DSCF2517

§ 4 4, blfl^-i1iS^iViliVhłcńsV\Vł> fl^łMWTT\VJTlf P

§ 4 4, blfl^-i1iS^iViliVhłcńsV\Vł> fl^łMWTT\VJTlf P

wmM

(AAl\

§ i,4 TYawńopodohiorrsrwe    MN przypadku gdy :■ !\iór rd.u.-i n els

ornych jest nk^ójtosny. zachodzi potrzeba ^yjszerNinia definicji prawdopodobiertsi _vva pomew.siL definicja kitesyczn* jest x* tym przypadku niewy■$**rcrająca, Pięcie Hcznośei Lhioru zdarzeń dkswtefcfcarri ^dh, ktd*yro    .się dotychczas, jest tu niepr;-\.

damę,

Drnsam 4,4,'.l. Xieeh będzie dana Kiitłowsk* ^jgebra zdarzeń X określona w nr.v-strzesu ] każdemu zdarzeniu -4 będącemu elementem tej a%ebr\ przypisujemy w mv-SOb jednozsuicHay meąjemną kieskę m{A) 5tM*tV| miarę zdor^mi* -Ą jeśli spełnia v . następujące warunki:

L «v(4)>Q>

2, m(0)**Q

X w^,*4a4-+4*4**)4mh(4*|4‘-- 4-w(4*)-f -, -, jeśli wiarzcnia \v\ u. cssją ^ parami

Dsaucro-U 4.4.2. fr*M&wnMk'ft$7*^,<‘) grmmryizw zdarzenia 4 określamy jako iloi... mian zdarzenia 4 do mian, zdarzenia A czyft m(l)

2an\vafm\\ Ae podam* ui określenie prawdopodobieństwa geometrycznego spełni., układ aksjomatów omówiony w paragrafie poprzednim.

.lcśli zbiór podstawowy zdarzeń i jest skończony -i jako miarę zdarzenia pm;j^' :.. ność jego 2tworu zdarzeń elementarnych, 20 szczególnym przypadkiem wzoru (4.4 . ■ okazuje się wzór (4.Lii wyTiżający treść definicji khsyicznęj.

Definicja 4.4LI okazuje się szczególnie pizydatna przy rozwiązywaniu zadań, w Kutych ztiior podstawowy zdarzeń elementarnych nic jesi ani skończony, ani przelicza hi ' Zadania irpo typu noszą nazwę zadań na prawdopodobieństw o geomeuyczne.

Zastosowanie wzoru <4Al) zilustrują przyiocacaie priykłady. Zwracamy m>.._;, czytełnika na 10, ie prawdopodobieństwo geometryczne rwjauywawgo zdarzenia ..... od tego. co przyjmujemy jako jego miarę. Zmiana wybonj miary zdarzenia mote spowe-ciowac rmianę wartości obliczonego prawdopodobieństwa. Wybór odpowiedniej iv .. zdarzenia zalety od przyjętego sposobu losowania. Wskazuje na to przykład znany " teramrze pod nazwą parad&kM MmwmS&i*) (przykład 4.4JV

Posługując się definicją 4.4.2 łatwo wykazać, Ae w przypadku ztaom nieskończony,;, własności 4,1.1 i 4JL2 nie mają charakteru twierdzeń odwracalnych, izm

11 prawdopodobieństwo zdarzenia A rdune jedności nie musi być praw dopodo buławę® zdarzenia pewnego;

2) prawdopodobieństwo zdarzenia A równe zera nie musi być prawdopodobieństw,- , zdarzenia niemożliwego,

W⁷ rym edu wy'starczy rozpatrzeć następujący przykład.

<ji Joseph Bnrmajsd (1921 - 9900? rafiicmwjk francuski jąjroąiący »ę rachunkiem pra w-dof*'-dotaaeńsrwa.

Przym.co 4.4,1, ^strzelec strzela do tarczy;, Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia w ściele określony jej punkt,

Rozwiązanie Przyjmfimy jako miarę zdarzenia miarę pola ograniczającego ;bior zdarzeń elementarnych, WtSwczas miarą rozpatrywanego w zadaniu zdarzenia jest zero, jako miara punktu, Wielkość ta uwzględniona w liczniku wzoru <4.4.1) daje szukane prawdopodobieństwo równe zeru. chociaż nie jest wcale niemożliwe trafienie w wybrany punkt,

PliZYkt so 4.4,2. Strzelec strzela do tarczy. Tarczę stanowią dwa prostokąty o wymiarach lm\2m, nachodzące na siebie wząjennne w połowie wielkości (rys. 4.4.IV .leżeli strzelec strzela? na chybi? trafi? i podano informację, Ac kula tkwi w polu /}. to prawdopodobieństwo, że trafi? w pole .4. obliczy my biorąc pod uwagę, Ac zdarzenie, iż kula tkwi w polu .4. jest tu równoważne zdarzeniu, że kula tkwi w polu .4 K Wobec tego, stosując wzór (4.4.1) i przyjmując za wiarę zbioru zdarzeń ich pola. otrzymamy, że szukane prawdopodobieństw o jest równe !.

Przysiad 4,4.3 (Paradoks Bertranda). Obliczyć prawdopodobieństwo 71. Ze dowolnie obrana cięciwa koła o promieniu R będzie większa od boku trójkąta równobocznego wpisanego w to koło.

Rozwiązanie. Zakładsmy następujący sposób losowania. Rzucamy koło na płaszczyznę, na której poprowadzono proste równoległe w odległości równej średnicy kola. Odcinki prostych przecinających okrąg stanowić będą cięciwy koła.

, 1. Oznaczmy odległość cięciwy od środka kola przez // (’) (rys. 4.4,2). Za u w a *.my. że d mitże przyjąć każdą ;• wartości między 0 a AL Wobec tego wydaje się naturalną rzeczą utożsamić długość promienia ze zbiorem możliwych wartości odległości cięciwy od środka, czyli przyjąć długość promienia kola jako miarę podstawowego zbioru zdarzeń ełcmen-tanmit,

(^s) Zakładamy, te wielkości W i * są amieamyini losowymi o i\vkUdzie równomiernym. (Rozkład równomierny zmiennej losowej; patrz definicja W.3.H.