HPIM9284

200 RarifMJ I MiM) austin 4an>fh

V io wdma ijc/bi ukoi u powiecie (ol 32). Parametry populacyjne traeba n*tąpłc wielkościami / próbki, Pirrwizy składnik który odnoai się do różnic powiatami, to miim kwadratów odchyleń łiedmdt \\ od średniej ogólnej mnażow)* p«w kwadrat) liczb) wk*4 w wykmowanych powiatach. Sumę « t UWł trzeba p,. dadK poa bc*b< ikiadnikdw pomnśeN«H o I (2X po czym podziebc przez hĄ wytMowanycfc pwwatów (3)i kwadrat średniej liczby szkól w powiacie (2704). wr_Cł?. dr pomnożyć parz 0.99 By <nnc<m*c drufi składnik. odpowiadający różnicom «* nątn powiatów trzeba wariancje wewnątnpowialowe zastąpić wariancjami z pr% Sumę (It72) drieSmy przez (rwfty. Dodajac oba składniki (0.073*0.077). ou/yr. jemy w jiuncK estymatora >rcdnicj (0.150). Pierwiastek z tej wartości (0.387) to bŁjc standardowy oszacowania Możemy go użyć do zbudowania przedziału ufności. Euy. outory innych parametrów wyczerpująco opoują Hansen s m. (1956)

Eitjmmmf) łSaraakwrr

Estymatory stomnkowe wytorzywuH do oszacowania parametru stosunek ouadzy zmiennymi (Pawłowski. 1972). Chcąc oszacować średnia zmiennej X. możemy sobie pomoc inna zmienni Z jeśli tylko / jest Minie związana z X a jej średnia w populj. cji jest zr.ar.i Możemy załozyt. łe stosunek obu Średnich w populacji w przy bliżeniu odpowiada stosunkowi obu iredruelt w próbce:

■fi Mil

i i

Stad zamust estymowac X • p możemy wziąć:

Inaczej mówiąc: jctli próbka nie doszacowujc łub przeszacowuje średnią znuea&ej Z lo możemy zbudować czynnik korygujący > zastosować go do estymatora *redn«i.t Pozwala lo zwiększyć dokładność estymacji bez zwiększania wielkości próbki. Ten es. lymator jest wprawdzie obciążony (obciążenie to szybko maleje wraz ze wzrostem *iello%ci próbki), ale zgodny Wariancja estymatora (dokładniej: wariancja powiększona o kwadrat obciążenia) oszacowana z próbki wynosi:

przy założeniu, żc z populacji o wiclkołci N wylosowano w sposób nieograniczony, indywidualny i bezzwrotny próbkę o wielko id n.

Załóżmy, że chcemy oszacować średnią pewnego testu osiągnięć szkolnych w po putacp 5 tys uczniów. Pobraliśmy z mej 20-osobową próbkę prostą i prosiliśmy o wy-

sirtunk.iftfeidpu 201

*•’**"[* testu. Wiadomo, le u;« icst łwiązany * wyktcukttfta raśneo* wc/nw , wiadomo. /•• w populacji średnia wyks/ialctnia rodziców (w uucfc nauki) wyww ||,b. Zebraliśmy więc dane o wykształceniu rodziców. (Ho 20 par wwnoto Nma io wynik testu, drugn to zaokrąglona średnia wykształcenia rodziców wetsa (4 10). (12 10). (15 12). (13 12), (21 13). (24 10). (U 12). (6 7). (9 17j. i) H)j (30 17). (24 17). (21 13). (15 13). (9 10). (6 7), (9 10). (12 10). (27 20). (27 20) łatwo obliczyć, te!

ZniKflru	faśaw	Wirułicii
Mutn	tśjo	iii
*>lMi»ic<nK (2)	17.80	1_15,34

Postępując drogą naszkicowaną w poprzednim podrozdziale, utailibyśmy, te średni wynik testu w populacji pokrywa sk « łrednim wynikiem w próbce, czyli je ja—15.90. Wariancja tego oszacowania wynosi 37,88/2fr(5000*20W5000-2.81 Wyciągając pierwiastek z tej wartołcł otrzymujemy błąd standardowy oszacowania (1,70 wyniku testowego).

JesU do tego samego celu wykorzystamy zmienną /. io 5-13.90- ll.6M2.S0 14 41 2<by obliczyć wariancję tego oszacowania, musimy najpierw obbczyc turac kwadratów odchyleń (437.11 \ Dzieląc ją pnez 19 i 20 oraz mnożąc przez 0.994. otnymąe 0f 1,15 Błąd standardowy wynosi 1.07 - o ponad IM mniej niż poprzadma Przy gstaiooej hczebnoid próbki możemy zatem dokładniej oszacować trata* a przy psaloaym błędzie możemy uzyt mniejszej próbki Zysk ten. dodajmy, zakży od wielkości współczynnika korelacji miedzy I i Z (w powyższym przytbdzie omągnąl on nierealistyczną wielkość 0.74). Jetli jest noki (dokładniej mazy uż połowa stown-ka współczynnika zmiennoan 7 do współczynnika zmienności A lo wprowadzeń* imiennej Z pogarsza dokładność oszacowania.

Na zakończenie rozważań o estymacji parametrów zauważmy, u wariancja uty muon nie wyczerpuje wszystkich błędów oszacowana, ponrwiź odnosi mę jedynie do błędu wynikającego stąd. żc wypowiadamy się o populacji m podstawie próbka Innym źródłem rozbieżności między oszacowamem a prawdziwą wanodcią parametru są błędy samego pomiaru amennej Na błędy te składają się nierzetelno* airzędzia pomiaru oraz zwykłe pomyłki badacza podczas zbierania i zapisywania danych. Wskutek tego faktyczny wynik osoby/ jest sumą wyniku prawdziwego i raełoaorogo błędu c Błąd ten może byc skorelowany z prawdziwą wanotcią i we musi sk znosić do zera Dobrym przykładem może być Mąd. do którego dochodzi, gdy mierzymy do chód osoby lub rodźmy za pomocą wywiadu: ja*, wykazano, na większe są prawdziwe dochody, tym większa jest też skłonność do zaniżania ujawnianego dochodu. Estymator X jest wówczas obciążony (sugeruje, że średni dochod jest nizszy niż w rzeciyw> stosci). a jego wariancja jest powiększona w zakznoid od wmancji Mędow pomiaru i współczynnika korelacji między błędem pomiaro i jego prawdziwą wartością.

Czasem podejmuje się próbę oszagiwanin melosowych błędów pomiaru. W tym celu i próbki losuje się mniejszą próbkę (ale liczącą kilkadziesiąt obiektów ) i powta-