DSC07075 (5)

82

Ciągłość funkcji

największą. Ponieważ na końcach przedziału [0,2RJ funkcja ta ma wartość 0, a \vn wnętrza przyjmuje wartości dodatnie, więc jej wartość największa jest osiągnięta w punkcie przedziału otwartego (0.2/?). co należało pokazać, b) Niech z oznacza promień walca wpisanego w stożek, a h jego wysokość (rysunek). Wtedy z podobieństwa odpowiednich trójkątów mamy

gdzie 0 < z < R. Stąd objętość rozważanego walca wyraża się wzorem

< /?. Stąd objęto cynia się wzorem

t(i) = K^,* = rHi^,(l-£)

Przyjmując teraz dodatkowo F(0) = 0 oraz V(R) = 0, otrzymujemy funkcję ciągłą na domkniętym [0, Rj. Z twierdzenia Weierstrassa wynika zatem, żo funkcja ta przyjmuje w pewnym punkdc przedziału domkniętego [0, /?] wartość największą. Ponieważ na końcach przedziału [0, Aj funkcja V ma wartość 0, a we wnętrzu przyjmuje warteśd dodatnie, więc jej wartość największa jest zrealizowana w punkcie przedziału otwartego (0. R). co należało uzasadnić.

c*) W rozwiązaniu wykorzystamy wzór na pole trójkąta o bokach a,b,e opinanego na okręgu o promieniu r:

_s (a + b + e)r 2

Niech 0 < x < - będzie kątem przy podstawie trójkąta równoramiennego ABC, który jest upissny na okręgu o promieniu r (rysunek).

C

Wyrazimy boki trójkąta ABC jako funkcje kąta z I promienia r; Zauważmy, i* £ OAQ = | oraz { OCR * § “ ^x* ^Wó*^cz*¹ — * ctg|, stąd ÓQ = retg| oraz —— = ctg(|-x). dąd CP = rig_Zy Zatem

AS = XAQ-?rctg|

cm    /

CBmCA m AP+PC -AQ + CPmr(cigZ + tgjcj .

Przykłady

83

Tak więc pole trójkąt* wyraża się wzorem

S(*) =    +    +

Funkcja S jest ciągła na przedziale ^0,    , ale nie ma granic właściwych na jego końcach.

Mamy bowiem

lim S(x) = oo, lim S(x) = oo.

* o*' ;-■& f-j * ••

Oznacza to, źe funkcji S nie można rozszerzyć do funkcji ciągłej na przedziale |o,||j określając jej wartości na końcach przedziału jako granice jednostronne. Zatem do funkcji S nie można zastosować twierdzenia Weierstaasa. Aby poradzić sobie z tym problemem zdefinujemy nową funkcję:

-

2

dla x = 0,

/(*)-

aretg S(x) dla 0 < x < —,

*

2

dla x =

Funkcja /. jako złożenie funkcji ciągłych, jest ciągła na przedziale ^0. j.J . Ponadto

lim f(x) = lim arctg/(x) = aretg co = r = / (0)

' o+^- ■ ■ ¹ r*~or ~    *

oraz

lim f(x) = Hm arctg/(x) = aretg co =

*-~f⁺    *-£*•'

To oznacza, że funkcja / jest ciągła także na przedziale domkniętym ^0, -j . Zatem funkcja / spełnia założenia twierdzenia Weierstrassa. Wobec tego w rozważanym przedziale istnieje punkt, w którym funkcja / osiąga wartość najmniejszą. Ponieważ funkcja aretg jest rosnąca, więc funkcje / oraz S osiągają najmniejsze wartości w tym samym punkcie. Punkiem tym nie jest oczywiście żaden z końców przedziału, gdyż tam funkcja S przyjmuje wartość największą.

• Przykład 3.7

Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach:

a)'i‘=*^J, (-1-0); b)_e* = i,

ę).ctgx = x, (j.j); d)x^x^3_t (1,2).

Rozwiązać równania: a) z dokładnością g; d) z dokładnością j.