g� -�1) =� moc2�� -�1�� Wzór ten różni się
��
v2 ��
�� ��
1-�
��
c2 ��
Ł� ł�
1
ć�E
w istocie od wzoru klasycznego =� mv2 �� . Jednak można udowodnić że oba wzory dają
�� ��
k
2
Ł� ł�
te same wyniki dla niewielkich prędkości. W tym celu należy skorzystać z rozwinięcia w
n(n -�1)
n
szereg : (�1+� x)� =�1+� nx +� x2 +� ... w tym przypadku n = -1/2, a x = -v2/c2. Zatem
1��2
ć� 1 v2 3 v4 ��
�� ��
Ek =� moc2��1+� +� +� ...-�1�� Jeżeli v <2 c2 8 c4
Ł� ł�
1 v2 mov2
wyższych potęgach i otrzymamy Ek � moc2 �� =� Otrzymaliśmy klasyczny wzór na
2 c2 2
energię kinetyczną , stanowiący szczególny przypadek wzoru relatywistycznego, gdy v <Według mechaniki relatywistycznej energia kinetyczna jest związana z przyrostem masy
ciała. To samo dotyczy innych rodzajów energii. Na przykład każde ciało w miarę
podnoszenia go nad poziom Ziemi, zwiększa swoją masę. Oczywiście zmiany te są tak
niewielkie, że są niewykrywalne; dopiero w zjawiskach atomowych i jądrowych zmiana masy
z energią są znaczne.
Prawo powszechnego ciążenia . Dwa punkty materialne o masach m1 i m2 przyciągają się
wzajemnie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu
m1m2
ich odległości r , czyli F =� G gdzie G jest to stała uniwersalna nazywająca się stałą
r2
grawitacyjną, która wynosi G =� 6,67��10-�11 N ��m2 / kg2 .
Mm
Ciężar ciał jest to siła jaką ciało materialne jest przyciągane przez Ziemię. F =� G gdzie
R2
M to masa ziemi, a R jej promień. Siła ta nadaje swobodnie spadającemu ciału
przyspieszenie g zwane przyspieszeniem ziemskim F = mg z porównania obu wzorów
otrzymujemy zależność na przyspieszenie ziemskie powiązaną z stałą grawitacyjną
GM
g =� . Wielkość przyspieszenia zależy od szerokości geograficznej co powoduje że jest
R2
największa na biegunach, a najmniejsza na równiku gdyż ziemia jest elipsą.
6
Pole grawitacyjne. W absolutnej pustej przestrzeni jeśli umieścimy punkt materialny o masie
M, wówczas w przestrzeni otaczającej masę M powstaje wówczas pole grawitacyjne o takiej
własności, że jeśli w dowolnym punkcie tego pola, odległym o r od masy M , umieścimy
Mm
próbną masę m , to będzie na nią działać siła F =� G , siła ta w postaci wektorowej
r2
Mmr
przyjmuje postać F =� -�G . Natężenie pola grawitacyjnego nazywamy stosunek siły
r3
działającej na masę próbną do wartości tej masy. Natężenie pola jest wektorem i wyraża się
F Mr
wzorem: g� =� =� -�G .
m r3
Energia potencjalna i potencjał pola grawitacyjnego. Siłą grawitacji jest siłą
zachowawczą, możemy wobec tego obliczyć energię potencjalną położenia masy próbnej. W
tym celu należy obliczyć pracę siły grawitacyjnej wykonaną przy przesunięciu masy próbnej
m od danego punktu pola P do punktu odniesienia O. EP = WPO. Niech punkt P znajduje się w
odległości rO od masy M wytwarzającej pole grawitacyjne . Praca wykonana przez pole
grawitacyjne przy przesunięciu masy próbnej m z punktu P do nieskończoności wynosi :
Ą�
Mm
WPO =� -� , podstawiając za F otrzymujemy WPO =� -�G , zatem grawitacyjna energia
��Fdr
rO
rO
Mm
potencjalna masy próbnej w dowolnej odległości r od masy M wynosi EP (r) =� -�G
r
Temperatura jest wielkością skalarną określającą stopień nagrzania ciała. Jej równość
zapewnia równowagę termiczną ciał będących w kontakcie (równowaga termiczna).
Jednostką temperatury w skali bezwzględnej jest kelwin (K), a w skali Celsjusza stopień (oC).
T-temperatura w skali bezwzględnej, t-w stali Celsjusza , a więc T = t + 273,15 .
Ciepłem nazywamy ilość energii wewnętrznej jaka przepływa między ciałami w wyniku
różnicy temperatur. Ciepło jest mikroskopowym sposobem przekazywania energi. Jednostką
ciepła podobnie jak energii i pracy jest dżul (J).
Ciepłem właściwym nazywamy ilość ciepła, jaką musi wymienić z otoczeniem ciało o masie
Q
1 kg, aby jego temperatura zmieniła się o 1k. c =� , gdzie Q - ilość pobranego ciepła, m 
mD�T
masa, D�T  przyrost temperatury , jednostką ciepła właściwego jest J/(kgK) .
Ciepłem molowym substancji nazywamy ilość ciepła potrzebną do ogrzania 1 mola tej
Q
substancji o 1K. C =� Q - ilość ciepła, n  liczba moli substancji , D�T  zmiana
nD�T
temperatury, C  ciepło molowe. Jednostka ciepła molowego w układzie SI jest J/(mol K).
Pomiędzy ciepłem właściwym a ciepłem molowym zachodzi związek C = cm� , gdzie m� - masa
molowa.
Równanie stanu gazu doskonałego. Stan pewnej stałej ilości gazu określają jednoznacznie
trzy parametry stanu : ciśnienie p , objętość V i temperatura T. PV = nRT, gdzie n  liczba
moli danego gazu , a R = 8,314 J/(molK)  uniwersalna stała gazowa. Fikcyjny gaz , który
dokładnie spełniałby to równanie w każdych warunkach, nazywamy gazem doskonałym.
Gazy rzeczywiste mają właściwości zbliżone do gazu doskonałego jedynie wtedy, gdy są
rozrzedzone. Założenia wprowadzone dla gazu doskonałego przestają jednak obowiązywać
przy dużych gęstościach gazu. Wtedy należy uwzględnić np. efekty związane z siłami
spójności i skończoną objętość cząsteczek gazu. Zmodyfikowane równanie stanu gazów
rzeczywistych dokładniej niż równanie Clapeyrona, zostało wprowadzone przez van der
7
Waalas. Równanie van der Waalsa opisuje z dobrym przybliżeniem stan gazu rzeczywistego i
a
ma postać :(p +� )(v -� b) =� RT , gdzie a i b  wielkości wyznaczone doświadczalnie dla
v2
danego gazu, v = V/n  objętość molowa
Założenia kinetycznej teorii gazu doskonałego. Z mikroskopowego punktu widzenia gaz
doskonały możemy też zdefiniować , czyniąc pewne założenia o własnościach cząsteczek
gazów rzeczywistych. Mianowicie: 1. Cząsteczki danego gazu można traktować jako punkty
materialne o równych masach, 2. Cząsteczki gazu znajdują się w szybkim chaotycznym
ruchu. Chaotyczność ruchu oznacza , że cząsteczki poruszają się we wszystkich kierunkach ,
jakie są tylko możliwe , i że żaden z tych kierunków nie jest uprzywilejowany, 3. Cząsteczki
gazu zderzają się sprężyście ze sobą i ze ściankami naczynia . Siły działające podczas
zderzenia są siłami zachowawczymi i wobec tego energia mechaniczna cząsteczek pozostaje
stała, 4. Siły działają tylko w momencie zderzenia się cząsteczek gazu. Cząsteczki oddalone
od siebie nie działają na siebie żadnymi siłami, 5. Objętość cząsteczek gazu jest
zaniedbywalnie mała w porównaniu z objętością zajmowaną przez gaz.
Rozkład Maxwella. Ten angielski fizyk na podstawie założeń teorii kinetycznej gazu
wyprowadził prawo rozkładu wartości prędkości poruszających się cząsteczek. Ma ono
2
4 v2 2kT
P
postać: f (v) =� e-�v / v3 gdzie vp =� nosi nazwę prędkości najbardziej
v3 m
p�
p
prawdopodobnej . Funkcja f(v) określa prawdopodobieństwo , że na ogólną liczbę cząsteczek
N, liczba dN cząsteczek ma prędkości zawarte w elementarnym przedziale od v do v+dv.
dN
Zatem =� f (v)dv
N
I zasada termodynamiki. Zmiana energii wewnętrznej układu termodynamicznego jest
równa sumie ciepła pobranego (lub oddanego) przez układ i pracy wykonanej nad układem
przez siły zewnętrzne (lub przez układ nad otoczeniem). U2  U1 = Q + W , gdzie U1 
energia wewnętrzna układu w stanie początkowym , U2  energia wewnętrzna w stanie
końcowym, Q- energię pobraną(lub oddaną) przez układ w wyniku wymiany ciepła , W-
energię pobraną (lub oddaną) przez układ w wyniku wykonania pracy przez siły zewnętrzne.
II zasada termodynamiki. Wg Plancka: Niemożliwe jest zbudowanie maszyny cieplnej
działającej cyklicznie , która oziębiałaby zbiornik ciepła i wykonywała pracę nie powodując
żadnych zmian w przyrodzie. Wg Clausiusa: żadna pracująca cyklicznie maszyna nie może
bez zmian w otoczeniu przenosić w sposób ciągły ciepła z jednego ciała do drugiego o
wyższej temperaturze.
Entropia. Do scharakteryzowania termodynamicznych procesów należy nową wielkość ,
zwaną entropią S. Entropia jest termodynamiczną funkcją nie zależną od drogi przejścia od
jednego stanu do drugiego, a zależną tylko od początkowego i końcowego stanu układu. A
więc entropia jest funkcją stanu określoną dla stanów równowagi i taką, że w procesie
dQ dQ
kwazistatycznym dS =� albo D�S =� . Jednostką entropii jest dżul/kelwin(J/K). Drugą
��
T T
zasadę termodynamiki można sformułować następująco: Entropia układów
termodynamicznych jest jednoznaczną funkcją stanu tych układów.
Cykl Carnotta. Silnik Carnota jest to silnik , którego teoretyczna sprawność jest większa niż
sprawność spalania wewnętrznego, posiada największą sprawność. Seria procesów w nim
zachodzących nazywamy cyklem Carnota. Silnik ten posiada cztery cykle:
8
g�
1)PaVa=PbVb  rozprężanie izotermiczne, 2) PbVb =� PcVcg� - rozprężanie adiabatyczne,
g�
3)PcVc=PdVd  sprężanie izotermiczne, 4) PdVd =� PaVag� - sprężanie adiabatyczne.
Ciśnienie w cieczy i gazie . Prawo Pascala.
Ciecze i gazy noszą łączną nazwę płynów . Ciśnienie płynu można scharakteryzować
wielkością siła działających na siebie poszczególnych warstw płynu lub na stykające się z
nimi ciała . Stosunek siły parcia na dowolną powierzchnię w płynie do wielkości tej
powierzchni nazywamy ciśnieniem . Jednostką ciśnienia jest paskal (Pa). Jest to ciśnienie
jakie wywiera siła jednego niutona na powierzchnię 1 m2 1Pa =� 1N Zjawisko to opisuje
--
1m2
prawo Pascala, które można sformułować następująco: Ciśnienie zewnętrzne wywierane na
ciecz lub gaz jest przenoszone we wszystkich kierunkach jednakowo.
p = po + d�gh , gdzie d� gęstość cieczy, g  przyspieszenie ziemskie, h- głębokość mierzonego
ciśnienia, po ciśnienie na powierzchni.
Prawo Archimedesa. Na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu równa ciężarowi
wypartej przez to ciało cieczy.
Pływanie ciał. Na każde ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu W = Vgd�o i siła
ciężkości Q = Vgd� - gdzie d�o i d� oznaczają odpowiednio gęstość cieczy i średnią gęstość ciała
niejednorodnego . Wypadkowa tych dwóch sił wyraża się wzorem R = W-Q = Vg(d�o -d�).
Mogą tu wystąpić trzy przypadki: 1) d�>d�o wówczas wypadkowa siła R<0 ciało będzie tonąć.
2) d�=d�o - wówczas R=0 ciało będzie znajdować się w równowadze z cieczą na dowolnej
głębokości zanurzenia, 3) d�0 ciało będzie pływać częściowo zanurzone.
Przepływ płynu. Ruch płynów nazywamy przepływem , a uporządkowany ruch cząsteczek
płynów poruszających się w jednym kierunku strumieniem lub strugą . Przepływ nazywamy
laminarnym, jeżeli strumień płynu może być rozłożony na warstwy , których wektor
prędkości jest równoległy do kierunku przepływu. Przepływ płynu nazywamy turbulentnym ,
jeżeli zachodzi mieszanie się poszczególnych warstw płynu . W ruchu turbulentnym dla
dv
różnych warstw płynu pochodne prędkości względem czasu ą� 0 . Jeżeli w danym
dt
punkcie przestrzeni prędkość przepływającego płynu nie zależy od czasu , to przepływ taki
nazywamy ustalonym lub stacjonarnym.
v1 S2
S1v1 =� S2v2 lub =� Związek ten nosi nazwę równania ciągłości, z którego wynika , że
v2 S1
prędkości cieczy w strudze są odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekrojów strugi.
mv2
+� mgh +� pV =� const . Równanie to nosi nazwę równania Bernoulliego. Dzieląc stronami
2
powyższe równanie przez objętość V i podstawiając za m/V gęstość cieczy d� otrzymamy
d�v2
postać równania następującą p +� +� d�gh =� const . Na podstawie tych dwóch równań
2
możemy sformułować prawo Bernouliego następująco : Suma energii kinetycznej,
potencjalnej i ciśnienia jednostki masy (lub jednostki objętości) ustalonego przepływu cieczy
doskonałej jest wielkością stałą.
Prawo Culomba.
Dwa nieruchome punktowe ładunki elektryczne odpychają się lub przyciągają z siłą
proporcjonalną do iloczynu tych ładunków, a odwrotnie proporcjonalną do ich odległości.
9
Wyrazimy to przy pomocy równania:
r�
r�
q1q2 r12
F12 =� k
r�
2
r12 r12
gdzie q1 i q2 są wielkościami skalarnymi określającymi wielkość i znak ładunków. Wielkość
F12 jest silą działającą na ładunek, zaś wektor r12 jest skierowany od ładunku q2 do q1.
W układzie jednostek SI stałą k można zapisać w postaci:
�� ł�
1 N �� m2
gdzie e�o=0.8859*10-11 jest przenikalnością próżni.
k =� =� 8.9875 ��109 / e�
r ę� ś�
2
4p�e�oe� C
r �� ��
Stała e�r występująca we wzorze nosi nazwę względnej przenikalności elektrycznej ośrodka i
wyraża się liczbą niemianowaną. Znając e�o i e�r możemy określić przenikalność elektryczną
e� każdego ośrodka materialnego: e� = e�oe�r
Natężenie pola elektrycznego.
Przestrzeń otaczająca ładunki elektryczne posiada taką właściwość, że na umieszczone w
dowolnym jej punkcie inne ładunki działa siła. Mówimy, że wokół ładunków elektrycznych
istnieje pole elektryczne.
Istnienie pola elektrycznego można wykryć wprowadzają do przestrzeni w r�której ono działa
ładunek próbny q0. W polu elektrycznym na ładunek próbny działa siła F . Umożliwia to
wprowadzenie pojęcia: natężenia pola elektrycznego.
r� r�
Natężenie pola elektrycznego E definiuje się jako stosunek siły F , działającej na dodatni
ładunek próbny q0, do wartości tego ładunku.
r�
r�
F
E =� Natężenie pola elektrycznego jest wektorem. W każdym punkcie przestrzeni wektor
q0
r�
E może mieć inną wartość i inny kierunek. Jednostką natężenia pola w układać SI,
wynikającą ze wzoru powyżej jest [N/C], jednakże w praktyce przyjęło się używać jednostki
N J / m VAs V
równoważnej [V/m]. =� =� =� Obliczenie natężenia pola elektrycznego w
C A �� s mAs m
dowolnym punkcie przestrzeni jest w zasadzie możliwe zawsze, jeżeli znamy rozkład
ładunków wytwarzających to pole. Z prawa Coulomba i definicji pola elektrycznego możemy
wyznaczyć natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez ładunek punktowy q.
r�
r�
r�
F 1 qq0 r�
r 1 q r
E =� =� =�
2 2
q0 4p�e� r q0 r 4p�e� r r
Ze wzoru powyżej wynika, że na ładunek q0 znajdujący się w polu elektrycznym działa
r� r�
siła F = q0 E . Siła ta może wykonać pracę przesuwając ładunek. Elementarna praca
r�
wykonywana przez siłę elektryczną przy przesunięciu ładunku na elemencie drogi d l wynosi
r� r� r� r�
dW = F d l = q0 E d l . Praca sił pola elektrycznego na drodze między punktami A i B wyrazi
B B
r� r� r� r�
się zatem wzorem WAB =� =� q0
��Fdl ��Edl
A A
Można wykazać, że pole elektrostatyczne, tzn. takie które nie zmienia się w czasie, jest polem
potencjalnym, czyli że siły elektryczne są. siłami zachowawczymi. Oznacza to, że wartość
pracy WAB nie zależy od wyboru drogi między punktami A i B. Z własności sił potencjalnych
wiadomo też, że praca takich sił na drodze zamkniętej jest równa zeru. Powyższe sprawdzimy
dla najprostszego przypadku przesuwania ładunku próbnego q0 w polu ładunku punktowego
Q po drodze ABCDA. Odcinki AB i CD tej drogi leżą na liniach sił pola, odcinki BC i DA -
na łukach kół, które w każdym swym punkcie są prostopadłe do linii sił. Praca sił pola na
odcinku AB jest równa co do wartości, lecz przeciwna co do znaku względem pracy
10
wykonanej na odcinku CD. Prace na odcinkach BC i AD są równe zeru ze względu na
prostopadłość kierunków siły i przesunięcie. A zatem całkowita praca na drodze zamkniętej
ABCDA jest równa zeru. Zdefiniujemy obecnie napięcie elektryczne UAB między punktami
WAB
A i B, mianowicie UAB =� co słownie można wyrażać następująco: Napięciem
q0
elektrycznym między punktami A i B nazywamy stosunek pracy WAB wykonanej przy
przesunięciu ładunku q0 z punktu A do B do wielkości tego ładunku. Należy podkreślić, że
niezależność pracy od kształtu drogi umożliwia jednoznaczne określenie napięcia między
danymi punktami A i B, Przejdziemy teraz do określenia potencjału: Potencjałem danego
punktu A nazywamy napięcie między punktem A i punktem nieskończenie odległym.
Zatem potencjał VA jest związany z pracą przesunięcia ładunku q0 od punktu A do
WAĄ�
nieskończoności. VA =� Aby uzyskać zależność między napięciem a potencjałem
q0
rozważmy pracę wykonaną na drodze od punktu A do nieskończoności, a następnie od
nieskończoności do B. Praca ta wynosi
WAĄ�B =� WAĄ� +� WĄ�B =� q0UAĄ� +� q0UĄ�B =� q0VA -� q0VB =� q0(�VA -� VB )�
Z drugiej strony, ponieważ praca nie zależy od wyboru drogi, musi być ona równa pracy na
odcinku AB, czyli: WAB =� q0UAB Z porównania ostatnich dwóch związków wynika, że
czyli: Napięcie między dwoma punktami pola elektrycznego równa się
UAB =� VA -� VB
różnicy potencjału tych punktów. Z wzorów definicyjnych napięcia elektrycznego i
J AVs
potencjału wynika, że napięcie i potencjał mają wspólną jednostkę. =� =� V
C As
Prawo Gaussa dla pola elektrycznego.
Prawo Gaussa-Oslrogradskicgo, zwane też krótko prawem Gaussa, dotyczy zależności
strumienia pola elektrycznego przechodzącego przez dowolną zamkniętą powierzchnię S od
ogólnego ładunku znajdującego się wewnątrz obszaru objętego tą powierzchnią. Dowód
prawa Gaussa podamy dla powierzchni kulistej o promieniu R , w środku której znajduje się
ładunek +Q. Linie sił wychodzą radialnie z tego ładunku i przecinają prostopadle
powierzchnię kuli. Natężenie pola E w dowolnym punkcie tej powierzchni zgodnie z wzorem
1 Q
równa się: E =� Strumień pola elektrycznego przez powierzchnię kuli wynosi zatem:
2
4p�e� R
r� r�
1 Q Q Q
2
f�E,S =� =� 4p�R czyli f�E,S =� =� We wzorze wektory E i ds są w każdym
��EdS 2
4p�e� R e� e�oe�r
punkcie na powierzchni kuli równoległe do siebie, a symbol oznacza całkowanie po
��
powierzchni zamkniętej (jaką jest powierzchnia kulista).Jak widać z wzoru całkowity
strumień pola elektrycznego nie zależy od promienia kuli, przez którą przechodzi, a zależy
jedynie od ładunku Q znajdującego się wewnątrz i od przenikalności elektrycznej ośrodka.
Można udowodnić, ze wzór Gaussa nie zmienia swej postaci przy zastąpieniu kuli dowolną
zamkniętą powierzchnią S. Jeżeli wewnątrz zamkniętej powierzchni S znajduje się N
ładunków Q1,Q2,Q3...QN (dodatnich i ujemnych), to całkowity strumień elektryczny
N
1 1
przechodzący przez tę powierzchnię wynosi: f�E,S =� =� Q gdzie
��Qi
e�oe�r i=�1 e�oe�r
Q =� Q1 +� Q +� ... +� Q Jeżeli powierzchnia zamknięta obejmuje ładunki dodatnie i ujemne
2 N
w takiej ilości, że ich suma algebraiczna równa się zeru, to całkowity strumień elektryczny
przez tę powierzchnię równa się zeru. Ostatecznie prawo Gaussa dla pola elektrycznego
możemy sformułować następująco: Całkowity strumień pola elektrycznego f�E,S przez
11
dowolną powierzchnię zamkniętą S jest równy algebraicznej sumie Q ładunków zawartych
1
wewnątrz tej powierzchni pomnożony przez czynnik
e�oe�r
Prąd stały i prawa Ohma i Kirchoffa.
Przez przepływ prądu elektrycznego rozumiemy ruch ładunków elektrycznych. Czynnikiem
wywołującym ten ruch jest istnienie napięcia, czyli różnicy potencjałów.
W każdym zamkniętym obwodzie prądu można wyróżnić z
ródło (czyli tzw. część
wewnętrzną obwodu) wytwarzające różnicę potencjałów między dwoma biegunami,
dodatnim i ujemnym, oraz odbiorniki prądu (czyli tzw. część zewnętrzną obwodu, utworzoną
z przewodników elektryczności).
Zgodnie z tradycją, za kierunki prądu w obwodzie zewnętrznym przyjmuje się kierunek od
potencjału wyższego - dodatniego, do niższego - ujemnego, czyli za umowny kierunek prądu
przyjmuje się kierunek ruchu ładunków dodatnich.
W czasie przepływu prądu przez przewodniki metalowe mamy do czynienia z ruchem
swobodnych elektronów, a więc nośników prądu poruszających się od potencjału niższego do
wyższego, czyli w kierunku przeciwnym do umownie przyjętego. W elektrolitach
wchodzących w skład zewnętrznej części obwodu mamy do czynienia z ruchem jonów
dodatnich (tzw. kationów) do elektrody ujemnej (katody) i jonów ujemnych (tzw. anionów)
do elektrody dodatniej (anody). W tym przypadku mówimy o prądzie jonowym- W
półprzewodnikach może występować przewodnictwo elektronowe oraz dziurowe . W gazach
występuje zarówno przewodnictwo jonowe, jak i elektronowe.
Przez natężenie prądu elektrycznego (zwanego też krótko prądem elektrycznym) rozumiemy
stosunek ładunku przepływającego przez poprzeczny przekrój przewodnika do czasu
dQ
przepływu: I =� gdzie I oznacza natężenie prądu elektrycznego, Q - ładunek elektryczny, t
dt
- czas przepływu. W przypadku prądu stałego, tj. prądu płynącego w jednym kierunku, gdy
Q
jego natężenie jest stałe w czasie I =� . Jednostką natężenia prądu elektrycznego jest amper
t
[A].
Prawo Ohma . Prawo Ohma mówi o prostej proporcjonalności prądu I płynącego przez
V1 -� V2 U
przewodnik do napięcia U przyłożonego na jego końcach. I =� =� gdzie R oznacza
R R
współczynnik proporcjonalności zwany oporem elektrycznym przewodnika. Równanie
powyżej przedstawia matematyczny zapis prawa Ohma.
Prawo Ohma mówi, że stosunek napięcia U między dwoma punktami przewodnika do
należenia I przepływającego przezeń prądu jest wielkością siała (R) i nie zależy ani od
napięcia U, ani od natężenia I prądu. Opór elektryczny R (zwany też rezystancją) wyrażany
jest w omach [W�].
Opór przewodnika R równa się l omowi, jeżeli niezmienne napięcie U równe l woltowi
istniejące na końcach przewodnika wywołuje w nim prąd I o natężeniu l ampera.
Prawa Kirchoffa. Pierwsze prawo Kirchoffa mówi, że w dowolnym punkcie W obwodu (w
węz
le) suma algebraiczna natężeń prądów stałych dopływających i odpływających do węzła
równa się zeru. I1 +� I2 -� I3 -� I4 -� I5 =� 0 Natężenie prądów dopływających do węzła uważamy
za dodatnie, natężenie prądów odpływających za ujemne. Innymi słowy, w żadnym punkcie
obwodu ładunki się nie gromadzą, nigdzie też nie giną, ani nic powstają (zasada zachowania
ładunku). Ile ładunków do węzła dopływa, tyle w tym samym czasie z niego odpływa:
n
��I =� 0
i=�1
12
Drógie prawo Kirchoffa mówi, że w dowolnie wydzielonej zamkniętej części obwodu
elektrycznego, w tzw. oczku, suma algebraiczna wszystkich napięć elektrycznych panujących
na poszczególnych elementach oczka równa się zeru. Bierzemy tu pod uwagę wszystkie
czynne siły elektromotoryczne (SEM) E, jak również wszystkie istniejące w tej części
obwodu spadki napięć IR. =� +�
��U ��E� ��IR
Przy zastosowaniu wzoru powyżej trzeba pamiętać o regule znaków, przypisującej znaki plus
lub minus iloczynom IR oraz siłom elektromotorycznym z
ródeł prądu. Dowolny węzeł oczka)
przyjmujemy za punkt początkowy obiegu i w środku oczka zaznaczamy wybrany dowolnie
kierunek obiegu, np. zgodnie z ruchem wskazówki zegara. Na tych odcinkach oczka, gdzie
kierunek prądu jest zgodny z wybranym kierunkiem obiegu, iloczyn IR traktujemy jako
dodatnie (np. +I1R1, lecz -I3R3). Siłom elektromotorycznym
przypisujemy znak plus, gdy kierunek od bieguna dodatniego do
ujemnego jest zgodny z wybranym kierunkiem obiegu.
W odniesieniu do najprostszego obwodu pojedynczego ogniwa o
sile elektromotorycznej E i oporze wewnętrznym Rw
zamkniętego oporem zewnętrznym Rz drugie prawo Kirchoffa
przyjmuje postać : IR +� IR -� E =� 0 stąd E =� I(R +� R )
z w z w
Prąd w cieczach ,mechanizm przewodzenia, elektroliza.
Elektrolity
Czyste ciecze (z wyjątkiem roztopionych metali) są. złymi przewodnikami prądu
elektrycznego. Stają się one dobrymi przewodnikami po rozpuszczeniu w nich kwasów, zasad
i soli. Takie roztwory nazywamy elektrolitami. Czysta woda np. w temperaturze pokojowej
ma opór właściwy p= 2,5 105 W�m, po rozpuszczeniu zaś w niej chlorku potasu KCl w
stężeniu odpowiadającym jednej cząsteczce KCl na pięćset tysięcy cząsteczek wody opór
właściwy maleje do p = 7W�m, a więc 35 000 razy. Oznacza to, że w roztworze wodnym siły
wiązań chemicznych cząsteczek rozpuszczalnych w wodzie ulegają osłabieniu. W takich
warunkach cząsteczka AB, składająca się z dwóch różnych pierwiastków A i B, pod
wpływem ruchów termicznych cząstek elektrolitu zostaje rozerwana na cząstkę dodatnio
naładowaną A+ - kation i ujemnie naładowaną B- - anion. Proces taki nazywamy dysocjacją.
Proces odwrotny - łączenie się anionów i kationów w cząstki obojętne - nazywamy
rekombinacją. Oba te procesy możemy opisać równaniem: AB��A+ + B-
Elektrolity są to zatem roztwory (przede wszystkim wodne) kwasów, zasad i soli.
W wyniku przepływu prądu elektrycznego przez, elektrolity na elektrodzie ujemnej -katodzie
- wydzielają się takie substancje jak wodór, metale oraz grupy takie jak NH4. Na elektrodzie
dodatniej - anodzie - wydzielają się: tlen, reszty kwasowe oraz grupa OH. Wydzielanie się
substancji w wyniku przepływał prądu przez elektrolit nazywamy elektrolizą.
Elektroliza
Przy przepływie prądu elektrycznego przez elektrolit na elektrodach woltametru (czyli
naczynia, w którym odbywa się elektroliza) wydzielają się substancje chemiczne. Oznacza to,
że w procesie elektrolizy transportowi ładunku towarzyszy transport masy. Z prawa
zachowania ładunku wynika, że: do wydzielenia masy jednego mola dowolnego pierwiastka
potrzebny jest przepływ ładunku Qo. Qo =� NA �� w �� e gdzie: N A = 6,02 ��1023 [l / mol] - to
liczba Avogadra, w - wartościowość danego jonu, e - ładunek elementarny.
Prawo elektrolizy Faradaya
Pierwsze prawo Faradaya wyraża związek między ilością substancji wydzielającej się na
elektrodzie, natężeniem prądu i czasem przepływu prądu przez, elektrolit. Prawo to ma
następującą prostą treść: masa substancji m wydzielającej się na elektrodzie jest wprost
proporcjonalna do należenia prądu I i do czasu jego przepływu t: m=kIt gdzie k oznacza
13
współczynnik proporcjonalności, który zależy tylko od rodzaju wydzielającej się substancji i
składu elektrolitu.
Iloczyn natężenia prądu I przez czas t daje ilość ładunku elektrycznego Q, który przepłynął
przez elektrolit It=Q skąd można pierwsze prawo Faradaya przedstawić w postaci m = kQ
tj. masa wydzielającej się substancji m jest proporcjonalna do przepływającej przez elektrolit
ilości ładunku Q. Współczynnik k nazywa się równoważnikiem elektrochemicznym
wydzielanej substancji. Ponieważ dla Q = l mamy m = k więc równoważnik
elektrochemiczny równa się liczbowo masie substancji wydzielającej się przy przejściu przez
elektrolit jednostki ładunku elektrycznego, czyli l Kulomba
Drugie prawo Faradaya mówi, że współczynniki elektrochemiczne poszczególnych
pierwiastków są wprost proporcjonalne do ich równoważników chemicznych.
1 M
m =� Q Stąd wynika, że jeżeli w procesie elektrolizy, na elektrodzie wydziela się jeden
F w
gramorównoważnik substancji (tj. masa m równa liczbowo M/w) to przez elektrolit
przepływa ładunek elektryczny Q liczbowo równy stałej F.
Innymi słowy stała Faradaya F równa się liczbowo ilości ładunku elektrycznego Q, który
przepływając przez elektrolit, wydziela na elektrodzie jeden gramorównoważnik substancji.
Siła Lorentza
Oddziaływania pola magnetycznego na prąd lub magnes trwały można sprowadzić do
elementarnego działania  pola magnetycznego na poruszający się ładunek punktowy.
r�
v
Załóżmy, że w polu magnetycznym porusza się z prędkością ładunek próbny q0. Okazuje
r�
się, że pole magnetyczne działa na poruszający się ładunek elektryczny siłą F. Zmieniając
r�
v
prędkość ładunku próbnego, można stwierdzić, że niezależnie od kierunku jego prędkości
r�
r�
v
, siła F jest zawsze do niej prostopadła, natomiast wartość bezwzględna siły zależy od
wartości i od kierunku prędkości. Zawsze można znalez
ć taki kierunek prędkości, aby wartość
siły była maksymalna oraz taki kierunek - prostopadły do poprzedniego - aby sila była równa
r�
r�
v
zeru. Zależność siły F od prędkości ładunku próbnego q0 można wyrazić
r�
prostym wzorem, jeśli wprowadzimy wektor B opisujący pole magnetyczne, zwany
wektorem indukcji magnetycznej.
r�
W przestrzeni istnieje pole magnetyczne o indukcji B , jeżeli na ładunek próbny q0
r� r�
r� v�
r�
v
poruszający się w tej przestrzeni z prędkością działa siła F: F =� q0(�v �� B)�
Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego, wartość bezwzględna siły wyraża się wzorem: r�
r� r�
r� r�
v v
F =� q0vBsin a� gdzie a� to kąt między i B . Wektor F jest prostopadły do wektorów i B .
r� r�
r� r�
v v
Wartość siły jest maksymalną, gdy ^� B . Gdy wektory i B są do siebie równoległe to
r�
siła F = 0.
Zwróćmy uwagę, że w odróżnieniu od siły elektrycznej siła magnetyczna działa tylko na
r�
ładunki w ruchu oraz, że jej kierunek jest zawsze prostopadły do kierunku wektoraB . Siłę
r�
v�
r�
magnetyczną wyrażoną wzorem F =� q0(�v �� B)� nazywamy często siłą Lorenza, a sam wzór -
wzorem Lorenza. Z właściwości iloczynu wektorowego opisującego siłę Lorenza wynika, że
r� r�
r�
v
trzy wektory , B i F stanowią taki układ, że siła F jest prostopadła do płaszczyzny
r� r�
r�
v
wektorów i B , zaś zwrot siły F określa reguła śruby prawoskrętnej.
14
Prawo Ampera i wzór Ampera
r�
r�
Obliczmy całkę krzywo liniową �� dc po konturze zamkniętym C (w naszym przypadku
��B
C
po okręgu o promieniu r) wokół nieskończenie długiego prostoliniowego przewodnika z
prądem. Ponieważ linie sił pola magnetycznego pochodzącego od prądu prostoliniowego
tworzą w płaszczyz
nie prostopadłej do przewodnika okręgi koncentryczne o środkach
r�
leżących na przewodniku. Indukcja B we wszystkich punktach okręgu jest taka sama i
r�
m�2I
wynosi : B =� , a kierunek wektora B pokrywa się ze styczną do okręgu.
4p�r2
2p� r
r�
r� m�2I
��B �� dc =� ��dc =� m�I Wzór jest również prawdziwy dla konturu zamkniętego C
4p�r
C 0
dowolnego kształtu obejmującego przewodnik. Co więcej wynik całkowania jest taki sam,
gdy przewodnik (nie jest prostoliniowy) ma dowolny kształt. Jeżeli kontur C nie obejmuje
r�
przewodnika z prądem, to cyrkulacja z wektora indukcji B po tym konturze jest równa zero.
Jeżeli kontur C obejmuje kilka przewodników z prądem to wobec zasady superpozycji pól
N
r�
r�
magnetycznych wzór można zapisać: �� dc =� m� gdzie N- ilość przewodników z
��IK
��B
K=�1
C
prądem obejmowanych przez kontur C . Wzór ten wyraża matematyczną postać prawa
Ampera. Całka okrężna (po obwodzie zamkniętym) występująca w tym prawie nosi nazwę
r�
cyrkulacji albo krążenia wektora B .
N
r� r� r�
r�
Wiedząc, że B = m�. H możemy zapisać: �� dc =� W tym przypadku prawo przepływu
��IK
��H
K=�1
C
prądów tzw. prawo Ampera można sformułować następująco: Cyrkulacja wektora natężenia
pola magnetycznego jest równa algebraicznej sumie natężeń prądów płynących wewnątrz
konturu obejmującego te prądy.
Prawo Biota-Savarta-Laplacea
Laplace sformułował swą hipotezę następująco: Indukcja B w dowolnym punkcie pola
magnetycznego dowolnego przewodnika z prądem stanowi wektorową sumę przyczynków
r� r�
indukcji d B pochodzących od elementów d l przewodnika z prądem I. Jest to zasada
superpozycji tj. zasada niezależnego działania pól.
Niech CD przedstawia odcinek długiego krzywoliniowego przewodnika, przez który płynie
r�
prąd I. Dla obliczenia indukcji magnetycznej B w punkcie A dzielimy przewodnik na
r�
nieskończenie małe elementy d l , traktując je jako wektory o zwrocie zgodnym ze zwrotem I.
r� r�
Jego odległość od punktu A wynosi r (zwrot wektora r od elementu przewodnika do punktu
A).
r�
Zgodnie z prawem Biota-Savarta-Laplace'a (prawo B-S-L) nieskończenie mały element d l
r�
r�
przewodnika z prądem wytwarza w punkcie A odległym od d l o r indukcję magnetyczną
r� r� r�
v�
m�om�rI r� m�om�rI
d B a mianowicie: dB =� (�dl �� r)� w postaci skalarnej : dB =� dB =� dlsin a� - gdzie
2
4p�r3 4p�r
r�
r�
a� oznacza między wektorem d l i r . A zatem słownie ujmując : Wartość liczbowa
r�kąt
indukcji d B wywołanej przez element dl przewodnika jest proporcjonalna na natężenia prądu
r�
I, do długości elementu d l , odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości r i zależna od
15
r� r�
r�
kąta a utworzonego kierunki d l i r . d B jest indukcją pola magnetycznego, jakie
r�przez
r�
wytwarza element d przewodnika z prądem I w odległości r od tego elementu.
r�l r�
r�
Kierunek i zwrot d B jest zgodny z kierunkiem i zwrotem iloczynu wektorowego d l x r .
r�
Całkowita indukcja B wytworzona w punkcie A dzięki przepływowi prądu w całym
r�
przewodniku jest sumą geometryczną wektorów dB wytworzonych przez wszystkie elementy
r� r�
d l przewodnika, a zatem B jest całką wektorową o postaci :
r� r�
m�om�rI r�
dB =� (�dl �� r)�
��dB =� ��
4p�r3
po calym po calym
przewodnik u przewodnik u
Współczynnik m� = m�om�r we wzorach charakteryzuje magnetyczne właściwości ośrodka, w
którym znajduje się przewodnik i nosi nazwę przenikalności magnetycznej, gdzie m�r -
liczba niemianowana, zwana względną przenikalnością magnetyczną.
Prawo indukcji elekromagnetycznej Faradaya.
Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu prądów elektrycznych
wskutek zmian pola magnetycznego. Aby matematycznie ująć pojęcie indukcji należy
wprowadzić pojęcie strumienia indukcji magnetycznej (strumienia magnetycznego) F�B który
wyraża się wzorem F�B =� , w przypadku gdy obwód jest płaski , a pole magnetyczne
��Bds
S
jednorodne wzór upraszcza się do postaci F�B =� BScosa� , gdzie a�- kąt między kierunkiem B
a prostopadła płaszczyzny obwodu. Strumień ten w chwili zamykania i otwierania obwodu
pierwotnego zmienia się w czasie , co powoduje powstawanie siły elektromotorycznej SEM
odpowiedzialnej za przepływ prądu w tym obwodzie . A więc prawo indukcji Faradaya mówi
że: Indukowana w obwodzie SEM indukcji e�ind jest równa co do wartości bezwzględnej a
przeciwna co do znaku prędkości zmiany strumienia magnetycznego F�B przenikającego przez
dF�B
powierzchnię ograniczoną tym obwodem , czyli : e�ind =� -� . Indukcja wzajemna. Jeżeli w
dt
jednym obwodzie zmienia się natężenie prądu to zgodnie z prawem indukcji Faradaya w
drugim obwodzie znajdującym się w pobliżu pierwszego jest indukowana SEM. Zjawisko to
jest nazywane indukcją wzajemną . Oznaczamy symbolem F�21 , strumień magnetyczny
pochodzący od obwodu 1 i przenikający przez obwód 2. Wówczas SEM indukowana w
dF�21
drugim obwodzie wyniesie e�ind 2 =� -� . Strumień F�21 jest proporcjonalny do indukcji B1
dt
, która na mocy prawa Biota-Savarta jest proporcjonalna do natężenia prądu I1 . Zatem
strumień F�21 jest proporcjonalny do I1 . Oznaczając współczynnik proporcjonalności przez
dI1
L21 możemy napisać F�21 = L21I1 , a wzór przyjmuje wówczas postać : e�ind 2 =� -�L21
dt
Samoindukcja(indukcja własna). Występuje w przypadku pojedynczego obwodu . Strumień
magnetyczny wytwarzany przez prąd płynący w obwodzie przenika ten obwód, zatem każda
zmiana natężenia prądu wywoła w nim powstanie SEM indukcji. Strumień magnetyczny F�
wytwarzany przez obwód i przenikający go proporcjonalny do natężenia prądu I płynącego w
tym obwodzie F� = LI , gdzie L nosi nazwę współczynnika indukcji własnej lub
dF� dI
współczynnika samoindukcji. Indukowana SEM wynosi e�ind =� -�L -� L .
dt dt
Uogólnienie prawa Ampera
Liczne doświadczenia wykazały, że powyższe prawo jest również słuszne gdy mamy do
czynienia nie tylko z prądem przewodzenia I płynącym przez przewodnik (który jest
16
związany z ruchem przepływu ładunków elektrycznych np. elektronów), ale stosuje się
również w przypadku prądu uogólnionego Iu. Prąd uogólniony Iu jest sumą prądu
przewodzenia I i prądu przesunięcia Ip związanego ze zmianą w czasie natężenia pola
elektrycznego (np. zmianą natężenia pola E w przestrzeni międzyelektrodowej kondensatora
podczas jego ładowania lub rozładowywania). Iu = I + Ip
Aby przekonać się, czy między okładkami kondensatora płynie prąd, wystarczy stwierdzić,
czy istnieje tam pole magnetyczne. Liczne doświadczenia wykazały, że rzeczywiście między
okładkami kondensatora powstaje pole magnetyczne (linie sił tego pola są okręgami,
podobnie jak linie pola magnetycznego wokół przewodnika z prądem), przy czym pole to jest
wytwarzane przez kondensator tylko wtedy, gdy się on rozładowuje lub ładuje, tzn. gdy
zmienia się w czasie natężenie pola elektrycznego E kondensatora.
Wyrazimy obecnie natężenie prądu przesunięcia jako funkcję szybkości zmiany natężenia
pola elektrycznego. A
adunek kondensatora zgodnie z wzorem wynosi: Q = e�ES. Różniczkując
dQ dE dQ
ten wzór względem czasu, otrzymujemy: =� e� S Oznaczając : =� Ip oraz wiedząc,
dt dt dt
dF�D,S,
że e�dE��S = dF�D,S, możemy zapisać Ip =� Jak widzimy z wzoru powyżej prąd
dt
przesunięcia jest to po prostu szybkość zmian strumienia indukcji magnetycznej.
Korzystając z prądu uogólnionego , prawo Ampera możemy ostatecznie zapisać w postaci:
r�
dF�D,S,
r�
.
u
��H �� dc =� I =� I +�
dt
C
Równania Maxwella przedstawia się bądz
w postaci całkowej, bądz
w postaci
różniczkowej. Równaniem całkowymi Maxwella są (już przez nas uprzednio wprowadzone)
następujące: " uogólnione prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya,
" uogólnione prawo przepływu prądów Ampera ," prawo Gaussa dla pola elektrycznego i
" prawo Gaussa dla pola magnetycznego . W tabeli zestawiono wszystkie cztery równania
Maxwella wraz z objaśnieniami, jakich zjawisk one dotyczą. W celu uzyskaniu pełnego
układu równań Maxwella należy do czterech ww. równań dołączyć jeszcze dwa podstawowe
r� r� r� r�
związki między dwoma wektorami elektrycznymi i magnetycznymi: D =� e�E B =� m�H
Równania Maxwella stanowią fundamentalną podstawę teorii zjawisk
elektromagnetycznych, podobnie jak zasady dynamiki Newtona są podstawą mechaniki.
Lp. Równanie Nazwa Fakty doświadczalne
1
r�
r� dF�B uogólnione prawo indukcji zmienne pole magnetyczne
Faradaya wytwarza wirowe pole
��E �� dc =� -�
dt elektryczne, które może
wywołać prąd elektryczny
2
r�
r� dF�D uogólnione prawo przepływu prąd elektryczny lub zmienne
prądów Ampere 'a pole elektryczne wytwarza
��H �� dc =� I +�
dt
wirowe pole magnetyczne
v�
3 r� prawo Gaussa dla pola ładunek wytwarza pole
elektrycznego elektryczne o indukcji odwrotnie
��D �� ds =� Q
proporcjonalnej do kwadratu
odległości
v�
4 r� prawo Gaussa dla pola nie istnieje w przyrodzie ładunek
magnetycznego magnetyczny, linie indukcji
��B �� ds =� 0
sąkrzywymi zamkniętymi
17
Spis treści .
Wielkości układu SI st.1
Ruch prostoliniowy jendostajny , zmienny, jednostajnie zmienny , krzywoliniowy st.2
Ruch po okręgu st. 3
Inercialny układ odniesienia , Transformacja Galileusza , I zasada dynamiki st. 3
II i III zasada dynamiki st. 4
Pęd, popęd siły zasada zachowania pędu , moment pędu , siła Coriolisa st.4
Nieinercialny układ odniesienia, transformacja Lorentza , czasoprzestrzeń st.5
Dodawanie prędkości wg Einsteina st.5
Równanie masy i energii E=mc2 st. 6
Ciężar ciała, przyspieszenie ziemskie st. 6
Pole grawitacyjne , natężenie , potencjał , praca w polu gra. st. 7
Temperatura, ciepło , równanie gazu doskonałego , gaz rzeczywisty st. 7
Kinetyczna teoria gazu doskonałego, rozkład Maxwella st. 8
I i II zasada termodynamiki, entropia , cykl Carnotta st. 8
Ciśnienie, prawo Pascala, Archimedesa, pływanie ciał, przepływ płynu, równanie
Bernouliego, prawo Culomba st. 9
Natężenie pla elektrycznego st. 10
Napięcie elektryczne st. 11
Prawo Gaussa dla pola elektrycznego st. 11
Prąd stały, prawo Ohma i I prawo Kirchoffa st. 12
Drugie prawo Kirchoffa, elektroliza, prawo elektrolizy Faradaya st. 13
Siła Lorentza st. 14
Prawo i wzór Ampera, prawo Biota-Savarta-Laplacea st. 15
Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya, indukcja wzajemna, samoindukcja st. 16
Uogólnione prawo Ampera st. 16
Równania Maxwella st. 17
18