Materiały pomocnicze do wykładu
z przedmiotów:
Podstawy Inżynierii
Systemów
oraz
Wprowadzenie do techniki
Elementy teorii mnogoS
ci
i rachunku prawdopodobieństwa
Opracował:
dr inż. Andrzej J. Zmysłowski �
Katedra Podstaw Systemów Technicznych
Wydział Organizacji i Zarządzania
Politechnika R
ląska w Gliwicach
Stronica 1 z 12
Stronica 2
Podstawy teorii mnogoS
ci i rachunku
prawdopodobieństwa
Jeżeli
oraz
wtedy
Łatwo wykazać, że
RównoS
ć zbiorów zachodzi wtedy
i tylko wtedy, gdy
Stronica 3
Suma zbiorów
jest zbiorem, do którego należą wszystkie
elementy zbioru lub .
Iloczyn zbiorów
jest zbiorem, do którego należą elementy należące
do zbiorów i .
Zatem oczywiste są zależnoS
ci:
Stronica 4
oraz
a także jeS
li
wtedy
Dopełnieniem zbioru są wszystkie elementy
przestrzeni , które nie należą do .
Stronica 5
Definicja dopełnienia zbioru
Tak więc:
oraz jeS
li wtedy
oraz jeS
li , wtedy .
Prawa de Morgana
Definicja częstoS
ciowa prawdopodobieństwa
Stronica 6
jest okreS
lony wtedy, gdy
istnieje przestrzeń taka, że
Zdarzenia wykluczające się:
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
takie, że
Stronica 7
Prawdopodobieństwo warunkowe
Jeżeli , wtedy
Ponieważ,
to
albo
Stronica 8
Prawdopodobieństwo Całkowite
Ilustracja warunków dla wyznaczania
prawdopodobieństwa całkowitego
Dane są zdarzenia wzajemnie rozłączne
których suma jest równa przestrzeni , co
zapisujemy:
dla , oraz
wtedy prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia
wyraża się wzorem:
Stronica 9
P( ) = P( ) P( ) + . . . + P( ) P( )
Dowód:
Ponieważ zatem można napisać
wtedy prawdopodobieństwo P( ) wynosi
P( ) = P( ) + P( ) +. . .+ P( )
ponieważ iloczyny ( ) nie posiadają
wspólnych elementów. JednoczeS
nie
P( ) = P( ) P( ), co podstawione do
wyrażenia powyżej daje bezpoS
rednio wzór na
prawdopodobieństwo całkowite, c.b.d.u.
Wzór Bayes a
P( ) P( ) +. . .+ P( ) P( )
P( ) =
P( ) P( )
Dowód:
Korzystając ze znanej zależnoS
ci
P( ) = P( ) P( ) = P( ) P( )
Stronica 10
można napisać:
P( ) P( )
P( ) =
P( )
Podstawiając w miejsce P( ) wyrażenie na
prawdopodobieństwo całkowite otrzymuje się
wzór Bayes a.
Stronica 11
Ciało Zbiorów F
Z definicji wynika:
Przykład:
Niech dana jest przestrzeń
wtedy klasa zbiorów
nie jest CIAŁEM
Stronica 12
Ciała Borelowskie
Jeżeli istnieje rodzina zbiorów
należących do ciała F, a zbiory
także należą do ciała zbiorów F, to ciało
nazywane jest Borelowskim.
Każde zdarzenie to Borelowskie
Ciało Zbiorów.