DSC07104 (2)

138

Twierdzenia o funkcjach z pochodnym)

• Przykład 5.11

Oszacować dokładność podanych wzorów przybliżonych:

a) coai as I - y + Ł, dla |x| < b) e"* as 1 -* + ^ <•*» Q < ¹ < fij-

Rozwiązanie

a) Aby oszacować dokładność podanego wzoru wykorzystamy wzór Maclaurina dla funkcji /(x) = cos x oraz n = 0. Ponieważ /(x) = cosx, więc (x) = — sin x. f (x) = — cos z, /~(x) = sfnx, /^4|(x) = cosx. /^w(x) = -slnx. /^WM = -cosx. Stąd /(O) = i, /(O) = /~(0) = /^5,(0) = 0, /"(O) = -1, /^4>(0) = 1. Tak więc wzór Maclaurina dla funkcji / ma postać

X³ . X⁴ . —COSC 0    . X³ . x⁴ . — cosc s

“•^X=,~2r⁺4r ⁺ -6i-^{:r =} ' “ T ⁺ 24 ⁺ ~72Ó~^X '

gdzie c jest pewną liczbą między 0 i x. Stąd

Br."

Ponieważ |x| ^    , więc

o

Zatem błąd jaki popełniamy obliczając wartości cosx dla [x\ ^ ~ ze wzoru przybliżonego

6

x³ x^{4 0081} ~ ^{1 _} T ⁺ 24

jest mniejszy niż 0.000020.

b) Aby oszacować dokładność podanego przybliżenia wykorzystamy wzór Maclaurina dla fankcp /(x) = e“*. Mamy

/(*)8-«"*• /'^f(*) = «”*• /'%) =    stąd /(0) = |, /'(0) m= -I, /"(0) = 1.

Wzór Maclaurina przyjmie zatem postać

* = ^{I +} lf^{x +} 5^xa+

X

6&'

a

gdzie c € (0,x). Błąd jaki popełnimy stosując to przybliżenie spełnia nierówność

10* * 6e®    e000*

Przykład 5.12

Stosując wzór Maclaurina do fiinkcji:

a)    /(x) = e* obliczyć e z dokładnością 10"®;

b)    /(z) =    obliczyć VTioT z dokładnością 10~⁴.

Przykłady

Rozwiązanie

■J Dh.lunkgl /fe) =■ e* mamy /'*>(*) = «*. wi* /-'(O) = l dU k = 0. t.....ta.

wzór Madaunna dla funkcji /(*) = e* ma postać

^{, +} n ⁺ 2!

gdzie c jest pewną liczbą między 0 i i. Przyjmując w powyższym wzorze i -1 otrzymamy

1

lii I P^cwn1 ®Ś4 * przedziału (0,1). Liczbę e obliczymy z dokładnością 107*. jeżeli dobierzemy n w ten sposób, oby

h(¹⁺f!⁺4⁺-⁺£%)]'=jfH    _—^

Dla c € (0,1) mamy oczywistą nierówność e^e < e < 3. Zatem £ < Liczba n € N powinna spełniać nierówność n! > 3-10*. Ponieważ 10! = 3628800 > 3 • 10* oraz 9! = 362880 <3-10*, więc dla n £ 10 mamy nl > 3 • 10*. Zatem liczba e obliczona z dokładnością 10 jest równa

^l+!i⁺2!⁺'”⁺9! ” ^l+7⁺2 ⁺ 6⁺24 ^{+ ,}°^ft+‘^?nA+

% 2.7182815.

1

. . -.120 720 5040 40320 362880 Uwaga. Dokładną wartością liczby e jest 2.718281828.... b) Dla funkcji /(z) = y/\~+ x oraz k ^ 2 mamy

*+i l • 3*5*... • (2fc — 3)    1

2"

y/(l +*)**-»

Więc

2*

Wzór Maclaurina dla funkcji /(z) f» y/l + z ma postać

(2k - 3)

H • n! • ^/(1+«)*"-*

gdzie c jest pewną liczbą między 0 i z. Aby uzyskać żądaną w zadaniu dokładność wzoru przybliżonego, reszta Lagrange*a we wzorze Maclaurina powinna spełniać nierówność

, _lV*i l-3-5-...-(2n-3j.

2ⁿn\y/{l + c)⁷ⁿ~^l 10Qn

Mamy

1 • 3 • 5 •... • (2n — 3) lw * 100*

«i5T.

1 ■3'5»...y(2n —3) (J_\ⁿ .

" 2ⁿn!_N/(l+0)³"-¹    Vl00/    10*.

frnly/il + ć)⁷?-*

Łatwo zauważyć, żc już dla n = 2 ostatnia nierówność jest spełniona. Zatem

n/łÓFw 1 + 5^1 = 1.005

z dokładnością 0.0001.

Uwaga. Dokładna wartość a/ŁÓI jest równa 1.004988....