MATERIAA
Y DO ĆWICZEC

ANALIZA MATEMATYCZNA II
15 I 2004
Funkcje różniczkowalne
1 Pochodna funkcji w punkcie
Ćwiczenie 1.1. Korzystając z definicji pochodnej wykazać, że funkcje
x
1. f(x) = x3, 2. f(x) = sin 3x, 3. f(x) =
x2+1
posiadajÄ… pochodne w dowolnym punkcie x0 " R.
Ćwiczenie 1.2. ([K], 6.5) Załóżmy, że funkcja f : P R jest różniczkowalna w x0 " P (P -dowolny
przedziaÅ‚) i f (x0) > 0.Wówczas istnieje ´ > 0 taka, że f(x) < f(x0) dla x " (x0 - ´, x0) )" P oraz
f(x) > f(x0) dla x " (x0, x0 + ´) )" P .
Ćwiczenie 1.3. ([K], 6.11) Udowodnić, że dla a " Z funkcja f(x) = xa jest różniczkowalna w swojej
dziedzinie i f (x) = axa-1.
Ćwiczenie 1.4. ([K], 6.14) Niech f : P R, gdzie P jest dowolnym przedziałem (ograniczonym bądz

nieograniczonym) będzie funkcją ciągłą, różnowartościową w P i różniczkowalną w punkcie x0 " P oraz
f (x0) = 0. Wówczas funkcja odwrotna f-1 do funkcji f nie jest różniczkowalna w punkcie y0 = f(x0).
Ćwiczenie 1.5. ([K], 6.15) Niechf : P R, gdzie P jest dowolnym przedziałem (ograniczonym
bÄ…dz
nieograniczonym), będzie funkcją różniczkowalną. Udowodnić, że jeśli funkcja f jest rosnąca
(odpowiednio malejÄ…ca), to f 0 (odpowiednio f 0).
Ćwiczenie 1.6. Wykazać, że funkcja f(x) = |x - a|Õ(x), gdzie Õ : P R (P jest dowolnym prze-
dziaÅ‚em zawierajÄ…cym punkt a) jest funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… i Õ(a) = 0 nie ma pochodnej w punkcie x = a.

2 Pochodne funkcji elementarnych. Twierdzenie o wartości średniej I
Ćwiczenie 2.1. ([K], 6.20) Udowodnić wzór na pochodną funkcji pierwiastkowej nie korzystając z
twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej lecz ze wzorów uproszczonego mnożenia.
Ćwiczenie 2.2. ([K], 6.25) Udowodnić, że
1 1
(tg x) = , (ctg x) = - .
cos2 x sin2 x
Ćwiczenie 2.3. ([K], 6.27)
1. Udowodnić, że funkcje arc sin i arc cos nie są różniczkowalne w punktach 1 i -1.
2. Udowodnić, że
1
(arctg x) = , x " R,
1 + x2
1
(arcctg x) = - , x " R.
1 + x2
Ćwiczenie 2.4. ([K], 6.28) Obliczyć pochodne funkcji hiperbolicznych.
Ćwiczenie 2.5. Obliczyć pochodne funkcji
1

2
1
1. f(x) = (cos x)ctg x, 0 < x < Ä„, x2e-x |x| 1
2
8. f(x) =
1
|x| > 1
2. f(x) = (arctg x)x, x > 0, e
1
1
3. f(x) = (x)( x ), x > 0,

1
x2 sin x = 0

4. f(x) = x|x|,
x
9. f(x) =
0 x = 0
5. f(x) = ln |x|, x = 0,


6. f(x) = | sin3 x|,
10. f(x) = sin 5 + (arctg x)3 ln(3 - arc sin x),

x x < 0
7. f(x) =
x " (-1, 1).
ln(1 + x) x 0
Ćwiczenie 2.6. Znalez
ć na wykresie funkcji f(x) = ex punkt, w którym styczna jest równoległa do
prostej x - y + 7 = 0.
Ćwiczenie 2.7. Pod jakim kątem przecinają się wykresy funkcji f(x) = sin x, g(x) = cos x?
Ćwiczenie 2.8. Wykazać następujące równości
1. sin2 x + cos2 x = 1, x " R,
Ä„
2. arc sin x + arc cos x = , -1 x 1,
2
2x
3. 2 arctg x + arc sin = Ä„, x 1.
1+x2
3 Twierdzenia o wartości średniej II
Ćwiczenie 3.1. ([K], 6.60) Udowodnić, ze jeśli f : (a, b) R ma pochodną ciągłą i ograniczoną na
(a, b), to f spełnia warunek Lipschitza w (a, b).
Ćwiczenie 3.2. ([K], 6.36)
1. Niech f : P R będzie funkcją różniczkowalną w P (P -dowolny przedział). Jeśli f (x) 0
(odpowiednio f (x) 0) dla x " P , przy czym f (x) = 0 dla skończonej liczby punktów x " P ,
to f jest ściśle rosnąca (odpowiednio ściśle malejąca) w P.
2. Udowodnić analogiczną własność przy założeniu, że f (x) 0 (odpowiednio f (x) 0) dla x " P
oraz zbiór {x " P : f (x) > 0} (odpowiednio zbiór {x " P : f (x) < 0}) jest gęsty w P. (Mówimy,

że zbiór A ‚" P jest gÄ™sty w P , gdy dla dowolnego przedziaÅ‚u P ‚" P istnieje x " A takie, że

x " P .
Ćwiczenie 3.3. 1. Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną w (a, b). Wykazać, że jeśli
istnieje skończona granica limxa+ f (x) = ą, to istnieje granica limxa+ f(x).
2. Niech f : [a, b) R będzie funkcją ciągłą w [a, b), różniczkowalną w (a, b). Wykazać, że jeśli

istnieje limxa+ f (x) = ą " R, to istnieje pochodna f+(a) i jest równa ą.
Ćwiczenie 3.4. Wykazać następujące nierówności
1. ex > 1 + x, x = 0,

x2
2. x - < ln(1 + x) < x, x > 0,
2
x3
3. x - < sin x < x, x > 0,
6
Ä„
4. tg x > x, x " (0, ),
2
2
x3 Ä„
5. tg x > x + , 0 < x < ,
3 2
6. xÄ… - 1 > Ä…(x - 1) dla Ä… 2, x > 1,
" " "
n n n
7. x - Ä… < x - Ä… dla n > 1, x > Ä… > 0,
8. 1 + 2 ln x x2, x > 0,
a-b a a-b
9. < ln < , 0 < b < a,
a b b
10. (1+x)ą 1+ąx dla x -1, ą 1 oraz (1+x)ą 1+ąx dla 0 < ą < 1, x > -1, (nierówności
Bernoulliego).
4 Ekstrema funkcji
Ćwiczenie 4.1. Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji
1. f(x) = x| ln x - 2|, x " [1, +"), 4. f(x) = x4 - 2x2 + 3, x " R,
x2
2. f(x) = , x " R \ {-1, 1},
5. f(x) = arctg(ex - xe), x " R,
|x|-1
|2x|
"
3. f(x) = , x " R \ {-1},
6. f(x) = ln(sin x), x " (0, Ä„).
x2+2x+1
Ćwiczenie 4.2. Znalez
ć wartość największą i najmniejszą następujących funkcji
1. f(x) = x4 + 2x2 + 5, x " [-2, 2],

3
2. f(x) = (x2 - 2x)2, x " [0, 3],
1
3. f(x) = x3 + (x)3, x " [1, 2].
2
Ćwiczenie 4.3. ([K], 6.43) Udowodnić, że funkcja

1
2x2 - x2 sin x = 0

x
f(x) =
0 x = 0
jest różniczkowalna, posiada minimum lokalne właściwe w punkcie x0 = 0, ale jej pochodna nie zmienia
znaku w punkcie 0.
Ćwiczenie 4.4. Udowodnić, że funkcja

1
x2 - x2 sin x = 0

x
f(x) =
0 x = 0
jest różniczkowalna i posiada minimum lokalne w punkcie x0 = 0, które nie jest właściwe.
5 Reguła de l Hospitala 1
Ćwiczenie 5.1. ([K], 6.49) Udowodnić inną wersję reguły de l Hospitala:
Niech f, g : [a, b) R, -" < a < b < +" będą funkcjami ciągłymi i istnieją pochodne f (a) i
f(x) f (a)
g (a) oraz g (a) = 0. Jeżeli f(a) = 0 i g(a) = 0 to limxa+ = .

g(x) g (a)
Ćwiczenie 5.2. ([K], 6.52) Obliczyć
xn-an
1. limxa xm-am , a " R \ {0}, n, m " N,
2. limx0+ xk lnl x, k, l " N.
Ćwiczenie 5.3. Obliczyć granice funkcji
3
2
1. limx0 x2-2+2 cos x, 9. limx0(1 + x2)ctg x,
x4
"
10. limx-2 arc sin(x+2),
2. limx0 a- a2-x2 , a > 0,
x2+2x
x2
e2x-1
11. limx0 ln(1+2x),
3. limx" ln x, n > 0,
xn
1
"ln x
1
12. limx1- ,
4. limx0 x e- x2
,
1-x2
1 1
13. limxe ln x-1,
5. limx1(x-1 - ),
x-e
ln x
1
14. limx0 ex-x-1,
6. limx0(ctg2 x - ),
x2
x2
x2
1
ln(1+x)-x+
7. limx0(1(ax + bx))x , a > 0, b > 0,
15. limx0 x3 2 ,
2
tg x-x
8. limx0+ xln(1-x), 16. limx0 x-sin x.
6 Reguła de l Hospitala 2
Ćwiczenie 6.1. Obliczyć granice funkcji
tg x
1
1. limx0 tg ax, a = 0, 9. limxa(x22a - ),

-a2 x-a

1
1
2. limx0 ln x + ,
10. limx" xx ,
x
11. limx0+ xsin x,
3. limx1 xp-1, q = 0,

xq-1
"
12. limx0(cos x)ctg x,
4. limx0 x+ln( 1+x2-x),
x3
2
Ä„
13. limx Ä„ (1 + (x - ))tg x,
5. limx0 ctg x,
2
1
2
x
14. limx0(sin2 x)ctg x,
6. limx Ä„ tg 5x,
tg 3x
2
15. limx0+(xx - 1) ln x,
1
7. limx0(ex1 - ),
-1 x
x
(sin x)(sin x)sin
1
8. limx0(x - ctg x), 16. limx0+ .
xxx
Ćwiczenie 6.2. Obliczyć granice ciągów
1
1. limn" n(an - 1), a > 0, 4. limn" ln(ln n),
n
1
2. limn"(n - n2 ln(1 + )),
n
sin 1
1
n
5. limn" n! n! .
3. limn" n(Ä„ - arctg ),
4 n+1
Ćwiczenie 6.3. Zbadać zbieżność szeregu
"

ln n n
1 - .
n
n=1
Ćwiczenie 6.4. Zbadać różniczkowalność funkcji w zerze

sin x
x " R \ {0} xx x > 0
x
1. f(x) = 2. f(x) =
1 x = 0, 1 x 0.
4
Ćwiczenie 6.5. Podać przykład funkcji f, takiej że istnieje granica limxa f(x) i nie istnieje granica
g(x)
limxa f (x).
g (x)
Wskazówka. Rozważyć funkcje f(x) = x + sin x, g(x) = x.
7 Pochodne wyższych rzędów I
Ćwiczenie 7.1. ([K], 6.58) Udowodnić, że jeśli funkcje f, g : P R (P -dowolny przedział) mają n-te
pochodne w P , to zachodzi następujący wzór Leibniza

n n n n
(fg)(n) = f(n)g + f(n-1)g + f(n-2)g + · · · + fg(n).
0 1 2 n
Ćwiczenie 7.2. Znalez
ć pochodne wskazanego rzędu poniższych funkcji
1
1. f(x) = , f(n)(x), x = 0, 5. f(x) = sin2 x ln x, f(8)(x), x " R,

x
"
2. f(x) = x, f(n)(x), x > 0,
6. f(x) = x2ex, f(n)(x), x " R,
ex
3. f(x) = , f(10)(x), x = 0,

x
7. f(x) = x ln x, f(n)(x), x > 0.
4. f(x) = x2 sin 2x, f(50)(x), x " R,
Ćwiczenie 7.3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji korzystając z pochodnej wyższego rzędu
n
1. f(x) = x2 ln x, 4. f(x) = (ln x - ln ak)2,
k=1
2. f(x) = x logx 2,
n n 1 1
3. f(x) = (x - ak)2, 5. f(x) = (x - )2,
k=1 k=1
ak
8 Pochodne wyższych rzędów II
Ćwiczenie 8.1. ([K], 6.55) Niech f : P R będzie funkcją n-krotnie różniczkowalną w przedziale
P. Udowodnić, że f(n)(x) = 0 dla każdego x " P wtedy i tylko wtedy, gdy jest wielomianem stopnia
mniejszego od n obciętym do P.
Ćwiczenie 8.2. ([K], 6.57) Dla każdego n podać przykład funkcji klasy Cn-1, która nie jest funkcją
klasy Cn.
Ćwiczenie 8.3. Niech f : R R będzie funkcją n-krotnie różniczkowalną, n 2. Połóżmy h(x) =

1
f , x = 0. Wówczas istnieją liczby całkowite an,k, k = 1, . . . , n - 1, takie że

x
n-1


(-1)n 1 an,k 1
h(n)(x) = f(n) + f(k) .
x2n x xn+k x
k=1
Ćwiczenie 8.4. ([K], 6.59) Udowodnić, ze funkcja

1
e- x
x > 0
f(x) =
0 x 0
jest funkcją klasy C". W szczególności udowodnić, że f(n)(0) = 0 dla n " N.
5
9 Wzór Taylora
x
Ćwiczenie 9.1. Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x) = w punkcie x0 = 5.
x-3
Ćwiczenie 9.2. ([K], 6.63) Wykazać następujące wzory
(-1)n
x3 x5
1. sin x = x - + - · · · + x2n+1 + o(x2n+1), x " R,
3! 5! (2n+1)!
(-1)n
x2 x4
2. cos x = 1 - + - · · · + x2n + o(x2n), x " R,
2! 4! (2n)!
(-1)n-1
x2 x3
3. ln(1 + x) = x - + - · · · + xn + o(xn), x " (-1, +"),
2 3 n
Ä… Ä…(Ä…-1) Ä…(Ä…-1)···(Ä…-n+1)
4. (1 + x)Ä… = 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn), x " (-1, +"), Ä… " R.
1! 2! n!
Ćwiczenie 9.3. Napisać wzór Taylora dla funkcji

1
e- x
dla x > 0
f(x) =
0 dla x 0
Ćwiczenie 9.4. Obliczyć granicę
n xm
ex -
m=0
m!
lim , n " N.
x0
xn+1
Ćwiczenie 9.5. Obliczyć z dokładnością do 0, 001
" "
3
1. ln 2, 2. 3, 3. 2, 4. e2.
Ćwiczenie 9.6. ([K], 6.69) Jeśli funkcja f : P R (P -dowolny przedział) posiada n-tą pochodną w
punkcie x0 " Int(P ), f (x0) = f (x0) = · · · = f(n-1)(x0) = 0 oraz f(n)(x0) = 0 i

a) jeśli n jest liczbą parzystą, to f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne właściwe, przy czym, gdy
(a) f(n)(x0) > 0, to f ma w punkcie x0 minimum lokalne właściwe,
(b) f(n)(x0) < 0, to f ma w punkcie x0 maksimum lokalne właściwe.
b) jeśli n jest liczbą nieparzystą, to f nie ma w punkcie x0 ekstremum lokalnego.
10 Funkcje wypukłe, punkty przegięcia, asymptoty
Ćwiczenie 10.1. ([K], 6.71) Udowodnić,że
1. Dla dowolnych x1, x2 " R, x1 < x2 i dowolnych 1, 2 0 takich, że 1 + 2 = 1 mamy
1x1 + 2x2 " [x1, x2].
2. Dla dowolnych x1, x2 " R, x1 < x2 i dowolnego x " R takiego,że x1 x x2 istnieje dokładnie
jedna para liczb 1, 2 0 takich, że 1 + 2 = 1 oraz x = 1x1 + 2x2.
Ćwiczenie 10.2. ([K], 6.78) Udowodnić, że
1. Suma funkcji wypukłych jest funkcją wypukłą.
2. Iloczyn funkcji wypukłych nie musi być funkcją wypukłą.
6
Ćwiczenie 10.3. ([K], 6.79) Udowodnić, ze jeśli funkcja f : P R (P - dowolny przedział) jest
wypukła i istnieją x1, x2 " P i 1, 2 > 0 takie, że 1 + 2 = 1 oraz zachodzi równość
f(1x1 + 2x2) = 1f(x1) + 2f(x2),
to funkcja f jest liniowa w [x1, x2].
Ćwiczenie 10.4. ([K], 6.80) Niech f : P Q, g : Q R (P, Q-przedziały). Udowodnić, że złożenie
g ć% f dwóch funkcji wypukłych f, g, przy czym funkcja g jest rosnąca, jest funkcją wypukłą.
Ćwiczenie 10.5. ([K], 6.82) Udowodnić, że jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła w [a, b] i wypukła
w przedziale (a, b), to jest wypukła w [a, b].
Ćwiczenie 10.6. ([K], 6.88) Udowodnić, że
1. Funkcja

1
x3 + x4 sin x = 0

x
f(x) =
0 x = 0
jest ciągła w punkcie x0 = 0, pochodna f ma minimum w punkcie 0, ale punkt x0 = 0 nie jest
punktem przegięcia funkcji f.
2. Funkcja f(x) = x4, x " R, ma własność f (0) = 0, ale punkt x0 = 0 nie jest punktem przegięcia
funkcji f.
Ćwiczenie 10.7. ([K], 6.91) Udowodnić, że funkcja

x5 + x5 sin2 1 x = 0

x
f(x) =
0 x = 0
spełnia, dla pewnych x1 < 0 < x2, nierówności
f(x) f(0) + f (0)(x - 0) dla dowolnego x " (x1, 0)
f(x) f(0) + f (0)(x - 0) dla dowolnego x " (0, x2),
ale nie posiada punktu przegięcia w punkcie x0 = 0.
Ćwiczenie 10.8. Określić dziedzinę, wyznaczyć punkty przegięcia i podać przedziały wypukłości i
wklęsłości funkcji f danej wzorem

1-x
1. f(x) = x + cos x, 3. f(x) = x| ln x - 2|.
2. f(x) = ,
1+x
Ćwiczenie 10.9. Określić dziedzinę i wyznaczyć asymptoty funkcji f danej wzorem
"
1
1
1. f(x) = x2 - 4x + 3, 3. f(x) = xex , 5. f(x) = x arctg ,
x

1 1
2. f(x) = x + cos x, 4. f(x) = arctg x, 6. f(x) = x ln e + .
x x
11 Badanie przebiegu zmienności funkcji I
Ćwiczenie 11.1. Wyznaczyć zbiory określoności funkcji zdefiniowanych poniższymi wzorami, a na-
stępnie zbadać ich przebieg zmienności
7
"
x2
1. f(x) = , 5. f(x) = sin2 x + cos x, 7. f(x) = x2 - 4x + 3,
|x|-1
"
1
3
8. f(x) = xex ,
2. f(x) = x - x2,
2x
x3
3. f(x) = x ln ,
9. f(x) = ,
x-2
x2-x-1

1-x
x3
4. f(x) = ,
6. f(x) = x + cos x, 10. f(x) = .
1+x
1-x2
12 Badanie przebiegu zmienności funkcji II
Ćwiczenie 12.1. Wyznaczyć zbiory określoności funkcji zdefiniowanych poniższymi wzorami, a na-
stępnie zbadać przebieg ich zmienności
"
2 3 x2
1. f(x) = x3 ln x2 - , 4. f(x) = x x - 1, 7. f(x) = cos Ä„ .
3 x2+1

3
2. f(x) = x2 ln x2 - 1 , 5. f(x) = x (x - 1)2,

1 3
3. f(x) = x - arctg x - , 6. f(x) = x(x - 1)2,
x
Ćwiczenie 12.2. Zbadać przebieg zmienności funkcji sinh i funkcji do niej odwrotnej.
Ćwiczenie 12.3. Wyznaczyć funkcję ciągłą f : I R, gdzie I jest przedziałem, dla której istnieje
ł " R, że
1. x2 + f2(x) = Å‚,
2. ex + arctg f(x) = Å‚,

3. ln f(x) + f2(x) - 1 - arc sin x = Å‚.
Wyznaczyć wszystkie takie funkcje.
Ćwiczenie 12.4. Wykazać, że istnieją funkcje ciągłe f : I R, (I przedział), takie że
f(x) - ln(f(x) + 1) + 2x = 1, x " I.
Zbadać ich przebieg zmienności.
13 Kolokwium
CiÄ…gi i szeregi funkcyjne
14 Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów funkcyjnych
Ćwiczenie 14.1. ([K], 8.8) Udowodnić, że dla dowolnego A " (0, 1) ciąg funkcyjny fn(x) = xn, x "
(-A, A) jest jednostajnie zbieżny.
x
Ćwiczenie 14.2. ([K], 8.9) Udowodnić, że ciąg funkcyjny fn(x) = , x " R, jest zbieżny do funkcji
n
f = 0, ale nie jest on jednostajnie zbieżny w całym R.
Ćwiczenie 14.3. ([K], 8.10)
x
1. Udowodnić, że ciąg funkcyjny fn(x) = jest jednostajnie zbieżny w [0, 1].
1+n2x2
nx
2. Udowodnić,że ciąg funkcyjny fn(x) = nie jest jednostajnie zbieżny w [0, 1].
1+n2x2
Ćwiczenie 14.4. Zbadać zbieżność jednostajną ciągów funkcyjnych:
8
2
1. fn(x) = xn x " R; x " [0, 1], 7. fn(x) = ne-nx , x " (0, +"),
1
e-nx
2. fn(x) = , x " [0, +"),
8. fn(x) = x + , x " [0, +"),
1+nx
n
2
2
3. fn(x) = 2n2xe-nx , x " R,
9. fn(x) = e-nx , x " [-1, 1],

1
x
4. fn(x) = x2 + , x " R,
10. fn(x) = , x " R,
n
n2+x2

nx
1
11. fn(x) = , x " R,
5. fn(x) = x2 - , x " [1, +"),
n2+x2
n2
n2x2
6. fn(x) = nxn(1 - x), x " [0, 1], 12. fn(x) = , x " R.
n2+x2
15 Zbieżność jednostajna ciągów funkcyjnych.
Własności ogólne
Ćwiczenie 15.1. Zbadać zbieżność jednostajną ciągów funkcyjnych:
"

n
x x
1. fn(x) = 1 + x2n, x " R, 7. fn(x) = ln 1+ -ln 1+ , x " [0, +"),
n n+1
1
2. fn(x) = [nx], x " R, 2x
n 8. fn(x) = arctg , x " R,
x2+n3
x
3. fn(x) = n sin , x " R
n 1+nx
9. fn(x) = n ln , x " (0, +").
nx
1
4. fn(x) = x + sin nx, x " R,
n
x2
10. fn(x) = n ln 1 + , x " R,
x x
n
5. fn(x) = ln , x " (0, 1),
n n
"
x 1
6. fn(x) = - ln(1 + nx) + x2, x " [0, 1], 11. fn(x) = n + 1 sinn x cos x, x " R.
n n
Ćwiczenie 15.2. ([K], 8.18) Podać przykład ciągu (fn)n"N funkcji ciągłych, zbieżnego do funkcji
ciągłej, ale takiego, że zbieżność nie jest jednostajna.
Ćwiczenie" 15.3. ([K], prob. 8.19) Niech (fn)n"N będzie ciągiem funkcji ciągłych na przedziale do-
mkniętym [a, b]. Jeśli ciąg (fn)n"N jest monotoniczny i zbieżny do funkcji ciągłej, to jest zbieżny
jednostajnie.
Ćwiczenie 15.4. ([K], 8.21) Niech (fn)n"N będzie ciągiem jednostajnie zbieżnym do funkcji f na
zbiorze E ‚" R i niech x0 bÄ™dzie punktem skupienia zbioru E oraz każda z funkcji fn ma granicÄ™
skończoną w punkcie x0 tzn. limxx0 fn(x) = An. Połóżmy

fn(x) x " E
gn(x) =
An x = x0
Udowodnić, że wówczas ciąg (gn)n"N jest jednostajnie zbieżny zbiorze E *" {x0}.
Ćwiczenie 15.5. ([K], 8.22) Udowodnić, że jeśli (fn)n"N jest ciągiem funkcji jednostajnie ciągłych na
zbiorze E ‚" R, jednostajnie zbieżnym do funkcji f, to f jest funkcjÄ… jednostajnie ciÄ…gÅ‚Ä… na E.
Ćwiczenie" 15.6. ([K], prob.8.28) Udowodnić, że istnieją funkcje ciągłe na R, które nie są różniczko-
walne w żadnym punkcie.
Wskazówka. Zob. [F], tw.7.18.
Ćwiczenie 15.7. Niech (fn)n"N i (gn)n"N będą ciągami funkcyjnymi jednostajnie zbieżnymi odpo-
wiednio do funkcji f i g na zbiorze X ‚" R. Załóżmy, że istniejÄ… staÅ‚e M > 0 i K > 0, że |f(x)| K i
|gn(x)| M dla x " X. Wówczas ciąg

fn
gn n"N
9
jest zbieżny jednostajnie do funkcji f/g na zbiorze X.
Ćwiczenie 15.8. Niech (fn)n"N będzie ciągiem funkcji ciągłych jednostajnie zbieżnym do funkcji f na
zbiorze zwartym P ‚" R. Niech Mn = maxx"P fn(x), M = maxx"P f(x). Pokazać, że limn" Mn = M.
16 Badanie zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych
Ćwiczenie 16.1. Zbadać zbieżność i zbieżność jednostajną szeregów:
" "
1. xe-nx, x 0, 10. fn(x), gdzie
n=0 n=1

1
"
, x " [n, n + 1)
x
"1
2. , x " [0, +"),
fn(x) =
n=0
2n 1+nx
0, dla pozostałych x
" ln(1+nx)
3. , x " [a, +"), a > 0,
n=0 " n3x2
nxn
11. , x " R,
n=1
1+n9x4
" e-n2x2
4. , x " R,
n=1 "
n2
12. x2e-nx, x " [0, +"),
n=1
" 1
5. , x " R,
n=1
n2(1+n2x2)
" "1-x2n
13. , x " [-1, 1],
" x
n=1
2n
6. , x " R, (wyznaczyć su-
n=1
(1+x2)n
" n2
mÄ™),
"
14. (xn - x-n), x " [1, 2],
n=1
2
n!
" x2
7. , x " R, (wyznaczyć sumę),
n=1 " ln n x
(1+x2)n
15. , x " (1, +"),
n=2
n
" x3
8. , x " R, (wyznaczyć su-
n=1
(1+x2)n
" (-1)nxn
16. , x " [0, 1],
mÄ™),
n=1
n

" "
1
9. (-1)n-1 x2 , x " R, 17. xln n, x " 0, .
n=1 n=1
(1+x2)n e
Ćwiczenie 16.2. Zbadać w jakich podzbiorach zbioru R zbieżne są szeregi
" " n x
1. lnn x, 3. (3x+2)n.
n=1 n=1
n+2
" xn
2. ,
n=1
1+x2n
Czy szeregi te są zbieżne jednostajnie?
" sin nx " cos nx
Ćwiczenie 16.3. Zbadać zbieżność szeregów , , x " R.
n=1 n=1
n n
17 Szeregi potęgowe
Ćwiczenie 17.1. ([K], 8.35)
1. Udowodnić, że jeÅ›li limn" an = g, to limn" a1+a2+···+an = g.
n
an
2. Udowodnić, że jeśli dla ciągu (an)n"N mamy an > 0 i 0 < limn" an-1 = g < ", to
"
limn" n an = g.
Ćwiczenie 17.2. ([K], 8.39)
" "
1. Udowodnić, że jeśli anxn = bnxn w pewnym przedziale (-r, r), to an = bn dla
n=0 n=0
n = 0, 1 . . . .
" "
2. Udowodnić, że jeśli anxn = bnxn, dla punktów pewnego zbioru E, którego punktem
n=0 k n=0 k
skupienia jest 0, to an = bn dla n = 0, 1 . . . .
Ćwiczenie 17.3. Znalez
ć sumy następujących szeregów, o ile istnieją
10
 " " n2-n+1
1. nxn, 5. ,
n=1 n=0
2n+3
"
"
2. n2xn,
6. (-1)n (n+1)3 ,
n=1
n=0
4n-1
" " 2nxn
1
3. n3xn,
7. , |x| < ,
n=1
n=0
n+1 2
" " 1
4. n(2n - 1)xn+2, 8. xn.
n=1 n=1
n
Ćwiczenie 17.4. Opisać wszystkie szeregi potęgowe, które są jednostajnie zbieżne na R.
Ćwiczenie 17.5. Znalez
ć promień zbieżności R szeregu
"

2nn!
x2n+1
(2n + 1)!
n=0
oraz wykazać, że jego suma f spełnia równanie f (x) = 1 + xf(x), x " (-R, R).
" x3n
Ćwiczenie 17.6. Dowieść, że szereg jest zbieżny na R oraz jego suma f spełnia równanie
n=0
(3n)!
f (x) + f (x) + f(x) = ex.
"
n
Ćwiczenie 17.7. Niech f(x) = x2 dla |x| < 1. Wykazać, że istnieje stała M > 0, taka że
n=0
M
|f (x)| < dla |x| < 1.
1 - |x|
18 Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy
Ćwiczenie 18.1. ([K], 8.47) Znalez
ć rozwinięcie funkcji ex w szereg Taylora o środku w punkcie
x0 " R.
Ćwiczenie 18.2. ([K], 8.48) Znalez
ć rozwinięcie funkcji ax, a > 0, a = 1, w szereg Taylora o środku

w punkcie x0 " R.
Ćwiczenie 18.3. ([K], 8.49) Znalez
ć rozwinięcie funkcji ln x w szereg Taylora o środku w punkcie
x0 " R+.
Ćwiczenie 18.4. ([K], 8.50, 8.51) Znalez
ć rozwinięcie funkcji
1. loga x, a > 0, a = 0, 2. xÄ…

w szereg Taylora o środku w punkcie x0 " R.
Ćwiczenie 18.5. ([K], 8.56) Znalez
ć rozwinięcie funkcji w szereg Taylora o środku w 0 dla funkcji
1
"
1. arc sin x (skorzystać z faktu, że(arc sin x) = ),
1-x2
1
2. arctg x (skorzystać z faktu, że(arctg x) = ).
1+x2
Ä„
Obliczyć z dokładnością do 0, 001 wartość .
6
Ćwiczenie 18.6. Znalez
ć rozwinięcie następujących funkcji w szereg Maclaurina
1
1. f(x) = sinh x = (ex - e-x), 3. f(x) = x ln(3 + 2x),
2
2
1
2. f(x) = cosh x = (ex + e-x), 4. f(x) = e-x ,
2
11
5. f(x) = (1 - x)-2.
Ćwiczenie 18.7. Znalez
ć rozwinięcie następujących funkcji w szereg Taylora
"
1. f(x) : x4 - 5x3 + x2 - 3x + 4, w otoczeniu 5. f(x) = 2x - 3 w otoczeniu x0 = 5,
x0 = 4,
6. f(x) = (x-1) ln(x2 -2x+2), w otoczeniu
2. f(x) = (x2 -4x+4)3, w otoczeniu x0 = 2,
x0 = 1,
1
3. f(x) = , w otoczeniu x0 = -1,
x
"
x-1
7. f(x) = , w otoczeniu x0 = -1.
4. f(x) = x, w otoczeniu x0 = 1,
x(x+2)
Ćwiczenie 18.8. Obliczyć przybliżoną wartość funkcji f w punkcie x0 za pomocą wzoru Taylora dla
trzech pierwszych wyrazów rozwinięcia, gdzie
1. f(x) = x10 - 3x6 + x2 + 2, x0 = 1, 03, 3. f(x) = x80 - x40 + x20, x0 = 1, 005,
Ä„ Ä„
2. f(x) = x8 - 2x7 + 5x6 - x + 3, x0 = 1, 97, 4. f(x) = sin x, x0 = + .
6 180
Całka Riemanna
19 Całka nieoznaczona. Wzory podstawowe
Ćwiczenie 19.1. ([K], 10.4) Obliczyć całki nieoznaczone
"

1- x
1 2x 1
" "
1. x3 - 3 sin x + - + - dx,
x cos2 x
1-x2 1-x2

2. sin2 xdx,

3. cos2 xdx.
Ćwiczenie 19.2. ([K], 10.5) Niech f : P R (P -dowolny przedział) będzie funkcją różniczkowalną
klasy C1, taką, że f(x) = 0 dla x " P. Udowodnić, że wówczas


f
dx = ln |f| + c
f
Ćwiczenie 19.3. Obliczyć całki nieoznaczone

x sin x
1. dx, 4. dx, 7. ctg xdx.
1+x2 2+3 cos x

7x 1
2. dx, 5. dx,
4+5x2 sin x


ex
1
6. dx,
3. dx,
2ex+1
x ln x
Ćwiczenie" 19.4. ([K], 10.6) Udowodnić, że jeśli funkcje f, g : P R (P -dowolny przedział) posia-
dają całki nieoznaczone, to ich iloczyn fg może nie posiadać całki nieoznaczonej.
Wskazówka. Rozważyć funkcję

1
sin x = 0

x
f(x) =
0 x = 0
i wykazać, że posiada ona całkę oznaczoną, lecz jej kwadrat f2 nie ma tej własności.
Ćwiczenie 19.5. Obliczyć całki nieoznaczone
12

1. ex cos xdx, 4. arctg xdx, 7. x3 sin xdx.

2. ln xdx, 5. x ln xdx,

3. x2exdx, 6. xaxdx,
Ćwiczenie 19.6. Obliczyć całki nieoznaczone
"
sin x
"
1. 3x + 1dx, 10. dx,
3
1+2 cos x

2

1
2. xe-x dx,
"
11. dx,
x x2-2x

ln x
" "
3. dx, 1
"
x
12. dx, a > 0, x " (- a, a),
a-x2
"

2+ln x "
" "
4. dx,
x
13. a - x2dx, a > 0, x " (- a, a),


ln(arctg x) " "
x2
5. dx,
"
14. dx, a > 0, x " (- a, a),
1+x2
a-x2

"
7
6. dx,
4+5x2 15. a + x2dx, a > 0, x " R,


x2
x2
"
7. dx,
16. dx, a > 0, x " R,
4+5x2
a+x2
"
"

8. x3 x - 4dx,
17. 1 - 4x2dx,


x
"
9. dx,
18. arc sin xdx.
3
1-3x
20 Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych
Ćwiczenie 20.1. Obliczyć całki nieoznaczone

1 1 1
1. dx, 5. dx, 9. dx,
2x-3x2 x3+x2+x (x2+1)3


x
1
6. dx, 3x-4
2. dx,
x5+2x4+x3-x2-2x-1 10. dx.
9x2-6x+2
x2+x+1


1
x3
7. ,
3. dx,
x4+4
x2-4


1
1
8. dx,
4. dx,
(x2+1)2
x3(x+1)(x-1)2
Ćwiczenie 20.2. Obliczyć całki nieoznaczone

1 1 1
1. dx, 4. dx, 7. dx,
cos x 2 sin x-cos x+5
1-sin4 x


1 1+sin x cos x
1
5. dx, 8. dx,
2. dx,
cos3 x sin4 x+cos4 x (2+cos2 x)(1+sin2 x)

1 cos3 x 1
3. dx, 6. dx, 9. dx.
sin x+cos x 5+4 cos x
sin2 x
21 Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych
Ćwiczenie 21.1. Obliczyć całki nieoznaczone

3
1 x3
" " "x -x+1
1. " dx, 3. dx, 5. dx,
3
2x2+3 x2+2x+2
x+2 x2

6. x arc sin xdx,
"
3
arc sin x
"3x +2
4. dx,
2. 2x + x2dx, 7. dx,
x2
x2+x+1
13

1 x2
" " "3x+8
8. dx, 9. dx, 10. dx.
-3-4x-x2 x2-k2 4-11x2
22 Całka Riemanna. Podstawowe własności
Ćwiczenie 22.1. Korzystając z definicji całki Riemanna wykazać, że funkcje
1. f(x) = |x|, x " [-1, 1], 2. f(x) = x2, x " [0, 1] 3. f(x) = 3x, x " [1, 2].
są całkowalne.
Ćwiczenie 22.2. ([K], 9.11) Udowodnić, że jeśli f " ([a, b]) i zmienimy wartość f w skończonej ilości
Ü
punktów przedziału [a, b], to zdefiniowana w ten sposób nowa funkcja f również należy do ([a, b]) i

b b
Ü
f(x)dx = f(x)dx.
a a
Ćwiczenie 22.3. Podać przykład funkcji całkowalnej o nieskończonej liczbie punktów nieciągłości.
Ćwiczenie 22.4. ([K], 9.14) Udowodnić, że jeśli funkcja f : [a, b] " R jest ciągła, f(x) 0 dla

b
x " [a, b] i f(x)dx = 0, to f = 0.
a
Ćwiczenie 22.5. ([K], 9.19) Udowodnić, że jeśli funkcja ograniczona f : [a, b] R jest ciągła w [a, b],
z wyjątkiem skończonej ilości punktów, to f " ([a, b]).
Ćwiczenie 22.6. ([K], 9.20) Niech f, g " ([a, b]). Udowodnić, że zachodzi następująca nierówność
Schwarza dla całek
2

b b b
fgdx f2dx g2dx.
a a a
Ćwiczenie 22.7. ([K], 9.21) Udowodnić, że

b
1. Jeśli f " ([a, b]) i f(x) > 0 dla x " [a, b], to fdx > 0.
a

b b
2. Jeśli f, g " ([a, b]). i f(x) < g(x) dla x " [a, b], to fdx < gdx.
a a
23 Całka jako granica sum Riemanna
Ćwiczenie 23.1. ([K], 9.23) Udowodnić,że -całkowalność funkcji f możemy równoważnie sformuło-
wać w sposób następujący:
Istnieje liczba A " R taka, że dla dowolnego ciągu ( n)n"N, n = (xn, xn, . . . xn ) podziałów
0 1 mn
przedziaÅ‚u [a, b] takiego, że ´( n) 0, gdyn " i dowolnego ciÄ…gu (tn)n"N punktów poÅ›rednich
i
tn " [xn , xn], i = 1, 2, . . . , mn, mamy
i i-1 i
lim S( n, (tn), f) = A.
i
n"
Ćwiczenie 23.2. Obliczyć wartości całek

Ä„ 4 4 ln arctg x
1. sin 3xdx, 4. xexdx, 7. dx,
-Ä„ -3 1
1+x2
"
5 6
7
2. x2dx, 5. x + 3dx,
0 -2
"



1 2 r
3
8. r2 - x2dx.
3. e2xdx,
6. xe-x dt,
-r
0
-2
Ćwiczenie 23.3. Obliczyć granice
14

n n
1. limn" n2+12 + · · · + ,
n2+n2

1
2. limn" n n (n + 1)(n + 2) · · · (n + n),

1
3. limn" np+1 1p + 3p + · · · + (2n - 1)p .
Ćwiczenie 23.4. ([K], 9.28) Podać przykład funkcji całkowalnej f w przedziale [a, b], nie posiadającej
funkcji pierwotnej.
Ćwiczenie" 23.5. ([K], 9.29) Podać przykład funkcji całkowalnej w przedziale [a, b], dla której funkcja

x

F (x) = fdx jest różniczkowalna w [a, b], lecz F (x0) = f(x0) dla pewnego x0 " [a, b].

a
Ćwiczenie 23.6. ([K], 9.32) Udowodnić, że dla dowolnych n, m " N


Ä„
Ä„, n = m
sin nx sin mxdx =

-Ä„ 0, n = m,


Ä„
Ä„ n = m
cos nx cos mxdx =

-Ä„ 0 n = m,

Ä„
sin nx cos mxdx = 0
-Ä„
Ćwiczenie 23.7. ([K], 9.37) Udowodnić, że
Ä„
2 1 · 3 · · · (2n - 1) Ä„
cos2n xdx = · , n = 1, 2, . . .
2 · 4 · · · (2n) 2
0
Ä„
2 2 · 4 · · · (2n)
cos2n+1 xdx = , n = 1, 2, . . .
1 · 3 · · · (2n - 1)
0
Ćwiczenie" 23.8. Udowodnić
1. wzór Wallisa
Ä„ 2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · · · (2n) · (2n)
= lim ,
n"
2 1 · 1 · 3 · 3 · 5 · 5 · · · (2n - 1) · (2n - 1)
2. wzór Stirlinga.
Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba ¸ taka, że 0 < ¸ 1 i
"
¸
n! = nne-n 2Ä„ne12n .

2
1
Ćwiczenie 23.9. ([K], 9.48) Obliczyć całkę ex dx.
0

1
Ćwiczenie" 23.10. ([K], 9.49) Obliczyć całkę xxdx.
0
Ćwiczenie 23.11. ([K], 9.50) Podać przykład ciągu (fn)n"N funkcji całkowalnych zbieżnego (ale
niejednostajnie) do funkcji całkowalnej f, dla którego zachodzi jednak równość

b b
lim fndx = lim fndx.
n" n"
a a


x
1
"
Ćwiczenie 23.12. Wychodząc z nierówności ln(x+ (1 + x2) = dt rozwinąć funkcję f(x) =
0
(1+t2)
"
ln(x + 1 + x2) w szereg Maclaurina.
15
24 Całki niewłaściwe

1
1
Ćwiczenie 24.1. ([K], 9.54) Dla jakich wartości a > 0 całka niewłaściwa dx jest zbieżna?
0 xa
Å»
Ćwiczenie 24.2. ([K], 9.59) Udowodnić, że jeśli funkcja f : P R (P = [a, b]) ma jedyny punkt
osobliwy b i jest ona caÅ‚kowalna w każdym przedziale mniejszym [a, ²], a < ² < b oraz caÅ‚ka niewÅ‚aÅ›ciwa

b b
f2dx jest zbieżna, to jest zbieżna i całka fdx.
a a

+"
Ćwiczenie 24.3. ([K], 9.63) Udowodnić, że jeśli całka fdx jest zbieżna, to
a

+"
1. dla dowolnego A > a całka fdx całka jest zbieżna,
A

+"
2. limA" A fdx = 0.

+"
sin x
Ćwiczenie" 24.4. ([K], 9.64) Zbadać zbieżność całki dx.
0 x
Ćwiczenie 24.5. Zbadać zbieżność całek niewłaściwych
Ä„
2
+" 1
dx
" 2
1. xe-x dx, 4. ,
6. tg xdx,
0 0 x
e -1 0

+"
dx
2. ,
e2 x ln ln x
"


1
1 x 1 x
dx
"
" 7. dx.
3. dx, 5. ,
0
0 0 ex-cos x
1-x2
1-x4
25 Całki niewłaściwe i kryterium całkowe zbieżności szeregów
Ćwiczenie 25.1. Zbadać zbieżność całek niewłaściwych

3 2 1
x x4
" " "xdx
1. dx, 4. dx, 7. .
2 1 0
x2-4 x2-1 1-x5


2
1 1
dx
"
2. dx, "
5. ,
1
0
x2-1
1-x3


5
x2
1
dx
"
3. dx, "
6. ,
3
0
(x-3)(5-x)
1-x4
Ćwiczenie 25.2. ([K], 9.66) Udowodnić, że założenie o monotoniczności funkcji f w kryterium cał-
kowym zbieżności szeregów ([K], tw.9.65) jest istotne.
Ćwiczenie 25.3. ([K], 9.67) Zbadać zbieżność szeregów
" 1
1. ,
n=2
n(ln n)s
"
1
2. ,
n=3
n(ln n)(ln ln s)s
" 1
3. ,
n=1
nÄ…
w zależności od s, ą " R.
Ćwiczenie 25.4. Niech f : [0, ") [0, ") będzie funkcją ciągłą. Jeżeli

n2

1 k
A = lim f ,
n"
n n
k=1
to

"
f(x)dx = A.
0
Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne?
16
26 Miara Jordana
Ćwiczenie 26.1. ([K], 11.4) Udowodnić, że dowolny zbiór D ‚" R2 jest mierzalny i ma miarÄ™ Jor-
dana zero wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego > 0 istnieje skończona ilość kostek P1, . . . , Pk
pokrywających D, takich, że
|P1| + · · · + |Pk| < µ
1
Ćwiczenie 26.2. ([K], 11.6) Czy zbiór D = {n : n " N} jest mierzalny?
Ćwiczenie 26.3. ([K], 11.7) Obliczyć miarę Jordana koła KR = {(x, y) " R2 : x2 + y2 R2}.
Ćwiczenie 26.4. Obliczyć miarę Jordana zbiorów
y2
x2
1. {(x, y) " R2 : + 1, a > 0, b > 0},
a2 b2
2. zbioru ograniczonego zawartego między parabolami y = x2 oraz y2 = x,
3. zbioru ograniczonego zawartego między parabolą y = 2x - x2 i prostą x + y = 0,
4. zbioru ograniczonego zawartego między hiperbolą xy = 4 i prostą x + y = 5,
2x4+4x2+x+1
5. zbioru zawartego między wykresem funkcji f(x) = , a jej asymptotą.
x4+2x2+1
Ćwiczenie 26.5. Niech g : [a, b] R będzie dowolną funkcją niedodatnią. Połóżmy Eg = {(x, y) "
R2 : a x b, g(x) y 0}. Jeżeli g jest całkowalna w sensie Riemanna, to zbiór Eg jest mierzalny

b
w sensie Jordana i m(Eg) = - f(x)dx.
a
27 Długość krzywej
Ćwiczenie 27.1. ([K], 11.10) Udowodnić, że
1. krzywa Å‚ : [0, 2Ä„] R2, Å‚(t) = (R cos t, R sin t) jest krzywÄ… Jordana.
2. obrazem ł jest okrąg o środku w zerze i promieniu R, tzn. ł([0, 2Ą]) = SR, gdzie SR = {(x, y) "
R2 : x2 + y2 = R2}.
Ćwiczenie 27.2. Wyznaczyć długość odcinka w R i w R2.
Ćwiczenie 27.3. ([K], 11.14) Podać przkład krzywej nieprostowalnej.
1 1
Wskazówka. Zdefiniować krzywą łamaną tak, by kolejne odcinki tej łamanej miały długość 1, , , . . .
2 3
Ćwiczenie 27.4. ([K], 11.15) Podać wzór na długość krzywej zadanej na płaszczyz
nie wzorem Å‚(x) =
(x, f(x)), x " [a, b], gdzie funkcja f jest klasy C1 Jest to długość krzywej będącej wykresem funkcji f.
Ćwiczenie 27.5. Obliczyć długości krzywych
1. y = x2, x " [0, 3],
1 1
2. y = x2 - ln x, x " [1, e],
4 2
"
"
3. y = x - x2 + arc sin x, x " [0, 1].
17
28 Kolokwium
29 Twierdzenie Weierstrassa. Twierdzenie Arzeli-Ascoliego
Ćwiczenie 29.1. ([K], 11.17) Udowodnić, że dla dowolnego R > 0 istnieje ciąg wielomianów (Wn)n"N
zbieżny jednostajnie do funkcji f(x) = |x| w przedziale [-R, R] taki, że Wn(0) = 0, dla n " N.
1
Ćwiczenie 29.2. ([K], 11.18) Udowodnić, że funkcja ograniczona i ciągła f(x) = sin , x " (0, 1),
x
określona w przedziale otwartym, nie jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu wielomianów.
Ćwiczenie 29.3. Niech f : [a, b] R będzie funkcją ciągłą, taką że

b
xkf(x)dx = 0
a
dla k = 0, 1, 2, . . . Pokazać, że f(x) = 0 dla x " [a, b].
Ćwiczenie" 29.4. ([K], 11.19) Udowodnić, że każda funkcja ciągła f : [a, b] R jest granicą jedno-
stajnie zbieżnego ciągu łamanych, tzn. funkcji, które są ciągłe i kawałkami liniowe.
Ćwiczenie 29.5. Podać przykłady, że w twierdzeniu Arzeli-Ascoliego nie można opuścić żadnego z
założeń.
Ćwiczenie 29.6. Jeżeli ciąg funkcyjny (fn)n"N jest zbieżny na przedziale ograniczonym P i tworzy
rodzinę jednakowo ciągłą, to jest ciągiem jednostajnie zbieżnym na P .
Ćwiczenie 29.7. Jeżeli ciąg funkcyjny (fn)n"N na przedziale ograniczonym P tworzy rodzinę wspólnie
ograniczoną i z każdego jego podciągu można wybrać podciąg jednostajnie zbiezny, to ciąg ten tworzy
rodzinę jednakowo ciągłą.
30 Szeregi Fouriera
Ćwiczenie 30.1. ([K], 11.29) Rozwinąć następujące funkcje w szeregi Fouriera w przedziale [-Ą, Ą] :
x
1. f(x) = ,
2
2. f(x) = |x|,
3. f(x) = | sin x|.
Ćwiczenie 30.2. ([K], 11.30) Udowodnić, że dla funkcji f całkowalnej w przedziale [-Ą, Ą]
1. jeśli funkcja f jest nieparzysta, to współczynniki Fouriera przy cos nx znikają,
2. jeśli funkcja f jest parzysta, to współczynniki Fouriera przy sin nx znikają.
Ćwiczenie 30.3. Wyprowadzić wzór Leibniza
"

1 Ä„
(-1)n =
2n + 1 4
n=0
i Eulera
"

1 Ä„2
= .
n2 6
n=1
18
Literatura
[B] J. Banaś, S. Wędrychowicz Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa 1997.
[D] B. P. Demidowicz Zbiór zadań i ćwiczeń z analizy matematycznej, Nauka, Moskwa 1977, (w języku
rosyjskim).
[F] G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2, 3, PWN, Warszawa 1962.
[K] T. Krasiński Analiza matematyczna, WUA
, A
ódz
2001.
[Ki] K. Kuratowski Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1973.
[L] F. Leja Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1969.
[S] W. Sierpiński Działania nieskończone, Spółdzielnia Wydawnicza  Czytelnik , 1948.
19