DSCF6564

84

M-3. Pomiar modułu sztywności stali metodą drgań skrętnych

1. Wstęp

Rozpatrzmy „skręcanie” bryły o kształcie walca, zachodzące pod wpływem sił stycznych do obwodu (rys. 8).

Siły takie działają m. in. na śrubokręty, wiertła, wały napędowe, a także cienkie nici w galwanomet-rach zwierciadlanych i wagach skręceń.

Naszym celem jest znalezienie współczynnika (modułu) sztywności mteriahi — ilościowej charakterystyki podatności na skręcenie. Jedna z podstaw walca przedstawionego na rys. 8 jest unieruchomiona, druga pod wpływem działających sił uległa obrotowi o kąt q>, a elementarny „prostopadłościan” wybrany do rozważań uległ odkształceniu do formy równoległościanu. Zauważmy, że długość łuku AA' pozwala związać ze sobą kąt obrotu podstawy q> oraz kąt fi, o jaki obróciła się krawędź prostopadłościanu:

AA' = xq> — ip skąd fi =    (1)

Załóżmy, że kąt obrotu krawędzi jest proporcjonalny do naprężenia stycznego /:

||g||g    (2)

Współczynnik G nazywamy modułem sztywności. Na element powierzchni dS działa siła dF:

jp 5-ić G(px²dxdO

dF =fdS = -2—j-    (3)

ponieważ dS = xdOdx.

Element dS odległy jest o x od osi obrotu, więc moment siły dM wyraża 5^ wzorem:

dM — xdF = dxdO    (4)

Całkowity moment siły M znajdziemy, całkując wyrażenie 4 ze względu i i i kąt 0:

r    2n

M =    j*xⁱdx j"    <P = D(p    (5)

o    o

gdzie

D =

nGr*

21

równe liczbowo momentowi siły powodującemu obrót

o kąt jednostkowy, będziemy nazywać momentem kierującym.

2. Metoda pomiaru

Równanie 5 wskazuje na możliwość pomiaru współczynnika sztywności przez doświadczalne znalezienie zależności pomiędzy przełożonym momentem sil i kątem skręcenia (p. Taka metoda pomiaru nosi nazwę metody statycznej; w ćwiczeniu zastosujemy jednak inną metodę - nazywaną dynamiczną - nie wymagającą znajomości momentu siły M.

Użyjemy krążka zawieszonego na sprężystym drucie w roli wahadła torsyjnego. Przy obrocie krążka o kąt ę pojawia się moment sił sprężystości, skierowany przeciwnie do momentu sił zewnętrznych (wzór 5) i do kąta <p, mającego zwrot prędkości kątowej nadanej krążkowi przy obrocie:

M = — D<p    (6)

Po wykorzystaniu związku M = I<p, gdzie I oznacza moment bezwładności krążka, a i^;j> drugą pochodną kąta obrotu względem czasu (tzn. przyspieszenie kątowe), ostatnie równanie można zapisać w postaci:

<P + -j<P = 0    (7)

w której rozpoznajemy równanie ruchu harmonicznego o częstości kołowej co: