I. ELEMENTY TEORII MODELOWANIA
1. WST
P
Słowo "model" powstało z łacińskiego słowa "modus" - "modulus", co znaczy: miara,
obraz, sposób. Jego pierwotne znaczenie było związane z budownictwem i używano go dla
oznaczenia wzorca, lub przedmiotu podobnego do innego przedmiotu [14,26] .
Poglądowe obrazy rzeczywistości, hipotetycznie odtwarzające rozmaite obiekty,
zjawiska i sytuacje istniejące w realnym świecie, towarzyszyły badaczom od dawna. W ciągu
ostatnich dwóch wieków, modelowanie stało się podstawą badania systemów w matematyce,
fizyce, chemii, biologii, ekonomii i in. W ostatnim półwieczu modelowanie jest szeroko
wykorzystywane również w cybernetyce oraz w analizie dynamicznej maszyn [11,12,23, 43].
Opisywane w literaturze procedury badań naukowych i ich weryfikacji na drodze
eksperymentu wykazują, że terminu "model" używa się w dwóch różnych znaczeniach, a
mianowicie [43]:
- dla oznaczenia teorii, która jest strukturalnie podobna do innej, co umożliwia
przechodzenie od jednej teorii do innej za pomocą zwykłej zmiany terminologii; w tym
znaczeniu model jest środkiem poznania;
- dla oznaczenia systemu, do którego odnosi się pewna teoria praktyczna lub teoretyczna
dla uproszczonego odzwierciedlenia badanego systemu naturalnego; taki model jest
przedmiotem poznania.
Model jest realnie istniejącym lub wyobrażonym obrazem, zastępującym badany
system naturalny (atom, cząsteczkę, mechanizm, system słoneczny itp.). Ten obraz
odzwierciedla pewne, rzeczywiste lub hipotetyczne własności badanego systemu, jego
budowę i jest do niego podobny pod względem wybranych przez badacza osobliwości
strukturalnych. Elementy i relacje zachodzÄ…ce w modelowanym systemie sÄ… odzwierciedlone
w postaci innych elementów i relacji, typowych dla danej dziedziny badań.
Model jest zatem z założenia pewną idealizacją lub uproszczeniem rzeczywistości.
Sam charakter i stopień uproszczenia zależy od wiedzy, potrzeb i świadomości badacza i
może się zmieniać w zależności od celu badań. Wspólną dla teorii i modelu jest właściwość
odnoszenia się do rzeczywistości, postrzeganej w uproszczonej, abstrakcyjnej formie.
Opis sformalizowany, w którym są dokładnie ustalone: skład, struktura, elementy
wejściowe i reguły przekształcania stają się synonimem ilościowego zapisu, badanego
systemu naturalnego. Jeżeli uda się utożsamić opis sformalizowany z doświadczalnie
potwierdzoną rzeczywistością, to otrzymujemy model logiczno - matematyczny, lub po prostu
model matematyczny, który odzwierciedla badany obiekt, zjawisko lub sytuację. W naukach
technicznych i ekonomicznych taki model bywa coraz częściej wykorzystywany do
komputerowego symulowania funkcjonowania systemu, którego odzwierciedla dany model.
W procesie poznania poszukuje nowych praw, przechodzÄ…c od hipotez do teorii,
wykorzystując przy tym wiedzę, doświadczenie, intuicję oraz fantazję naukową. Modele
buduje się i stosuje głównie wtedy, kiedy poznanie zmierzające od hipotezy do
sformułowania teorii nie ogranicza się do zbierania i opisywania poszczegó1nych
izolowanych faktów, lecz uwzględnia również przemyślany i dobrze zaprogramowany
eksperyment.
Jedna z definicji mówi, że: model jest to taki dający się pomyśleć lub materialnie
zrealizować układ, który odzwierciedlając lub odtwarzając przedmiot badania, zdolny jest
zastępować go tak, że jego badanie dostarcza nam nowej informacji o tym przedmiocie.
Inna definicja mówi, że: model jest zastępującą oryginał, przyjętą formą reprezentacji,
wykorzystywaną do wyjaśnienia i przewidywania zachowania się oryginału w sposób
adekwatny z punktu widzenia celu rozważań.
Wspó1ną cechą wszelkiego rodzaju modeli jest ich zdolność odzwierciedlania
systemów naturalnych. Istota modelowania zasadza się na relacji równoważności między
systemem a modelem. W metodyce modelowania rozróżnia się dwa podstawowe sposoby
odzwierciedlenia: homomorficzne i izomorficzne. Homomorfizm zapewnia podobieństwo
składu i struktury modelu i systemu modelowanego, które pozwala na jednoznaczne
odwzorowanie systemu badanego w model, podobny do niego pod względem działania.
Izomorfizm zaś gwarantuje wzajemnie jednoznaczne podobieństwo składu i struktury
modelu i systemu. Oznacza to, że na podstawie systemu można zbudować model, a na
podstawie modelu można odtworzyć system. Takie podobieństwo odniesione do sposobu
działania modelu i systemu modelowanego nazywa się izofunkcjonalizmem [26].
2. KLASYFIKACJA MODELI
W każdej działalności człowieka, szczególnie w projektowaniu, wytwarzaniu i
eksploatacji wykorzystuje się modele. Istnieje wiele definicji modeli. Oto niektóre z nich:
1) przez model rozumie się taki dający się pomyśleć lub materialnie zrealizować układ,
który odzwierciedlając lub odtwarzając przedmiot badania zdolny jest zastępować go
tak, ze jego badanie dostarcza nam nowej wiedzy o tym przedmiocie [17];
2) model jest to narzędzie za pomocą którego można opisać system i jego zachowanie się
w różnych warunkach zewnętrznych [5];
3) model jest teoretycznym opisem badania obiektów, który charakteryzuje się
następującymi cechami, tzn. jest [6]:
- pewnym uproszczeniem rzeczywistości;
- w sensie pewnego kryterium zbieżny z rzeczywistością;
- na tyle prosty, że możliwa jest jego analiza dostępnymi metodami obliczeniowymi;
- z
ródłem informacji o obiekcie badań.
BudowÄ… modeli zajmuje siÄ™ dyscyplina nauki nazywana identyfikacja [5,6].
Klasyfikacja modeli pozwala ustalić, jak sposób modelowania zależy od celu badań i
specyfiki badanego systemu. Klasyfikacja jest podstawą do określenia zasadniczych funkcji
spełnianych przez modele, a mianowicie:
- funkcji praktycznej, którą spełniają modele jako przedmioty poznania naukowego;
- funkcji teoretycznej, którą modele pełnią jako szczególny obraz rzeczywistości,
jednoczący elementy logiczne i intuicyjne, konkretne i abstrakcyjne oraz ogó1ne i
szczegółowe.
Przystępując do tworzenia modelu należy:
- określić cel modelowania, związane z tym wymagania i środki użyte do budowy modelu;
- ustalić jaki segment, jakiego systemu, ma odzwierciedlać model.
Podjęte decyzje są podstawą dla ustalenia postaci modelu, a w rezultacie dla określenia jego
klasy. Proponuje się wyróżniać dwie główne klasy modeli:
1. modele strukturalne, które odzwierciedlają wybrane elementy systemu oraz relacje
między nimi; takie modele ukazują lokalizację geometryczną elementów oraz ich powiązania
i służą do badania poprawności konstrukcji; mają one na ogół postać rysunków złożeniowych
lub schematów organizacyjnych;
2. modele funkcjonalne, które odzwierciedlają wpływ wybranych elementów i relacji na
sposób funkcjonowania i sterowania systemu; te modele mogą przybierać różne postacie,
niekiedy zupełnie innej natury fizycznej niż modelowany system.
Z praktycznego punktu widzenia, bardziej przydatny jest drugi rodzaj klasyfikacji.
Przynależność do danej klasy zależy od środków wykorzystanych do budowy modelu, przy
uwzględnieniu sposobu odzwierciedlenia wybranych własności, procesów i zwiqzk6w
zachodzących w modelowanym systemie oraz celu badań, któremu jest podporządkowany
charakter poszukiwanych informacji. Według takich kryteriów, modele można podzielić na
cztery klasy:
1. modele materialne (działające, rzeczywiste), mogą być utworzone, specjalnie w celu
wykonania badań, z istniejących obiektów o określonym przeznaczeniu użytkowym, przy
zachowaniu ich fizycznej tożsamości z oryginałem. Podczas funkcjonowania, w wybranym
segmencie własności, procesów i związków, generują one informacje poszukiwane przez
badacza, a po zakończeniu badań mogą być nadal wykorzystywane zgodnie z ich
przeznaczeniem.
2. modele idealne, które nie posiadają tej samej co badany system natury fizycznej i nie są do
niego podobne ani w sensie fizycznym, ani geometrycznym. Nazwa tych modeli nie wyraża
ściśle ich charakteru i wynika z istniejącej tradycji. Jako szczególny rodzaj takiego modelu
idealnego można wyróżnić model cybernetyczny. Jednak model cybernetyczny jest zbyt
skomplikowany aby stanowić przedmiot bezpośredniego poznania, może jednak stanowić
podstawÄ™ do utworzenia innego, bardziej uproszczonego modelu idealnego.
3. modele sformalizowane, które są reprezentacją modeli fizycznych na jeszcze wyższym
poziomie abstrakcji. Taką reprezentację można utworzyć wtedy, gdy pojęcia występujące w
modelu fizycznym dadzą się wyrazić za pomocą znaków i relacji matematycznych lub
logicznych. Cechą modelu sformalizowanego jest zatem kompletny brak podobieństwa
między elementami i relacjami, z których go zbudowano, a składem i strukturą
modelowanego systemu. Model jest umowny a nie poglądowy i nie ma nic wspólnego z
charakterem elementów i relacji tworzących modelowany system [26].
Rozwój matematyki i fizyki przyczynił się do tego, że w naukach ścisłych i
technicznych, modele sformalizowane, zwane po prostu modelami matematycznymi,
stanowiÄ… najbardziej reprezentatywnÄ… grupÄ™ modeli abstrakcyjnych. SÄ… one zapisywane w
postaci równań różniczkowych, całkowych, deterministycznych lub probabilistycznych.
Modelowanie matematyczne pozwala wnikać w istotę badanych systemów i udostępnia
szczegółowemu badaniu wiele własności, procesów i związków, które dotąd wymykały się
analizie. Badanie modeli matematycznych umożliwia uzyskanie wartościowych informacji o
systemach technicznych, niezbędnych m.in. do ich projektowania, wytwarzania i eksploatacji.
4. modele energetyczne są od niedawna uwzględniane jako oddzielna klasa ze względu na
"tworzywo", z którego są budowane. Taki model jest budowany w oparciu o przemiany
energetyczne zachodzące w systemie. Z uwagi na duże możliwości i niski koszt, modele
energetyczne są coraz powszechniej stosowane, zwłaszcza w naukach ścisłych i technice.
Rozwój komputeryzacji prac badawczych spowodował znaczne zwiększenie możliwości
technik obliczeniowych. Pozwala to na badanie dużych modeli energetycznych oraz
komputerową symulację funkcjonujących systemów.
3. MODEL BLOKOWY
Schematy blokowe, mające na celu przedstawienie kolejności zdarzeń lub wzajemne
ich powiązania, mają ważne zastosowanie zarówno w dziedzinie techniki jak i organizacji.
Przy pracy na modelu fizycznym lub matematycznym skomplikowanego układu często
wygodnie jest uwidocznić za pomocą schematu blokowego zależności i związki między
podukładami stanowiącymi składowe rozważanego systemu. Umożliwiają one łatwiejszy opis
działania układu, uwydatniają kolejność przyczyn i skutków, wskazując na możliwość
podziału analizy układu między podukłady studiowane oddzielnie [20].
Analiza dynamiczna w ujęciu schematów blokowych i ich modeli matematycznych w
końcowej fazie musi być skumulowana, zespalając modele matematyczne dla potrzeb oceny
własności dynamicznych całego układu.
Podstawą do tworzenia szczegółowych modeli blokowych obiektów rzeczywistych
jest model cybernetyczny, przedstawiony schematycznie na rys.1.1, umożliwiający analizę
zmian zachodzÄ…cych w systemie.
 U(t) ZMIANY STANU Y(t)
DYNAMICZNEGO
BADANEGO OBIEKTU
S(t)
Rys.1.1 Model cybernetyczny systemu
W badaniach systemów technicznych w czasie "krótkim", wielkości opisujące skład i
strukturę, zapisane symbolem S, traktuje się na ogół jako parametry, które podczas badań,
pozostają stałe. Iloczyny kartezjańskie, które występują w opisie modelu cybernetycznego są
uporządkowanymi zbiorami n-tek (par, trójek itd.), reprezentujących zdarzenia zachodzące w
systemie. Kolejne przejścia od jednego do następnego zdarzenia, tworzą transformacje. W
modelu są to transformacje wielkości fizycznych, które odzwierciedlają zmiany w czasie
własności procesów i związków zachodzących w systemie.
Z modelu cybernetycznego (rys.2) można wyprowadzić następujące uproszczone
relacje odwzorowania:
G(t) : U(t) x S X(t) (1)
Åš(t) : U(t) x S Y(t) (2)
F(t) : X(t) x S Y(t) (3)
Relacja (1) reprezentuje ogó1ną notację modelu cybernetycznego typu "wejście - stan",
natomiast relacje (2) i (3) reprezentują ogó1ne notacje modeli typu "wejście - wyjście" oraz
"stan-wyjście".
W modelu cybernetycznym systemu technicznego wielkości fizyczne, które
charakteryzują wejście, stan i wyjście, są opisane za pomocą zmiennych, które najczęściej są
liniowo niezależnymi funkcjami czasu. Argument funkcji t"T, reprezentuje oś czasu
"krótkiego", w przedziale T. Dla celów badań empirycznych oraz niekiedy - teoretycznych
(np. w badaniach modeli układów automatycznej regulacji) te zmienne dzieli się na trzy
zbiory, a mianowicie:
1). zmienne wejściowe: u1(t), u2(t), ..., uN(t)  przedstawiające wymuszenia na wejściu
modelu systemu, zapewniajÄ…ce jego funkcjonowanie;
2). zmienne wewnętrzne: x1(t), x2(t), ..., xn(t) - za pomocą których można opisać badane
stany lub własności systemu;
3). zmienne wyjściowe: y1(t), y2(t), ..., yp(t) - opisujące objawy funkcjonowania na wyjściu
modelu systemu.
Podczas funkcjonowania systemu wewnętrzne z
ródła zaburzeń o skończonej
wydajności, wytwarzają reakcje systemu, które ujawniają się, między innymi, w postaci
zmian stanu w czasie. Ten stan można zapisać za pomocą wektora, którego współrzędnymi są
zmienne wewnętrzne modelu. Skończony zbiór wszystkich możliwych stanów tworzy
przestrzeń stanów badanego systemu. Równocześnie, zmiany stanu wewnętrznego powodują,
że na wyjściu modelu pojawiają się zewnętrzne objawy funkcjonowania systemu, które
można zapisać w postaci wektora i przestrzeni wyjścia modelu cybernetycznego. Wzięte
razem zmienne wejściowe, wewnętrzne oraz wyjściowe całkowicie opisują badany system
i tworzą zbiór zmiennych modelu.
Związek przyczynowo-skutkowy pomiędzy wejściem, stanem i wyjściem,
uwzględniony w modelu cybernetycznym, można przedstawić w postaci:
G (t) [ u (t), s ] = x (t) (4)
Åš
Åš (t) [ u (t), s ] = y (t) (5)
Åš
Åš
F (t) [ x (t), s ] = y (t) (6)
Relacje (4), (5) i (6) reprezentują różne postacie modelu cybernetycznego. Każda z nich może
być podstawą do utworzenia modelu fizycznego i matematycznego, badanego systemu
technicznego. Relacja (5) określa zależność wejścia od wyjścia i jest typowym zadaniem
dotyczącym badania "czarnej skrzynki", natomiast relacja (6) przedstawia ogólną postać
zadania diagnostycznego.
Związek przyczynowo-skutkowy, który istnieje pomiędzy wejściem oraz stanami i
wyjściem powoduje, ze dla celów modelowania matematycznego, a także dla identyfikacji i
symulacji systemów technicznych, wielkości stanu i wyjścia modelu cybernetycznego są
traktowane łącznie jako jedna kategoria. W takim przypadku, stany i wyjście są reakcją
systemu na wymuszenia wejściowe; ta reakcja bywa niekiedy nazywana ogólnie stanem.
4. ZASADY MODELOWANIA MATEMATYCZNEGO
Model fizyczny
Skład i struktura modelu fizycznego odzwierciedla w uproszczonej formie fragmenty
składu i struktury systemu, uwzględnione w modelu cybernetycznym i należące do badanego
segmentu systemu. Model cybernetyczny systemu jest opisywany przez szereg zmiennych,
znanych i nieznanych. W rezultacie wyboru badanego segmentu systemu oraz uproszczeń
dokonanych przez badacza, liczba zmiennych, i co za tym idzie reguł interakcji w modelu
fizycznym, zostaje ograniczona. To ograniczenie może być dokonane poprzez [2,17]:
1. pomijanie niektórych zmiennych i reguł interakcji. W badaniach systemów naturalnych
wpływ pewnych zmiennych i ich wzajemnej zależności jest bardziej znaczący, niż innych.
Zakładając, że te drugorzędne czynniki w niewielkim stopniu wpływają na funkcjonowanie
systemu w badanym segmencie, można je pominąć w ostatecznej wersji modelu fizycznego.
2. zastępowanie kilku zmiennych deterministycznych przez jedną zmienną losową. W
pierwszym etapie modelowania przyjmuje się model, w którym reguły interakcji są
deterministyczne, a następnie wprowadza się czynnik losowy.
3. uogó1nienie zakresu jednej lub kilku zmiennych. W opisie modelu fizycznego uwzględnia
się wartość zmiennej dla pewnej chwili oraz zakres określony przez zbiór wszystkich wartości
jakie ta zmienna maże przyjmować.
4. grupowanie elementów modelu cybernetycznego w zbiory i opis każdego zbioru przez
jedną zmienną uogólnioną. Oznacza to, że zmienne modelu fizycznego będą określać pewne
zbiory elementów modelu cybernetycznego. Zakresy tych zmiennych są na ogół mniejsze niż
zakresy podstawowych zmiennych opisowych.
WykorzystujÄ…c prawa fizyki oraz zasady modelowania te zmienne oraz elementy
składu i struktury należy zestawić w relacjach matematycznych, które uwzględnią reguły
interakcji. W ten sposób można utworzyć sformalizowany opis modelu fizycznego, który jest
ilościową reprezentacją:
1). własności, procesów i związków uwzględnionych w modelu cybernetycznym, należących
do badanego segmentu systemu;
2). fragmentów składu i struktury systemu odpowiedzialnych za ich realizację.
Utworzenie modelu fizycznego systemu technicznego wymaga gruntownej
znajomości jego funkcjonowania, bez względu na to, czy system istnieje w postaci
materialnej, czy też jest tylko produktem wyobraz
ni twórcy. Model fizyczny jest abstrakcyjną
modyfikacją modelu cybernetycznego, która odzwierciedla system tylko w badanym
segmencie. Opis sformalizowany zawsze dotyczy takiego modelu fizycznego.
Model matematyczny
Zmienność w czasie obserwowanych w naturze zjawisk, obiektów i sytuacji jest
obecnie powszechnie akceptowana. Konsekwencją tego jest dynamika systemów, która
ujawnia się w postaci zmienności ich własności, składu i struktury oraz zachodzących w nich
procesów i związków. Oznacza to, że zmienne występujące w modelach tych systemów, są
zależne od czasu. Ta zależność ma na ogół postać funkcji, w których czas jest zmienną
niezależną. Określenie czasu jako zmiennej niezależnej nie ma nic wspó1nego z fizycznymi
przyczynami lub skutkami zmiennych zależnych, ale jest pożądane dla odzwierciedlenia
dynamiki modelowanego systemu.
Sposób odzwierciedlenia dynamiki w modelu matematycznym zależy od fizycznego
charakteru własności procesów i związków zachodzących w modelowanym segmencie.
Dynamiczny model matematyczny pozwala badać zachowanie systemu, zarówno w stanie
równowagi jak i po zadziałaniu jakiegoś zaburzenia, np. wymuszenia na wejściu, które
spowoduje, że system przejdzie do innego stanu równowagi. Model dynamiczny, jako
odzwierciedlenie systemu technicznego, jest szczegó1nie użyteczny, gdy badania dotyczą:
1). stabilności,
2). procesów przejsciowych, takich jak np. rozruch czy zatrzymanie,
3). niestabilności, będącej rezultatem zmian struktury systemu, a nie wymuszeń na wejściu.
W większości przypadków uwzględnienie dynamiki systemu w opisie
sformalizowanym jest konieczne dla zachowania wymaganej prawdziwości modelu
matematycznego. Jednak w pewnych okolicznościach dynamika może zostać pominięta.
Utworzony wtedy model statyczny jest uproszczeniem, które jest dopuszczalne pod
warunkiem, ze badacz pragnie prześledzić tylko pewne stany równowagi, osiągane w
specyficznych warunkach.
Czasoprzestrzeń, w której istnieją i funkcjonują systemy naturalne może być
modelowana w sposób ciągły lub dyskretny. Czas, który jest zmienną niezależną w funkcjach
stanu, wejścia i wyjścia, jest wielkością ciągłą z natury. Tym niemniej, w modelach
matematycznych systemów dynamicznych, czas może być przedstawiony w sposób ciągły lub
dyskretny. Pojęcie "ciągły" oznacza, że wspomniane funkcje są określone w każdej chwili, w
każdym punkcie na osi czasu. Pojęcie "dyskretny" odnosi się do zbiorów wartości
określonych tylko dla pewnych chwil. Konsekwencją tego jest pewna skończona odległość na
osi czasu, między różnymi elementami zbiorów stanu, wejścia lub wyjścia.
Modelami matematycznymi systemów dyskretnych i ciągłych są najczęściej układy
równań. Własności, procesy i związki, które zostały odzwierciedlone w modelu fizycznym, są
zapisywane w tych równaniach w postaci zależności matematycznych. Najprostszą
zależnością jest proporcjonalność, która da się zapisać w postaci funkcji liniowej. Obrazem
funkcji f(t) w układzie prostokątnych współrzędnych kartezjańskich jest linia prosta. Ogó1nie
biorąc można stwierdzić, że jeżeli sformalizowany opis modelu fizycznego jest utworzony z
funkcji liniowych, to uzyskany model matematyczny jest także liniowy.
Liniowość pozwala na utworzenie modelu matematycznego w postaci układu równań
liniowych (algebraicznych lub różniczkowych), zapewnia możliwość wykonywania
podstawowych operacji algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie) oraz
pozwala na wybór elementu zerowego, przy wektorowym opisie wejścia, stanu lub wyjścia
systemu. Dlatego, model liniowy jest stosunkowo Å‚atwy do rozwiÄ…zania na drodze
analitycznej.
Złożoność badanych systemów powoduje jednak, że zapisanie zależności za pomocą
funkcji liniowych, przy równoczesnym zachowaniu wymaganego poziomu prawdziwości
modelu, jest często trudne lub wręcz niemożliwe. W konsekwencji model matematyczny musi
byt nieliniowy i jego rozwiązanie może nastręczać poważne trudności. Aby uzyskać
rozwiązanie i osiągnąć cel badań, konieczna jest wtedy linearyzacja modelu, polegająca na
zastępowaniu, zależności nieliniowych - liniowymi.
Zmienne opisowe modelu można sklasyfikować według dwóch kryteriów:
fizycznego i matematycznego.
Według kryterium fizycznego, można wyróżnić trzy grupy zmiennych, przy czym
dwie pierwsze grupy opisują własności, procesy i związki zachodzące w systemie, jego
dynamikę i wzajemne oddziaływanie systemu i środowiska. Te trzy grupy zmiennych to:
1. zmienne wejściowe opisujące wymuszenia działające na system; można je dodatkowo
podzielić na zmienne kontrolowane, zwane również decyzyjnymi, na które badacz ma wpływ
i niezależne od badacza zmienne sytuacyjne,
2. zmienne stanu i wyjścia; niezależnie od "lokalizacji" w modelu fizycznym, charakteryzują
one nieznane reakcje systemu (łącznie zwane niekiedy stanem), które interesują badacza ze
względu na cel badań,
3. zmienne pomocnicze, opisujące pośrednie zależności między zmiennymi wejściowymi
oraz reakcjami, a służą do uproszczenia zapisu zależności występujących w modelu.
Według kryterium matematycznego, zmienne opisowe modelu można podzielić na
dwie grupy, a mianowicie:
1. funkcje czasu Zr(t), bÄ…dz
innej zmiennej niezależnej, które w sensowny sposób
przyporządkowują każdemu zdarzeniu wielkość o ustalonej nazwie i reprezentują zmienne
wejścia, wyjścia i stanu. Mają one bezpośredni wpływ na zachowanie badanego segmentu
systemu; odpowiednio uporzÄ…dkowane w szereg, funkcje te tworzÄ… wektor:
z(t) = [z1(t), z2(t), ..., zr(t), ..., z“1(t)]T (7)
W zależności ad fizycznego charakteru modelowanego systemu i przyjętego sposobu opisu,
współrzędne zr(t), mogą być funkcjami zdeterminowanymi, probabilistycznymi lub
stochastycznymi. Do opisu sformalizowanego dynamicznych zmian wielkości fizycznych,
zachodzÄ…cych podczas funkcjonowania systemu, wykorzystuje siÄ™ pochodne po czasie
wektora z(t) lub jego współrzędnych zr(t);
2. parametry s¾, które sÄ… wielkoÅ›ciami odgrywajÄ…cymi szczegó1nÄ… rolÄ™ w sformalizowanym
opisie modelu fizycznego. Ich natura fizyczna czyni je zmiennymi, ale w danym modelu
matematycznym pozostają stałe. W badaniach systemów technicznych parametry te tworzą
zbiór wielkości, które opisują skład i strukturę badanego segmentu systemu. Można z tych
wielkości utworzyć wektor:
(8)
s = [ s1 , s ,..., s¾ ,..., s ]T
2 Åš
gdzie: ¾ = 1 ,2, ..., Åš - skoÅ„czony ciÄ…g indeksów.
Przytoczona klasyfikacja jest konsekwencjÄ… fizycznego charakteru modelowanego
segmentu i celu badań oraz uproszczeń poczynionych przy budowie modelu fizycznego.
ZakÅ‚adajÄ…c, że istnieje operator ¨(t), dla którego zmienne oraz parametry można
zapisać w postaci wektorów, to ogó1ną postać modelu matematycznego można przedstawić
jako zmodyfikowanÄ… formÄ™ w postaci:
2
dz(t) d z(t)
¨(t)[z(t), , , s,t] = 0 (9)
2
dt dt
Wyrażenie to przedstawia ogólną, różniczkową postać zapisu modelu matematycznego, który
jest odzwierciedleniem modelu fizycznego, badanego segmentu systemu technicznego.
W zależnoÅ›ci od postaci zmiennych opisowych, operatora ¨(t) oraz parametrów s¾,
model może być równaniem lub układem równań: algebraicznych, różniczkowych
zwyczajnych lub cząstkowych, pierwszego lub wyższego rzędu; może to być model
deterministyczny, losowy, stochastyczny, statyczny lub dynamiczny, dyskretny lub ciągły,
liniowy lub nieliniowy itd.
Użyteczny model matematyczny, powinien zapewniać[26]:
- istnienie i jednoznaczność rozwiązania równań, z których jest zbudowany,
- możliwość uzyskania wyników ilościowych,
- możliwość empirycznego porównania tych wyników z wielkościami wytwarzanymi przez
modelowany system.
Modele matematyczne, uzyskane w rezultacie omówionego procesu modelowania,
pozwalają rozwiązywać zadania analizy, identyfikacji i syntezy.
Zadania analizy polegają na wyznaczeniu zmiennych stanu i wyjścia modelu
fizycznego w zależności od zmiennych wejściowych. W praktyce są to zadania:
1). wyznaczania wartości i przebiegów charakterystyk, określających zachowanie
modelowanego systemu,
2). wyznaczania pewnych charakterystyk w funkcji parametrów lub zmiennych decyzyjnych,
3). badania stabilności i czułości modelu na zakłócenia; w rezultacie otrzymuje się informacje
o wpływie oddziaływania wybranych wielkości wejściowych na charakterystyki systemu,
4). ocena systemu, która polega na porównaniu rzeczywistych charakterystyk z postawionymi
wymaganiami,
5). badania poznawcze, mające na celu wykrycie nieznanych dotąd praw i zależności,
zachodzących pomiędzy oddziaływaniem środowiska i reakcją systemu.
Zadania identyfikacji polegają na wyznaczeniu takich parametrów i struktury modelu
matematycznego, które dla danych zmiennych wejściowych umożliwią otrzymanie
przebiegów zmiennych stanu i wyjścia takich samych jak te, które wytwarza system.
Informacje a rzeczywistych wielkościach wejścia, stanu i wyjścia badanego systemu uzyskuje
siÄ™ na drodze empirycznej.
Zadania syntezy polegają na wyznaczaniu optymalnych wartości parametrów i struktur
modelu matematycznego lub zmiennych decyzyjnych oraz na sterowaniu procesami
zachodzÄ…cymi w modelu. Zadania syntezy dostarczajÄ… informacji dla zaprojektowania
systemu technicznego, który będzie realizować zadanie eksploatacyjne w sposób optymalny.
Pewna grupa zadań syntezy zajmuje się sterowaniem procesami eksploatacji istniejących
systemów. Rezultatem rozwiązywania zadań należących do tej grupy są informacje, które
umożliwiają podejmowanie racjonalnych decyzji podczas sterowania systemu oraz
zapewniają optymalny sposób jego obsługiwania.
5. MODELE MATEMATYCZNE SYSTEMÓW TECHNICZNYCH
Wielkości charakteryzujące model fizyczny, wyrażone za pomocą znaków oraz
symboli matematycznych i zapisane w postaci odpowiednio sformułowanych warunków
równości lub nierówności, stanowią jego opis sformalizowany. Te warunki to są dane i
niewiadome zgodnie z prawami fizyki, które określają zachowanie systemu w wybranym do
badań segmencie.
Ogólnie biorąc, opis sformalizowany modelu fizycznego systemu mechanicznego,
polega na zapisaniu zgodnie prawami mechaniki, zależności które łączą przyspieszenia z
położeniami oraz z prędkościami uogólnionymi i równocześnie wiążą ruch systemu z
oddziaływaniami mechanicznymi, które gwarantują realizację tego ruchu.
Wielkości tworzące współrzędne uogólnione oraz ich pochodne, a także siły i
momenty są elementami podzbioru, który określa przestrzeń zmiennych w modelu fizycznym.
Ogólną postać modelu matematycznego takiego systemu można zapisać w postaci:
2 2
dq d q dÕ d Õ
¨(q, , ,Õ, , , P, R, M , M , s,t) = 0 (10)
P R
2 2
dt dt dt dt
W zależności od celu badań, model może zostać zapisany dla całego systemu lub dla
poszczególnych elementów. Może on odzwierciedlać system mechaniczny uwzględniając
statykę, kinematykę lub dynamikę własności, procesów lub związków. Dla odzwierciedlenia
statyki systemu, model (10) jest na ogół układem równań algebraicznych. Dla
odzwierciedlenia kinematyki i dynamiki potrzebne są równania różniczkowe pierwszego lub
drugiego rzędu, zwane równaniami ruchu.
Aby wyznaczyć stan badanego systemu, model musi się składać z tylu równań ruchu
ile jest niewiadomych; rozwiązywanie modelu polega na całkowaniu tych równań.
Rezultatem całkowania są funkcje czasu, które określają zmiany poszukiwanych wielkości.
Znając warunki początkowe lub brzegowe można wyznaczyć ich wartości.
Całkując równania (10) można rozwiązywać dwa typy zadań. Zadania, których celem
jest wyznaczenie głównego wektora oddziaływań dla danego ruchu systemu, noszą one miano
pierwszego zadania mechaniki. W tym zadaniu, poszukiwane siły i momenty są nieznanymi
zmiennymi. Dane są położenia i prędkości względem współrzędnych uogólnionych
elementów badanego systemu, które zostały uwzględnione w modelu fizycznym. Drugie
zadanie mechaniki dotyczy przypadków wyznaczania ruchu systemu, gdy dane są
oddziaływania. W tym zadaniu dane są siły i momenty, a poszukiwane położenia i prędkości
[20].
Zmienność w czasie jest jedną z najważniejszych własności, która określa dynamikę
systemów naturalnych. Istota dynamicznego zachowania polega na tym, że na wyjście i stan
systemu w chwili bieżącej, mają wpływ wielkości wejścia w chwilach wcześniejszych.
System "pamięta" to co dzieje się wcześniej. Na przykład, wzrost rośliny w danej chwili lub
przedziale czasu zależy od nasłonecznienia i opadów w okresie poprzedzającym obserwację.
Model matematyczny odzwierciedla tę zdolność do "magazynowania" energii lub informacji i
do ich "zwrotu" z pewnym opóz
nieniem.
Badanie systemów naturalnych (a w szczególności - technicznych), z uwzględnieniem
ich dynamiki, jest podstawowym zadaniem modelowania. Ze względów praktycznych, takie
systemy są najczęściej modelowane w ujęciu deterministycznym. Ta klasa matematycznych
modeli technicznych systemów dynamicznych, które potocznie są nazywane modelami
dynamicznymi, a także klasa modeli statycznych, które są specyficznym uproszczeniem
modeli dynamicznych, będzie tematem dalszych rozważań.
5.1 Modele dynamiczne
Zmienne uwzględnione w modelu fizycznym, tworzą zbiór zmiennych opisowych
modelu matematycznego. W rezultacie uproszczeń poczynionych przy przejściu od modelu
cybernetycznego do fizycznego, liczność tego podzbioru będzie mniejsza. Wektory wejścia,
stanu i wyjścia w modelu matematycznym będą utworzone ze znacznie mniejszej liczby
współrzędnych. Postulat kompletności modelu matematycznego wymaga aby te zmienne oraz
zbiory , do których one należą były dokładnie opisane [26].
Podział zmiennych opisowych modelu według kryterium fizycznego na: wejściowe,
stanu i wyjściowe, wynika nie tylko z kierunku przepływu strumieni materiałów czy energii.
W badaniach systemów dynamicznych ten podział jest konsekwencją: zdolności do
"magazynowania" energii lub informacji i do ich "zwrotu" z opóz
nieniem oraz zależności
przyczynowo-skutkowych własności, procesów i związków.
Postulat obserwowalności, który zapewnia możliwość weryfikacji modelu na
podstawie pomiarów wykonywanych na modelowanym systemie wymaga, aby zmienne
wyjściowe można było objaśniać, obserwować i mierzyć (np. w badaniach dynamiki
systemów technicznych można mierzyć siły, odkształcenia, przyspieszenia itp.).
Modele matematyczne dynamicznych systemów technicznych są tworzone przy
wykorzystaniu uznanych w fizyce praw lub zasad zachowania. Te prawa i zasady określają
reguły interakcji i są podstawą układania równań, które przedstawiają wzajemne zależności
zmiennych wejścia, stanu i wyjścia. Deterministyczny model matematyczny składa się na ogół
z układu równań i zawsze reprezentuje jedną lub kilka relacji odwzorowania wejścia, stanu i
wyjścia. Postulat użyteczności modelu wymaga aby istniało jednoznaczne rozwiązanie
takiego układu równań.
Postać równań jest zależna od celu modelowania, od składu i struktury modelu
fizycznego, od własności, procesów i związków, które zostały w nim odzwierciedlone, ale
również od przewidywanego sposobu ich rozwiązywania. Równania tworzące model mogą
być algebraiczne lub różniczkowe, zwyczajne lub cząstkowe, pierwszego lub wyższego rzędu,
zawierające funkcję niewiadomą jednej lub więcej zmiennych.
5.2 Modele statyczne
Zależność systemu od czasu nie przesądza o tym, że jego model będzie dynamiczny;
wystarczy uwzględnić zależności tylko między wielkościami uśrednionymi i w opisie
sformalizowanym czas może w ogó1e nie występować. Podstawiając pochodne zmiennych
niezależnych od czasu, równe zero równanie (8) można przekształcić do postaci
reprezentujÄ…cej model statyczny:
Ć { z , s } = 0 (11)
Modele statyczne wykorzystuje się do badań systemów o ciągłym, powolnym
przepływie materiałów i energii jak np.: funkcjonujące w cyklu rocznym systemy zbiorników
retencyjnych zasilane opadami i odprowadzajÄ…ce wodÄ™ do rzek, systemy produkcji masowej
itp. Modele statyczne dobrze odzwierciedlajÄ… systemy zmienne w czasie, ale pozostajÄ…ce w
równowadze, np. konstrukcje mechaniczne. Są one wykorzystywane w badaniach
operacyjnych, służących do podejmowania decyzji w systemach sieciowych, np.: obsługi
masowej, podziału ograniczonych zasobów, wyznaczania ścieżek krytycznych
przemieszczania się w sieci tak, aby koszty lub czas były minimalne. W modelach takich
systemów zamiast zmiennych wejścia i wyjścia stosuje się zazwyczaj zmienne decyzyjne i
funkcje celu.
5.3 Notacje modeli dynamicznych
Podstawą opisu stanu dynamicznego jest tworzenie możliwych typów modeli, a
mianowicie: "wejście - stan - wyjście", który jest równoważny typowi "wejście-reakcja" oraz
"wejście-stan", "wejście-wyjście" i "stan-wyjście". Ogólną notację modelu typu "wejście- stan
-wyjście" dla systemu dynamicznego, można uzyskać zapisując odpowiednio relację :
y(t) = È[u(t), x(t),t, s] (12)
W zależnoÅ›ci tej, È - jest macierzÄ…, niezależnÄ… od czasu, która reprezentuje odwzorowanie
współrzędnych wektora stanu i wejścia we współrzędne wektora wyjścia. W systemach
technicznych parametrami są wielkości opisujące skład i strukturę systemu takie, jak np.:
wymiary konstrukcyjne, współczynniki i wartości charakteryzujące zachodzące procesy itp.
Zakładając, że zależność od parametrów zostanie w sposób niejawny uwzględniona w
niezależnej od czasu macierzy Ès równanie to można zapisać w postaci:
y(t) = Ès [u(t),x(t)] (13)
W postaci skalarnej równanie to przedstawia układ równań, którego charakter jest zależny od
postaci macierzy Ès i współrzÄ™dnych wektorów.
Aby utworzyć model typu "wejście - stan", należy określić taki najmniejszy zbiór
zmiennych stanu, który w danej chwili t niesie całą informację o przeszłości systemu;
niezmiennikiem jest liczba elementów tego zbioru. Ogó1ną postać modelu "wejście - stan"
można przedstawić w postaci układu równań różniczkowych rzędu pierwszego:
dx(t)
= G[x(t),u(t),t, s] x(0) = x0 (14)
dt
gdzie: G - jest macierzą odwzorowania pochodnych współrzędnych wektora stanu we
współrzędne tego wektora oraz wektora wejścia.
Po prawej stronie równań nie występują pochodne po czasie zmiennych modelu. Mogą
natomiast występować pochodne tych zmiennych względem zmiennych przestrzennych.
Zakładając, że zależność od parametrów jest w sposób niejawny uwzględniona w
macierzy Gs układ równań (14) można uprościć do postaci:
dx(t)
= Gs[x(t),u(t)] x(0) = x0 (15)
dt
Ze względu na występowanie pochodnych (mogą to być również pochodne rzędu wyższego
niż pierwszy), układ równań (15) dobrze odzwierciedla dynamikę systemu. Jako całość,
układy równań (15) i (13) tworzą kompletny, deterministyczny model matematyczny
badanego systemu dynamicznego.
Model matematyczny typu "wejście - wyjście" zakłada, że system przekształca wektor
wejÅ›cia w wektor wyjÅ›cia. ZakÅ‚adajÄ…c, że operator Åš dziaÅ‚a jak funkcja Õ(.) niezależna od
czasu, model dla relacji "wejście - wyjście" można zapisać w postaci równania
różniczkowego, wektorowego:
du
Å„Å‚
Ć ,u(t) : t "[t0 ,t2 ], süÅ‚ = y(t) : t "[t1,t2 ], gdzie : t0 )#t1)#t2 (16)
òÅ‚ żł
dt
ół þÅ‚
Zgodnie z tym równaniem przebieg zmiennej wejściowej w przedziale czasu [t0, t2] ma
wpływ na przebieg zmiennej wyjściowej w przedziale czasu [t1, t2], przy czym chwila t0 jest
czasami dużo wcześniejsza od chwili t1 .
Zależność (16) zapisana za pomocą wielkości skalarnych, przyjmuje postać układu
równań różniczkowych, które poddaje się niekiedy przekształceniu Laplace'a, uzyskując ich
algebraiczną reprezentację, łatwiejszą do rozwiązania. Rezultat tego ma na ogół postać
transmitancji, która dobrze opisuje własności dynamiczne systemu.
Model ten można również badać w dziedzinie częstotliwości, wykorzystując
transformacjÄ™ Fouriera. RozwiÄ…zanie modelu przedstawia wtedy funkcjÄ™ transmitancji w
dziedzinie częstotliwości. Ta funkcja umożliwia wyznaczenie charakterystyk amplitudowych
i fazowych w funkcji częstotliwości, które dobrze opisują zachowanie systemu
dynamicznego.
Model "wejście - wyjście" jest wykorzystywany w badaniach systemów typu "czarna
skrzynka". Ten typ modelu może również być utworzony w postaci statycznej.
6. ZAA
OŻENIA DO BADAC
MODELI
Rzeczywiste układy mechaniczne to układy masowo  dyssypacyjno - sprężyste
opisywane za pomocą przemieszczeń, ich pochodnych związanych z odkształceniami oraz
wywołującymi je siłami. Wielkości opisujące są ze sobą sprzężone, są zmienne w czasie i
nazywane są w dynamice maszyn sygnałami. Sygnały przemieszczeń, prędkości i
przyspieszeń oraz działających sił mają charakter uogólniony, tzn. przemieszczenia są
zarówno translacyjne jak i rotacyjne, a siły są skupione i pary sił są reprezentowane przez ich
momenty.
Równania ruchu, opisujące drgania dyskretnego modelu fizycznego, mają w ogólnym
przypadku postać [20,26,36,54]:
. . . .. .. .. ..
Fk (q1, q2 ,..., qn , q1, q2 ,..., qi ,..., qn , q1, q2 ,..., qi ,..., qn , R1, R2 ,..., Ri ,...Rw ,t) = 0 (17)
gdzie: n - liczba stopni swobody, w  liczba więzów, t  czas, Rj  j-ta nieznana siła
. ..
uogólniona (reakcja), qi  i-te przemieszczenie, qi - i-ta prędkość uogólniona, qi - i-te
przyśpieszenie uogólnione.
Przy modelowaniu dynamicznych własności układów mechanicznych stosuje się
szereg uproszczeń w zakresie opisu i zasad budowy modeli fenomenologicznych.
W celu modyfikacji własności dynamicznych układów mechanicznych buduje się
modele strukturalne, które odzwierciedlają organizację wewnętrzną i zachowują własności
transformacyjne układu.
Każdy układ mechaniczny złożony jest z elementów: masowych (punkty materialne,
nieodkształcalne lub odkształcalne bryły), sprężystych (sprężyny) i tłumiących (np. tłumiki).
Mówi się więc o układach m, k, c (masowo  dyssypacyjno - sprężystych). Tylko w
uproszczeniu można mówić o modelu masowym, masowo-sprężystym lub masowo-
dyssypacyjnym. Każdy układ (model), posiadający własności sprężyste wytrącony z
położenia równowagi, będzie realizował ruch przemienny wokół położenia równowagi. Taki
ruch nazywamy drganiami mechanicznymi.
Drgania mechaniczne w zależności od: liczby stopni swobody układu, równania
(równań) opisującego ruch, sposobu wytrącenia z położenia równowagi (sposobu
wymuszenia), modelu układu, charakteru sygnału przemieszczeń i kierunku ruchu dzielimy
na [7,14,36,54]:
- drgania układów o jednym stopniu swobody, o wielu stopniach swobody - drgania układów
dyskretnych: o nieskończonej liczbie stopni swobody - drgania układów ciągłych;
- drgania liniowe; nieliniowe;
- drgania autonomiczne (swobodne); nie autonomiczne (wymuszone: zewnętrznie lub
wewnętrznie);
- drgania zachowawcze (bez tłumienia); nie zachowawcze (z dyssypacją energii; lub z
tłumieniem);
- drgania zdeterminowane; stochastyczne;
- drgania wzdłużne, poprzeczne, translacyjne, rotacyjne (giętne, skrętne), itp.
Kluczem do określenia dynamiki obiektów czyli drgań obiektów mechanicznych jest
zatem znajomość możliwych odpowiedzi układu dynamicznego, do którego można
zredukować badany obiekt.
6.1 Drgania translacyjne i skrętne
W praktycznych zastosowaniach na początku rozważań modelowane obiekty badań
przedstawiane są jako elementarne modele drgające o jednym stopniu swobody. Przykłady
takich układów z wymuszeniem siłowym lub momentowym przedstawiono na rys.1.2
[a).model o wymuszeniu siłowym, b). model o wymuszeniu momentowym].
Czy wnioski płynące z analizy drgań typu skrętnego są takie same jak dla drgań typu
translacyjnego?
Rys.1.2 Schematy modeli fizycznych o jednym stopniu swobody dla drgań translacyjnych a).
oraz dla drgań skrętnych b).
Stosując zasadę d Alemberta dla każdego z modeli otrzymuje się równania:
model translacyjny a). model skrętny b).
F + F = 0 M + M = 0
" "
i bezwl i sil bezwl
.
.. . ..
F(t) - kx - c x - m x = 0 M (t) - KÕ - CÕ- I Õ = 0
ostatecznie zaÅ›:
.. . .. .
m x+ c x+ kx = F(t) I Õ+ C Õ+ KÕ = M (t) (18)
Otrzymane równania, słuszne nie tylko dla układu o jednym stopniu swobody, są
identyczne, a więc wnioski płynące z analizy ich rozwiązań będą również identyczne.
6.2 Wymuszenie siłowe i kinematyczne
Dla tej samej ogólności rozważań rozpatrzmy wymuszenia siłowe i kinematyczne
przedstawione na rys.1.3. W pierwszym przypadku wymuszenie pochodzi od zadanej
zewnętrznej siły bądz
momentu, zaÅ› w drugim przypadku mamy zadany ruch na torze
(wymuszenie kinematyczne) [5].
Oba przypadki wymuszenia są modelowo równoważne, a zadane przemieszczenie z(t)
działając poprzez sprężynę k i tłumik c jest z
ródłem siły równoważnej F(t), przy czym
.
F(t) = kz + c z . Wiedząc o tym można dalsze rozważania ograniczyć do drgań translacyjnych
z wymuszeniem siłowym, a wnioski przenosić na dowolny ruch z dowolnym typem
wymuszenia.
Rys.1.3 Ilustracja równoważności wymuszenia siłowego a). i kinematycznego b) [5].
6.3 Wyznaczanie parametrów zastępczych
Podstawowe metody wyznaczania parametrów (cech) strukturalnych modeli układów
mechanicznych to metody identyfikacji; prostej dla układów prostych i złożonej dla układów o
wielu stopniach swobody.
W przypadku prostych układów mechanicznych, niekoniecznie o małej liczbie stopni
swobody, ale z łatwym podziałem na dyskretne elementy masowe, sprężyste i tłumiące
najbardziej efektywna jest metoda analityczna oparta na znajomości geometrii i własności
materiałowych elementów konstrukcyjnych układu.
Metoda analityczna zawiera się w kilku etapach. Najpierw dokonuje się myślowej
dyskretyzacji rzeczywistego układu mechanicznego. A
Ä…czy siÄ™ elementy w grupy o
zbliżonych cechach dominujących, np. o wyraz
nie przeważających cechach masowych nad
sprężystymi lub tłumiącymi. Elementy masowe traktuje się więc jako nieodkształcalne bryły
lub punkty materialne. Elementy bezmasowe ((sprężyste i tłumiące) najczęściej traktowane
jednocześnie jako sprężysto-tłumiące są ujmowane jako odkształcalne. Tak połączone
elementy w grupy przedstawia się tylko jednym elementem zwanym zastępczym lub
zredukowanym. Jest on reprezentowany tylko jednym parametrem zredukowanym, będącym
albo wprost parametrem strukturalnym, albo elementem pewnej kombinacji parametrów
zredukowanych.
Parametry zastępcze wyznacza się dla potrzeb analizy dynamiki układu, najczęściej
przy założeniu równoważności dynamicznej grupy elementów konstrukcyjnych i elementu
zastępczego. Równoważność dynamiczna oznacza równoważność energii ruchu elementów
układu rzeczywistego i elementów zastępczych, co oznacza ich równoważność energii
kinetycznej, potencjalnej i funkcji dyssypacji energii.
6.4 Wyznaczanie mas zastępczych
Rzeczywiste elementy masowe są w ogólności bryłami nieodkształcalnymi, więc ich
energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznej ruchu postępowego z prędkością Vs środka
masy oraz energii kinetycznej ruchu obrotowego dookoła osi chwilowego obrotu,
przechodzącej przez środek masy.
1 1
Ekz = miVi2 + JiÉi2 (19)
2 2
Zastępczymi elementami masowymi mogą być albo punkty materialne, albo bryły
doskonale sztywne. Zakłada się najczęściej, że punkty materialne wykonują ruch
prostoliniowy, a bryły ruch obrotowy dookoła stałej osi.
Dokonując redukcji masy korbowodu mechanizmu korbowo-tłokowego (rys.1.4) do
dwóch punktów A i B pokrywających się z osią sworznia wału korbowego O oraz z osią
sworznia tłokowego przyjmuje się oznaczenia:
- masa korbowodu mk,
- długość korbowodu lk,
- moment bezwładności Js względem osi przechodzącej przez środek masy S odległy od osi
A o a = A S oraz od osi B o b = B S, przy czym a + b = lk.
Rys.1.4 Schemat mechanizmu korbowo - tłokowego.
Równoważność dynamiczna energii zachodzić musi dla dowolnych wartości Vs ruchu
postÄ™powego oraz É ruchu obrotowego, a wiÄ™c również dla ich szczególnych wartoÅ›ci
równych niejednocześnie zeru. Wynikają stąd równania równoważności mas oraz
równoważności momentów bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy S:
mk = mA + mB dla É = 0 (20)
J = mAa2 + mBb2 dla VS = 0 (21)
S
a stąd wartości mas zastępczych mA i mB :
J - mkb2
S
mA = (22)
a2 - b2
J - mk a2
S
mB = (23)
b2 - a2
Warunek równoważności statycznej oznacza równoważność momentów statycznych
układu rzeczywistego i zastępczego:
mAa - mBb = 0 (24)
Spełnienie jednocześnie trzech warunków równoważności statycznej i dynamicznej
wymaga zastąpienia korbowodu trzema punktami materialnymi (A,S,B) i wówczas równania
równowagi są następujące:
mk = mA + mB + mS
J = mAa2 + mBb2 (25)
S
mAa - mBb = 0
Masy zastępcze w układzie tym przyjmują postać:
J J J
S S S
mA = ; mB = ; mS = mk - (26)
alk blk ab
6.5 Zastępcze sztywności modelowanych układów
Jeżeli w układzie występują różne elementy sprężyste, należy wówczas wyznaczyć
zastępczy współczynnik sprężystości. Można tu rozważyć dwa przypadki połączeń
sprężystych  połączenie równoległe i szeregowe. Zastępczy współczynnik sprężystości
wyznacza się z warunku równowagi energii potencjalnych.
Jak wynika z rys.1.5 energia potencjalna połączenia równoległego przy przesunięciu o
x wynosi:
1 1
EP = k1x2 + k2 x2 (27)
2 2
Rys.1.5 Połączenia sprężyste: równoległe a). i szeregowe b). oraz sztywność zastępcza.
Energia potencjalna układu zastępczego przy tym samym przesunięciu wynosi:
1
EP = kz x2 (28)
2
Po porównaniu tak opisanych energii otrzymuje się dla połączenia równoległego:
(29)
k = k1 + k
z 2
Dla połączeń szeregowych nadajemy przesunięcie x na końcu sprężyny o
współczynniku k2. Sprężyna o współczynniku sprężystości k1 zostanie odkształcona o z i
energia potencjalna obu sprężyn wynosi:
1 1
2
EP = k1z + k2 (x - z)2 (30)
2 2
Ponieważ w punkcie A jest równowaga dwóch sił: k1z = k2(x-z) , można wyznaczyć:
k2
z = x (31)
k1 + k2
Po podstawieniu (4.14) do (4.13) i przekształceniu otrzymuje się:
1 k1k2
EP = x2 (32)
2 k1 + k2
Porównując dalej (27) i (32) otrzymuje się zastępczy współczynnik sprężystości dla
połączenia szeregowego:
k1k2
kz = (33)
k1 + k2
6.6 Oszacowanie zastępczego tłumienia obiektu
Parametr ten jest niezbędny przy oszacowaniu amplitudy odpowiedzi rezonansowej
modelu bÄ…dz
szybkości zaniku drgań. Do jego wyznaczenia należy z eksperymentu
wyznaczyć logarytmiczny dekrement tłumienia ", bądz
stopieÅ„ tÅ‚umienia ¾ oraz czÄ™stość
wÅ‚asnÄ… É0, co czÄ™sto wykorzystuje siÄ™ do weryfikacji modelu.
 Realizacja eksperymentu testem impulsowym, polegajÄ…cym na uderzeniowym
wymuszeniu obiektu w punkcie spodziewanego działania wymuszenia i odbiorze odpowiedzi
w punkcie redukcji R. Jako wynik uzyskuje się obraz drgań zanikających, przedstawiony na
rys.1.6.
A1
" = ln = 2 ¾
A3
"=lnA1/A3=2 ¾
Rys.1.6 Ilustracja do wyznaczenia logarytmicznego dekrementu tłumienia " i zastępczego
tłumienia cz.
Wynikiem eksperymentu jest tu logarytmiczny dekrement tłumienia ", bądz
stopień
tÅ‚umienia ¾ oraz czÄ™stość wÅ‚asna É0, co sÅ‚uży do weryfikacji obliczeÅ„ i badanego modelu.
Drgania tłumione przedstawione na rys.4.5 są nieokresowe, jednak kolejne położenia
środkowe i kolejne wychylenia są osiągane po jednakowych odstępach czasu. Zatem, okres
drgań tłumionych można wyznaczyć z zależności:
2Ä„ 2Ä„
T1 = = (34)
2
É
É0 - n2
który jest większy od okresu drgań tłumionych:
2Ä„
T1*#T0 = (35)
É0
Dekrement logarytmiczny tłumienia, definiowany jako stosunek wartości dwóch
kolejnych maksymalnych amplitud, przyjęto za miarę tłumienia drgań:
x(t)
" = ln = nT1 (36)
x(t + T1)
Stopień tłumienia dla ułatwienia dalszej analizy można zapisać w postaci:
c h
¾ = = oraz c = ckr = 2 mk , gdy ¾ = 1 (37)
ckr É0
Dla rys. 1.6 można napisać:
c cz cz
¾ = = = (38)
ckr czkr
2 mzkz
W takim razie dekrement logarytmiczny tłumienia wynosi:
cz czĄ
" = 2Ä„¾ = 2Ä„ = (39)
2 mzkz mzkz
a z tego tłumienie zastępcze:
"
cz = mzkz (40)
Ä„
Znając zatem z eksperymentu dekrement logarytmiczny tłumienia " oraz z dalszych obliczeń
zastępczą masę i sztywność (mz, kz) można wyznaczyć wartość zastępczego tłumienia cz w
badanym modelu.
Zagadnienia modelowania są specyficzne dla różnych zastosowań, stąd w dalszej
części tej książki wielokrotnie przytaczane będą różne aspekty podziału i zasad modelowania,
co stanowi doskonałe uzupełnienie podanych wcześniej zasad i specyfiki modelowania.
7. PODSUMOWANIE
Modelowanie stanowi pierwszy etap formalnego ujęcia zagadnień związanych
zarówno z analizą działania jak i syntezą obiektów technicznych. Pozwala ono z określonym
przybliżeniem odtworzyć zasady organizacji i funkcjonowania obiektu, co dalej umożliwia
uzyskanie informacji o samym modelowanym obiekcie.
Celem modelowania jest uzyskanie wiarygodnego modelu matematycznego, który
umożliwia prześledzenie sposobów zachowania się obiektu w różnych warunkach. Przy
budowie modelu korzysta się głównie z praw i aksjomatów fizyki, wyrażających równowagę
sił, momentów, opisujących bilans sił, wydatków, przepływów, z równań ciągłości i z
zależności geometrycznych.
Każdy model fizyczny ma odpowiadający mu model matematyczny. Modelem
matematycznym obiektu mechanicznego jest najczęściej układ równań różniczkowych o
pochodnych cząstkowych, a także równania całkowe, które opierają się na bilansie
energetycznym, materiałowym lub równaniach procesów fizyko-chemicznych. Są one trudne
do rozwiązania zarówno analitycznego jak i przybliżonego (numerycznego). W modelach
dyskretnych układów występują równania różniczkowe zwyczajne i stąd też są one częściej
stosowane w praktyce. Rzeczywiste układy mechaniczne są z reguły nieliniowe, gdzie o
nieliniowości decydują własności reologiczne materiału, występowanie luzów, nieliniowy
charakter sił dyssypacyjnych i charakterystyk sprężystych elementów.
Ograniczone możliwości analizy nieliniowych równań różniczkowych skłaniają do
stosowania modeli liniowych lub wykorzystania procedur linearyzacji. Rozpatrywanie
układów jako liniowych ma sens z uwagi na to, że istnieje duża klasa obiektów
mechanicznych, które z dopuszczalną dla praktyki dokładnością mogą być reprezentowane
przez modele liniowe.
Istnieje wiele sposobów tworzenia modeli obiektów, w wyniku czego powstają różne
modele, wśród których wymienić należy: modele strukturalne, modele funkcjonalne oraz
modele badawcze (modele ideowe, modele analityczne).
Najogólniej podobieństwo między modelem a oryginałem może polegać na
podobieństwie strukturalnym, ukazującym wspólne cechy budowy wewnętrznej modelu i
obiektu, lub na podobieństwie funkcjonalnym, w którym istotna jest zbieżność ich
właściwości.
Zasadność działań związanych z budową i wykorzystaniem modeli zależy od ich
jakości, czym zajmuje się dyscyplina nauki nazywana identyfikacją, która może dotyczyć
zarówno budowy modeli obiektu jak i odtworzenia stanu badanego obiektu.
LITERATURA
1. Awrejcewicz J.: Drgania deterministyczne układów dyskretnych. WNT, Warszawa 1996.
2. Bendat J.S., Piersol A.G.: Metody analizy i pomiaru sygnałów losowych. PWN, Warszawa, 1996.
3. Bishop R.D., Gladwell G.M., Michaelson S.: Macierzowa analiza drgań. PWN, Warszawa, 1972.
4. Bishop R.E.D., Johnson D.C.: The mechanics of vibration. Cambridge University Press, 1960.
5. Cempel C.: Drgania mechaniczne - wprowadzenie. Politechnika Poznańska, 1982.
6. Cempel C.: Wibroakustyka stosowana. Warszawa, PWN, 1989.
7. Cempel C.: Podstawy wibroakustycznej diagnostyki maszyn. WNT, Warszawa, 1982.
8. Cempel C.: Modele diagnostyki wibroakustycznej. DMRiP, Borówno,1994 (s.25-44).
9. Cempel C.: Niezawodność symptomowa i jej zastosowanie w drganiowej diagnostyce
maszyn. Zeszyty Naukowe, Politechnika Poznańska, Nr 34, 1990 (s.157-169).
10. Cempel C.: Vibroacoustical Condition Monitoring. Ellis Hor. Ltd., Chichester, New York, 1991.
11. Cempel C.: Teoria Inżynierii Systemów, skrypt, Zakład Dynamiki i Wibroakustyki Systemów,
Politechnika Poznańska, 2000.
12. Cholewa W., Kiciński J.: Diagnostyka techniczna. Odwrotne modele diagnostyczne.
Wydawnictwo Politechniki ÅšlÄ…skiej, Gliwice 1997.
13. Chmielewski T., Zembaty Z.: Podstawy dynamiki budowli. Arkady, Warszawa 1998.
14. Dietrych J.: System i konstrukcja. WNT, Warszawa, 1985.
15. Dietrych M. ii : Podstawy konstrukcji maszyn. WNT, Warszawa 1995, tom 1.
16. Dobry M. W.: Optymalizacja przepływu energii w systemie człowiek - narzędzie - podłoże.
Politechnika Poznańska, Rozprawy nr 330, Poznań, 1998.
17. Eykhoff P. : Identyfikacja w układach dynamicznych. BNInż. Warszawa.1980.
18. Fritzen C. P., Kiefer T.: Lokalization and Correction of Errors in Analytical Models. Proceedings
of the l Oth International Modal Analisis Conference, San Diego, CA, 1999, pp.1064-1071.
19. Giergiel J., Uhl T.: Identyfikacja układów mechanicznych. PWN, Warszawa, 1990.
20. Giergiel J. : Drgania mechaniczne. AGH, Kraków 2000.
21. Grifin M.J.: Handbook of human vibration. Academic Press, 1990.
22. Gutowski R., Swietlicki W.: Dynamika i drgania układów mechanicznych.
PWN,Warszawa, 1986.
23. Harris C. M.: Shock and Vibration Handbook. Third Edition, McGraw-Hill Book
Company, 1988.
24. Kaczmarek J.: Podstawy teorii drgań i dynamiki maszyn. Wyższa Szkoła Morska,
Szczecin 1993.
25. Konderla P., Kasprzak T.: Komputerowe metody w teorii sprężystości. Dolnośląskie
Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław 1997.
26. Kurowski W.: Modelowanie obiektów technicznych. Rękopis opracowania, Płock 2001.
27. Kaz
mierczak H., Kromulski J.: Identyfikacja i minimalizacja obciążeń dynamicznych w
maszynach rolniczych metodami eksperymentalnej analizy modalnej. Projekt Badawczy
nr 708819101 Raport Końcowy, PIMR 1993.
28. Kaz
mierczak H., Kromulski J.: Identyfikacja własności dynamicznych i obciążeń
eksploatacyjnych maszyn w zastosowaniu do diagnostyki (na przykładzie prasy Z224).
Prace PIMR, XXXVIII, Poznań 1993, Nr 2, str. 70-87.
29. Kaz
mierczak H., Kromulski J.: Metody identyfikacji parametrycznej w zastosowaniu do
diagnostyki konstrukcyjnej. Problemy Eksploatacji 6/93 MCNEMT Radom 1993.
30. Kaz
mierczak H.: Analiza dynamiczności konstrukcji metodą eksperymentalnej analizy
modalnej. I Szkoła Analizy Modalnej, AGH Kraków, 11-12 grudnia 1995.
31. Kaz
mierczak H.: Zadawanie wymuszenia w eksperymentalnej analizie modalnej w
aspekcie minimalizacji błędów modelowania. Szkoła Analizy Modalnej, Szczyrk, 1999.
32. Kiciński J., Materny P.: Symulacyjne katalogi relacji diagnostycznych dla bazy wiedzy
systemu. KDT. Warszawa, 2000.
33. Kruszewski J., Wittbrodt E.: Drgania układów mechanicznych w ujęciu komputerowym.
Tom I. Zagadnienia Liniowe, WNT, Warszawa, 1992.
34. Kucharski T.: Metoda obliczania odpowiedzi dynamicznych układów opisanych
równaniami o zmiennych w czasie parametrach. I Krajowa Konferencja Użytkowników
MATLAB-a, AGH-Kraków, 1995.
35. Morel J.: Drgania maszyn i diagnostyka ich stanu technicznego. Polskie Towarzystwo
Diagnostyki Technicznej, Warszawa, 1994.
36. Morrison F.: Sztuka modelowania układów dynamicznych. WNT, Warszawa, 1996.
37. Muller L., Wilk A.: Teoria podobieństwa w badaniach modeli fizycznych i
matematycznych. Wydawnictwo Politechniki ÅšlÄ…skiej, Gliwice 1997.
38. Rakowski G., Kacprzyk Z.: Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji.
Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1993.
39. Tylicki H.: Optymalizacja procesu prognozowania stanu technicznego pojazdów
mechanicznych. Rozprawa habilitacyjna nr 86, ATR Bydgoszcz, 1999.
40. Uhl T.: Historia i rozwój analizy modalnej. Materiały z obchodów 70-lecia urodzin i 45-
lecia pracy naukowej prof. dr hab. inż. Józefa Giergiela oraz V Szkoly Analizy Modalnej,
s. 294-305., Kraków 200.
41. Uhl T., Batko W.: Wybrane problemy diagnostyki maszyn. CCATIE, Kraków, 1996.
42. Uhl T.: Komputerowo wspomagana identyfikacja modeli konstrukcji mechanicznych.
WNT, Warszawa 1997.
43. Zeigler B.: Teoria modelowania i symulacji. PWN.1984.
44. Zienkiewicz O.C.: Metoda elementów skończonych. Arkady, Warszawa 1972.
45. Żółtowski B.: Identyfikacja diagnostyczna obiektów technicznych. Zagadnienia
Eksploatacji Maszyn. Z.1 (105). PAN. 1996.
46. Żółtowski B.: Podstawy diagnostyki maszyn. Wyd. ATR, Bydgoszcz, 1996.
47. Żółtowski B., Ćwik Z.: Leksykon diagnostyki technicznej. Wyd.ATR,1996.
48. Żółtowski B.: Uwarunkowania klasyfikacji stanów w diagnostyce maszyn. Diagnostyka,
niezawodność i bezpieczeństwo. Radom Krynica. KBM PAN 4 97 (27), (s.37  51).
49. Żółtowski B.: Vibrodiagnosis experiments of machines. COMADEM. Sheffield'96,UK.
50. Żółtowski B.: Diagnostic identification of real objects (part I). COMADEM 97. Helsinki.
Finland. 1997.(Vol.2, s.224-235).
51. Żółtowski B.: Diagnosis experiments of machines. LAMDAMAP 97, Huddersfield, UK,
1997. (s.43-55).
52. Żółtowski B.: Diagnostic identification of machines (part II). ISROMAC-7. Dynamics II.
vol. B Honolulu. HAWAII. USA. 1998 (s.832-840).
53. Żółtowski B.: Application of modal analysis to diagnosis of machines. ISPE. Trynidad.
and Tobago. 2000.
54. Żółtowski B.: Badania dynamiki maszyn. ATR, Bydgoszcz 2002.