16. Pole magnetyczne, indukcja
Wybór i opracowanie Marek Chmielewski
16.1. Znalez
ć indukcje pola magnetycznego w odległości r od nieskończone długiego
przewodnika walcowego o promieniu przekroju poprzecznego a w którym płynie prąd I.
r
i
B
16.2. Wyznaczyć indukcję pola magnetycznego wytworzonego przez prąd o natężeniu i płynący
przez nieskończenie długi przewodnik zgięty pod kątem prostym:
a) W punkcie A leżącym w płaszczyz
nie przewodnika odległym od jego końca o odległość h, na
przedłużeniu jednego z ramion przewodnika (rys)
b) W punkcie C odległym o h od osi przewodnika, leżący pod kątem ą do osi jednego z ramion
przewodnika.
A
C
Ä…
i
16.3. Jednorodnie naładowana ładunkiem Q cienka tarcza o promieniu R, obraca się z prędkością
kÄ…towÄ… É dookoÅ‚a swojej osi. Znalez
ć wartość indukcji pola magnetycznego w jej geometrycznym
środku.
B
É R
16.4. Wyznaczyć wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz nieskończonego solenoidu, w
którym na l jego długości przypada N ciasno ułożonych zwojów w których płynie prąd I.
l
N
I
16.5. Wyznaczyć wartości gęstości energii pola magnetycznego wewnątrz nieskończonego
solenoidu o promirniu R, gęstości liniowej zwojów n, przez który płynie prąd i.
16.6. Dwa zwoje drutu o promieniu R ustawionych tak jak na rysunku odległych o d tak, że ich
osie symetrii się pokrywają. W solenoidach płyną prądy I w tym samych kierunkach. Wyznaczyć
wartość indukcji pola magnetycznego na osi łączącej obydwa zwoje w zależności od odległości
pomiędzy zwojami.
I
I
R R
d
16.7. Elektron porusza się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B po linii śrubowej o
promieniu R i skoku h, wyznaczyć wartość prędkości elektronu.
R
h
B
16.8. W taśmie metalowej o szerokości a i grubości d płynie prąd I. Taśma znajduje się w
jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. Obliczyć różnicę potencjałów między punktami A
i C taśmy, jeżeli wiadomo, że w jednostce objętości materiału z jakiego zrobiona jest taśma,
znajduje się n elektronów na jednostkę objętości.
16.9. Dany jest jednorodny pierścień o promieniu r i oporze R. W dwóch dowolnych punktach A i
B tego pierścienia przyłączono dwa długie przewody, tak by ich kierunki tworzyły przedłużenia
promieni tego pierścienia, zasilane ze z
ródła o napięciu U. Obliczyć indukcję magnetyczną w
środku pierścienia.
16.10. Wzdłuż osi cienkościennej rury biegnie prostoliniowy przewód. Prąd I płynący w rurze
wraca przewodem do z
ródła. Wyznaczyć wielkość indukcji pola magnetycznego jako funkcję
odległości od środka rury.
U
i
i
16.11. Pręt o długości l i masie m położono na dwóch równoległych szynach nachylonych pod
kÄ…tem Ä… do poziomu. Szyny znajdujÄ… siÄ™ w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B,
skierowanym prostopadle do poziomu. Znalez
ć prędkość ruchu pręta w przypadku gdy szyny nie
są połączone oraz w przypadku, gdy szyny są zwarte na jednych końcach oporem R. Przyjąć, że
pręt może ślizgać się bez tarcia oraz że opór pręta i szyn można zaniedbać.
16.12. Na dwóch równoległych poziomych szynach położono pręt o oporze R, długości l i masie m.
Szyny są połączone ze z
ródłem napięcia U i znajdują się na całej swojej długości w jednorodnym
polu magnetycznym, indukcji B, skierowanej prostopadle do szyn. Współczynnik tarcia pręta o
szyny wynosi µ. Jaka bÄ™dzie maksymalna prÄ™dkość prÄ™ta?
16.13. Dwie równoległe, poziome szyny są połączone kondensatorem o pojemności C. Na szynach
położono pręt o długości l i masie m. Z jakim przyspieszeniem a będzie poruszał się pręt, jeżeli
działa na niego zewnętrzna siła pozioma F oraz jednorodne pole magnetyczne B wszędzie
prostopadłe do pręta i do płaszczyzny ruchu.
16. RozwiÄ…zania
r r
+"Bdl = µ0i
16.1.R. Korzystamy z prawa Ampera
r r
r r
B dl Ò!Bdl = Bdl
B = const
B = µ0i
+"dl
r
i
B2Ä„r = µ0i
dl
B
µ0i
B =
2Ä„r
16.2.R. a) Korzystamy z prawa Biota-Savarta. Każdy z odcinków przewodu potraktujemy oddzielnie, a
wynik końcowy uzyskamy z superpozycji uzyskanych wyników cząstkowych.
r
r
r
µ i dl × r
0
dB =
3
4Ä„ r
µ i dl
0
dB = sin ²
2
4Ä„ r
h
r =
sin ²
µ i dl
3
0
B
dB = sin ²
dÄ… 2
4Ä„ h
h h
tg² = l =
r
l tg²
h
²
h
dl = - d²
sin2 ²
i
dl
l
µ i sin ²
0
dB = - d²
4Ä„ h
0
µ i sin ²
0
B = - d²
+"
Ä„
4Ä„ h
2
Ä„
2
µ i µ i
0 0
B = sin ²d² =
+"
0
4Ä„h 4Ä„h
Dla drugiej części przewodu punkt A leży dokładnie na jego przedłużeniu a więc wektor dl jest zawsze
równoległy do wektora r.
r r
r r
dl r Ò! dl × r a" 0
r
r
r
µ0i dl × r
dB = = 0 Ò! B = 0
4Ä„ r3
µ i
0
Wynik końcowy jest równy jest zatem: Jest to dokładnie połowa wartości uzyskanej w
B =
4Ä„h
pierwszym zadaniu.
b) Analogicznie jak w punkcie a) rozpatrujemy każdą z półprostych osobno i tak ja w punkcie poprzednim
wykorzystamy prawo Biota Savarta.
Dla pierwszej półprostej
C
h=h =hsiną oraz górna
h
h'
granica całkowania to ą.
Ä…
W wyniku uzyskujemy:
i
Ä…
µ0i µ0i
B1 = sin ²d² = (1- cosÄ…)
+"
4Ä„hsinÄ… 0
4Ä„hsinÄ…
h'
C
Dla drugiej półprostej h =hsin(Ą/2-ą)=hcosą i
Ä„/2-Ä… h
całkujemy od Ą/2-ą do 0 (zgodnie z
kierunkiem prądu dla pierwszej półprostej). W
wyniki uzyskujemy
i
0
µ0i µ0i
B1 = sin ²d² = (1- sinÄ…)
+"
4Ä„h cosÄ… Ä„ 4Ä„h cosÄ…
-Ä…
2
Wynik końcowy to B=B1+B2
16.3.R.
Podzielimy całą tarcze na pierścienie o promieniu r i grubości dx. Określimy wartość
indukcji pola magnetycznego dBx od ładunku przemieszczającego się wraz z pierścieniem.
r
r
µ0di dl × x
d(dBx ) =
dBx
4Ä„ x3
r r
r r
dl Ä„" x Ò! dl × x = dlx
x
dl
dx µ0di 1 µ0i 1
É
dBx = 2Ä„x
+"dl =
4Ä„ x2 4Ä„ x2
l
µ0di
dBx =
2x
Q
dq
dq = 2Ä„xdx
i = W czasie t = T przez przekrój dx przemieści się ładunek
Ä„R2
dt
dq
czyli przepłynie prąd
di =
T
Q
2Ä„xdx
2Ä„ Q
µ0ÉQxdx µ0ÉQ
Ä„R2
T = Ò! di = = É xdx
dBx = = dx
2Ä„
É Ä„R2
Ä„R2 2x 2Ä„R2
É
R
µ0ÉQ µ0ÉQ
B = dx Ò! B =
+"
2Ä„R2 2Ä„R
0
r r
16.4.R. Korzystamy z prawa Ampera = µ0i
+"Bdl
l
L
C
B
i
D
A
Założenia:
- nieskończona długość solenoidu,
- wewnÄ…trz jednorodne pole magnetyczne B
- na zewnątrz wartość indukcji pola magnetycznego wynosi 0
B C D A
r r r r r
r r r r r
Bdl = Bdl + Bdl + Bdl + Bdl = µ0Ni
+" +" +" +" +"
A B C D
1 2 3 4
B
r r r r
1 - B Ä„" dl Ò! = 0
+"Bdl
A
C
r r r
2 - B = 0 Ò! = 0
Bl = µ0Ni
+"Bdl
B
D
r r r r N
3 - B Ä„" dl Ò! = 0 B = µ i
+"Bdl
C l
A
r r
4 - B = const Ò! = Bl
+"Bdl
D
16.5.R. W celu wyznaczenia energii posłużymy się indukcyjnością nieskończonego solenoidu.
di
KorzystajÄ…c z prawa Faradaya U = -L
dt
dÅšB
Dla części środkowej długiego solenoidu ( U = - gdzie ŚB jest strumieniem pola
dt
magnetycznego ) wypadkowy strumień przechodzi przez N zwojów dlatego
dÅšB di
U = -N = -L Ò! NÅšB = Li NÅšB = NBÄ„R2 = nlBÄ„R2
dt dt
Indukcja pola magnetycznego wewnÄ…trz solenoidu wynosi (patrz poprzednie zadanie)
B = µ0ni
NÅšB
NÅšB = µ0n2ilÄ„R2 L = = µ0n2lÄ„R2
i
di di dEB di
U = Um = L Ò! P = Umi = Li P = = Li dEB = Lidi
dt dt dt dt
i2 i2 EB EB i2 µ0n2i2
EB = L = µ0n2lÄ„R2 eB = = = µ0n2lÄ„D2 =
2 2 V lĄR2 2lĄR2 2
µ0n2i2 B2 HB
eB = = B = µ0H eB =
Dodatkowo w powietrzu
2 2µ0 2
16.6.R. Rozpatrzymy pojedynczy zwój.
r
r
r
µ0i dl × r
dl
dB =
4Ä„ r3
i
r r r
dB
dByz Ä…
Ć
dB = dBx + dByz = dBx x + dBy w

r
r
dBx = dB sinÄ…
R
r r
dByz = dB cosÄ…
Ä…
r r
dBx r µ i dl
x
0
dl Ä„" r Ò! dB =
2
4Ä„ r
R R R
tgÄ…= Ò!x= r = x2 +R2 sinÄ…=
x tgÄ…
x2 +R2
µ0i R µ0i R
dBX = dl Ò! Bx =
3 3
+"dl
4Ä„ 2 4Ä„ 2
x2 + R2 x2 + R2 l
µ0i R µ0iR2
Bx = 2Ä„R =
3 3
4Ä„ 2 2
x2 + R2 2 x2 + R2
A
atwo można zauważyć, że dla składowej indukcji pola magnetycznego By wynik podobnej
kalkulacji daje dokładnie zero. Ze względu na symetrię kołową, dodając wektory, o tej samej długości,
rozmieszczone na okręgu możemy wykazać zerowanie się składowej wypadkowej indukcji pola
magnetycznego Byz.
Z
dByz1
dByz2
Y
-dByz2
-dByz1
Bw = Bx
i
i
µ0iR2 µ0iR2
R R
Bw = +
3 3
2
2
2 (x
2 x2 + R2 2 - d) + R2
d
X
d
0
16.7.R.
Elektron będzie poruszał się po linii śrubowej, gdy jego prędkość będzie skierowana pod kątem ą
do B.
Vx  prędkość stała odpowiedzialna za skok linii śrubowej
Vy  prędkość prostopadłą do kierunku wektora indukcji pola magnetycznego
Pole magnetyczne na składową Vy działa dokładnie w sposób jaki można opisać za pomocą siły
dośrodkowej
Działa siła pola magnetycznego Fl
V
r r r r r Vy
Fl = qVy × B Vy Ä„" B Ò! Fl = qVyB
mVy2
Ä…
Fd =
Fl  jest to siła dośrodkowa czyli
R
mVy2 Vx
qBR
= qVy B Ò! Vy =
R m
hVy
h 2Ä„R
Vx = T = Vx =
B
T Vy 2Ä„R
r r
Ć
V = Vx x + Vy w
= [Vx ,Vy ] V = Vx2 + Vy2
2 2
r
h qBR h
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
V = Vy 1 + = 1 +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2Ä„R m 2Ä„R
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
16.8.R.
Na poruszające się ładunki działa siła
r r r
FB = eV × B
Po woduje ona powstanie różnicy napięć pomiędzy punktami A i C.
To napięcie następnie powoduje powstanie pola elektrycznego, przeciwnie skierowanego do
siły pola magnetycznego
 r r
FE = Ee B
W stanie równowagi wypadkowa
C
wartość siły wynosi 0
FE
r r
FE + FB = 0
V
-
i
FE - FB = 0
FB
r r r
eE = eV × B
A
Ze względu na analogie z kondensatorem płaskim U=aE
eE = eVB Ò! E = VB
U = aVB Należy teraz wyznaczyć prędkość unoszenia elektronów V
W czasie "t elektrony pokonają drogę V"t, całkowity ładunek przepływający przez powierzchnię
S=ad, wynosi "Q=neV"tad
"Q i iB
i = = neVad Ò! V = U = aVB =
AC
"t nead ned
Napięcie powstające pomiędzy punktami A i C nosi nazwę napięcia Halla
16.9.R.
Przewody doprowadzajÄ…ce prÄ…d nie powodujÄ…
powstania pola magnetycznego w środku okręgu
(patrz zadanie drugie punkt b)
B
i2
r
W pierścieniu popłyną dwa różne prądy, każdy z
L2
nich wytworzy pole magnetyczne w środku
i1
pierścienia.
Wyznaczymy te prÄ…dy i na podstawie prawa
L1
Biotta-Savarta wyznaczymy wartość indukcji
U
pola magnetycznego w środku pierścienia
A
U U L1 L2
i1 = i2 = R1 = Á R2 = Á
R1 R2 S S
S- pole przekroju przewodnika
r
r
r
v
µ0i USµ0 USµ0
U dl × r dl
r
i1 = S dB = dl Ä„" r Ò! dB1 = B1 = dl
+"
3 2
ÁL1 4Ä„ 4Ä„ÁL1 2
r r 4Ä„ÁL1r L
1
USµ0
B1 =
2
4Ä„Ár
d
a
USµ0
Analogiczne obliczenia dla odcinka L2 pozwalają uzyskać następujący wynik B2 =
4Ä„Ár2
Wartości indukcji pochodzących od różnych odcinków pierścienia mają tą samą wartość. Ze
względu na różnicę w kierunkach prądów płynących w obu odcinkach pierścienia, wartości indukcji
pola magnetycznego różnią się znakami. Wypadkowa wartość pola magnetycznego wynosi zatem
0, bez względu na miejsca podłączenia przewodów tj. umieszczenia punktów A i B.
16.10.R.
Wykorzystamy prawo Ampera. Pole
dl
magnetyczne pomiędzy pierścieniami
B
wytwarzać będzie tylko prąd płynący w
X
pierścieniu wewnętrznym
r r r r
r
+"Bdl = µ0i B dl
l
R
RDla x=const ; B=const
µ0i
B = µ0i B2Ä„x = µ0i Ò! B =
+"dl
2Ä„x
l
16.11.R.
B
l
F
lx
F
x
Fl
F
y
mg
Ä…
R
Gdy szyny nie są połączone rezystorem R wtedy działa tylko siła grawitacji (Fl=0) i pręt będzie poruszał
się ruchem jednostajnie przyspieszonym o wartości przyspieszenia a=gsiną z prędkością początkową
V0=0 z pozycji początkowej x0=0. Równanie ruchu będzie miało następującą postać:
t2 t2
x(t) = a +V0t + x0 x(t) = g sinÄ…
2 2
Gdy połączymy szyny rezystorem R w obwodzie, ze względu na prawo indukcji Faradaya, popłynie
prąd i wytworzy się siła oddziaływania pola magnetycznego Fl działająca przeciwnie do siły
ściągającej pochodzącej od pola grawitacyjnego. Pręt będzie poruszał się z przyspieszeniem
jednostajnie zmiennym do chwili zrównoważenia się sił ściągającej i siły Lorenza. W dalszej części
będzie poruszał się ruchem jednostajnym. Osiągnie zatem prędkość maksymalną.
r r r
r r
Fl = li × B i Ä„" B Ò! Fl = ilB Flx = ilbcosÄ…
dÅšB d
µ = - = - Blx = -lVB
dt dt
Minus oznacza polaryzacje powstającej różnicy potencjałów, w naszym przypadku w celu wyznaczenia
prądu płynącego przez pręt został on już uwzględniony przy kierunku działania siły pola magnetycznego.
U lVBcosÄ…
U = lVBcosÄ… i = =
R R
Wypadkowa wartość siły zsuwającej działającej na pręt ma następującą postać:
lVB cosÄ… Vl2B2 cos2 Ä…
F = Fx - Flx = mg sinÄ… - lB cosÄ… = mg sinÄ… -
R R
2 2
d x l2B2 cos2 Ä… d x l2B2 cos2 Ä… dx
m = mg sinÄ… - V Ò! + - g sinÄ… = 0
dt2 R dt2 Rm dt
Rozwiązanie uzyskanego równania różniczkowego jest równaniem ruchu x=x(t) które umożliwia pełny
opis ruchu preta.
Można w sposób prosty wyznaczyć maksymalną szybkość poruszania się pręta. Warunek znikania siły
wypadkowej jest warunkiem poruszania się ze stałą prędkością Vmax.
Vmaxl2B2 cos2 Ä… Rmg sinÄ…
mg sinÄ… - = 0 Ò! Vmax =
R l2B2 cos2 Ä…
16.12.R.
W wyniki przepływu prądu pojawi się
B
siła przesuwająca pręt w poziomie Fl
r
r
B Ä„" i Ò! Fl = ilB
Fl
Ft
Z drugiej strony pojawi się napięcie indukowane
przeciwnie skierowane do zewnętrznego.
Uind = lBV
mg
Dlatego
U -Uind U - lBV U - lBV
iw = = Fw = Fl - Ft = lB - mgµ
R R R
Pręt przyspiesza do momentu gdy Fw=0
U - lBVmax U mgµR
lB = mgµ Ò! Vmax = -
R Bl B2l2
16.13.R.
Gdy pręt porusza się pod wpływem działającej siły F to powstaje siła elektromotoryczna indukcji:
Uind = BlV , przyrost powstającego napięcia wynosi "Uind = Bl"V .
Zmiana napięcia indukowanego umożliwi przepływ prądu przez kondensator.
Q "Q "Q CBl"V
U = Ò! "U = i = Ò! i = = CBla
C C "t "t
Pojawi się zatem siła elektrodynamiczna Fel = ilB = CB2l2a przeciwnie skierowana do F
Na pręt będzie działać siła wypadkowa o wartości Fw = F - Fel
F
Fw = ma = F - CB2l2a Ò! a =
m + CB2l2