UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka  semestr I Kazimierz Jezuita
2008/2009
EGZAMIN PISEMNY - przykładowy zestaw, rozwiązania zadań
1. W przestrzeni liniowej V o wymiarze dimV 2 , określona jest następująca relacja:
Wektor u jest w relacji z wektorem v ( u ~ v ) jeśli u jest liniowo zależny z v .
Określić zbiór wektorów V0 będących w relacji z ustalonym wektorem v0 0.
Czy zbiór V0 jest podprzestrzenią liniową? Jeśli tak to podać bazę i wymiar.
Czy relacja ta jest relacją równoważności?
RozwiÄ…zanie:
Wskazówka: Istota problemu sprowadza się do obserwacji, że wektor zerowy jest liniowo
zależny z każdym wektorem.
Liniowa zależność dwóch wektorów: Definicję liniowej zależności wektorów, przestrzeni
liniowej V nad ciałem , zapisujemy w postaci symetrycznej.
K
Wektory v1,v2 V są liniowo zależne, jeśli istnieją , K , z których
1 2
przynajmniej jeden jest różny od zera, takie, że v1 2v2 0 .
1
Zbiór wektorów V0 liniowo zależnych z wektorem v0 0:
Niech v1 v0 . Występują dwa przypadki:
a) v2 0 . Wtedy 0 i 0 . StÄ…d v2 1 v0 v0 dla pewnego K .
1 2
2
b) v2 0 . Wtedy 0 , 0 . StÄ…d v2 0 0v0 v0 dla 0 .
1 2
W obu przypadkach wektor v2 liniowo zależny z wektorem v0 0 przyjmuje postać
v2 v0 , gdzie K . Dlatego
V0 v V : v v0 , K
Zbiór wektorów V0 jako podprzestrzeń liniowa:
Zbiór V0 jest domknięty ze względu na dodawanie wektorów i mnożenie przez liczbę ( dowód
wynika wprost z własności tych działań ):
v0 v0 ( )v0 , ( v0) ( )v0
1 2 1 2 2 1 2 1
W szczególności V0 zawiera wektor zerowy 0 V0 . Zbiór V0 jest więc podprzestrzenią
liniową. Co więcej, zbiór V0 stanowi powłokę liniową rozpiętą przez jeden wektor v0 .
Zatem dimV0 1, a dowolna baza składa się z jednego wektora postaci e1 0v0 , 0 .
0
Relacja równoważności ?:
Sposób I. - Relacja równoważności jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Z powyższej definicji liniowej zależności wektorów wynika, że relacja:
Wektor u jest w relacji z wektorem v ( u ~ v ) jeśli u jest liniowo zależny z v .
jest oczywiście symetryczna, a także zwrotna ( u u 0 ).
Jeśli jednak dimV 2 , to relacja ta nie jest przechodnia. Istnieją bowiem wtedy
przynajmniej dwa ( różne od zera ) wektory liniowo niezależne u1,u2 V , nie będące ze
sobą w relacji. Ale każdy z nich jest liniowo zależny z wektorem zerowym 0 V .
Mamy więc:
u1 ~ 0 i 0 ~ u2 podczas gdy nie jest w relacji z u2 .
u1
1
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka  semestr I Kazimierz Jezuita
2008/2009
Sposób II. - Relacja równoważności dzieli zbiór na rozłączne podzbiory ( klasy
równoważności ).
Dowód nie wprost. Załóżmy, że relacja:
Wektor u jest w relacji z wektorem v ( u ~ v ) jeśli u jest liniowo zależny z v .
jest relacją równoważności. Ponieważ dimV 2 , to istnieją dwa ( różne od zera ) wektory
liniowo niezależne u1,u2 V , nie będące ze sobą w relacji. Wtedy zbiór wektorów V1
będących w relacji z wektorem u1 jest rozłączny ze zbiorem wektorów V2 będących w relacji
z wektorem u2 , V1 V2 Ø .
Ale każdy z wektorów u1,u2 jest liniowo zależny z wektorem zerowym 0 V , co oznacza,
że wektor zerowy 0 V1 V2 , czyli V1 V2 Ø . DoprowadzajÄ…c do sprzecznoÅ›ci
wykazaliśmy, że nie jest to relacja równoważności.
......................................................................................................................................................
2. Znalez
ć część rzeczywistą, urojoną oraz moduł liczby zespolonej z postaci:
(1 i 3)12
z
(1 i)12
Czy liczba z należy do zbioru
7
z C : z 1 i 1 Argz
4
Wynik uzasadnić oraz naszkicować na płaszczyz
nie zespolonej.
RozwiÄ…zanie:
Wskazówka 1: Liczbę zespoloną można zapisać w postaci algebraicznej z x iy lub
trygonometrycznej ( wykładniczej ) z r(cos isin ) rei . Mnożenie, potęgowanie i
pierwiastkowanie wygodniej jest wykonywać korzystając z postaci trygonometrycznej,
w oparciu o wzór de Moivre a:
zn rn (cosn isin n ) rnein
z1
przy czym Arg(z1z2 ) Arg z1 Arg z2 , Arg( ) Arg z1 Arg z2 .
z2
Wskazówka 2: Wyrażenia z wysokimi potęgami można czasami uprościć, jeśli któraś
k
z kolejnych potęg przyjmuje prostą postać ( z jest rzeczywiste lub urojone ).
Korzystanie ze wzoru na dwumian Newtona jest ostatecznością.
Wskazówka 3: Przy obliczaniu modułu z x2 y2 r można korzystać z faktu:
- moduł iloczynu( ilorazu, potęgi) równy jest iloczynowi(ilorazowi, potędze) modułów.
2
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka  semestr I Kazimierz Jezuita
2008/2009
A. Postać liczby z
Sposób 1: Postać trygonometryczna
Niech z1 1 i 3 r1(cos isin ) . Wtedy
1 1
1 3
z1 1 3 2 , z1 2 i 2(cos i sin )
1 1
2 2
5
Stąd ( z1 leży w czwartej ćwiartce na płaszczyz
nie zespolonej ) ,
1
3
z112 212 (cos12 isin12 ) 212 (cos20 isin 20 ) ei20
1 1
Niech z2 1 i r2 (cos i sin ) .
2 2
Wtedy
1 1
z2 1 1 2 , z2 2 i 2(cos i sin )
2 2
2 2
1
Stąd ( z2 leży w pierwszej ćwiartce na płaszczyz
nie zespolonej ) ,
2
4
z212 ( 2)12 (cos12 isin12 ) 212 (cos3 isin 3 ) ei3
2 2
Ostatecznie
z112 212 (cos20 isin 20 )
z 26 (cos(20 3) isin(20 3) ) 26
z212 ( 2)12 (cos3 isin 3 )
Zatem
Rez 64 , Im z 0 , z 64 .
Sposób 2: Postać arytmetyczna.
Niech z1 1 i 3 , z2 1 i . Obliczamy kolejne potęgi liczb z1 , z2 .
z12 (1 i 3)2 1 i2 3 3 2(1 i 3)
z13 2(1 i 3)(1 i 3) 2(1 3) 23
z2 2 (1 i)2 1 2i 1 2i
Ostatecznie
z112 (z13)4 ( 23)4 212
z 26
(2i)6 26
z212 (z2 2 )6
Zatem Rez 64 , Im z 0 , z 64 .
3
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka  semestr I Kazimierz Jezuita
2008/2009
B. Położenie liczby z na płaszczyz
nie zespolonej
Liczba z 64 nie należy do podanego zbioru
7
z C : z 1 i 1 Argz
4
który jest częścią wspólną zbiorów i , gdzie
A B
- to zewnętrze koła ( wraz z okręgiem) o promieniu i środku w punkcie
A r 1
z0 1 i ,
7
- to obszar ograniczony dwiema półprostymi: Arg z 2 .
B
4
7
bowiem Arg z czyli z B . Należy zauważyć, że , ponieważ
z A
4
odległość z od 1 i ( jako moduł różnicy liczb ) jest większa od 1
64 1 i 65 i 652 1 1 .
......................................................................................................................................................
3. Wykazać ( dwoma sposobami ) bez rozwiązywania, że układ równań
x 2y z 2
2x 3y 1
3x 5y 7z 1
posiada jedno rozwiązanie? Rozwiązać układ równań dwoma z trzech podanych metod:
metoda operacji elementarnych, metoda macierzy odwrotnej, wzory Cramera.
RozwiÄ…zanie
Wskazówka: Postać macierzowa układu równań Ax b
1 2 1 x 2
2 3 0 y 1
3 5 7 z 1
pozwala wyjaśnić problem istnienia rozwiązań układu trzech równań z trzema niewiadomymi,
poprzez badanie właściwości przekształcenia liniowego f : R3 R3 posiadającego w bazie
standardowej macierz , sprawdzenie czy jest to układ typu Cramera lub badanie rzędów
A
macierzy A i macierzy rozszerzonej Ab .
A. Istnienie rozwiązań
Sposób 1: Właściwości przekształcenia liniowego f : R3 R3 o macierzy .
A
Układ niejednorodny posiada rozwiązanie gdy b Im f . Rozwiązanie jest jedno jeśli
dodatkowo dim Kerf 0 .
4
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka  semestr I Kazimierz Jezuita
2008/2009
Kolumny macierzy , jako obrazy wektorów bazy rozpinają obraz Im f
A
1 2 1
Im f 2 , 3 , 0
3 5 7
Wykonując operacje elementarne na kolumnach macierzy wykazujemy, że wszystkie trzy
A
są liniowo niezależne ( tworzą bazę w R3 )
K K
1 2 1 F1,3(1) 0 0 1 F1(1/ 2) 0 0 1 F2K 3) 0 0 1
,1(
2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 0 0
3 5 7 F2K3(2) 10 19 7 F3K 1) 5 19 7 5 4 7
, (
K
0 0 1 F1,2( 5) 0 0 1
1 0 0 1 0 0
F2K1/ 4) 5 1 7 F3K 0 1 0
( ,2(7)
Tak więc Im f R3 i oczywiście b Im f .
Ponadto z faktu, że dim Im f dim Kerf 3 otrzymujemy dim Kerf 0 .
Układ posiada więc jedno rozwiązanie.
Sposób 2: Układ typu Cramera lub metoda macierzy odwrotnej.
Macierz jest macierzą kwadratową . Wystarczy wykazać, że wyznacznik det A 0.
A
Jeżeli bowiem wyznacznik det A 0to:
1
- po pierwsze, istnieje wówczas macierz odwrotna A i układ posiada jedyne rozwiązanie
1
postaci x A b ,
- po drugie, układ posiada jedyne rozwiązanie opisane wzorami Cramera.
Rzeczywiście
1 2 1
det A 2 3 0 21 0 10 9 0 28 8 0
3 5 7
Sposób 3: Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ posiada jedno rozwiązanie jeśli rzędy macierzy A i macierzy rozszerzonej A b są
równe liczbie niewiadomych n :
rzA rzA b n
Metoda wyznacznikowa: Rząd macierzy równy jest najwyższemu ze stopni jej minorów
różnych od zera.
Wykazując ( sposób 2 ), że det A 8 0 otrzymujemy
rzA 3 rzA b n
Metoda operacji elementarnych: Rząd macierzy równy jest maksymalnej liczbie liniowo
niezależnych wektorów kolumnowych ( wierszowych ) macierzy.
5
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka  semestr I Kazimierz Jezuita
2008/2009
Wykonując operacje elementarne na kolumnach ( sposób 1 ) wykazaliśmy, że
rzA 3 rzA b n
Sprowadzając macierz do najprostszej postaci można w tym przypadku wykonywać operacje
elementarne zarówno na kolumnach jak i na wierszach. Wystarczy przy tym wyzerować
elementy pod (nad ) diagonalÄ… ( operacjami na wierszach )
1 2 1 F3w 1) 1 2 1 F2w 2) 1 2 1
,1( ,1(
2 3 0 2 3 0 0 1 2
3 5 7 F3w2( 1) 0 0 8 0 0 8
,
aby zauważyć, że trzy wektory kolumnowe ( wierszowe ) są liniowo niezależne.
B. Rozwiązanie układu równań
1
Sposób 1: Macierz odwrotna. x A b
Macierz odwrotną można wyznaczyć dwoma metodami:
i) przy pomocy operacji elementarnych,
ii) przy pomocy wyznaczników ( dopełnienie algebraiczne, macierz dołączona )
1
i) Aby wyznaczyć macierz odwrotną A do macierzy ( metodą operacji elementarnych )
A
należy skorzystać z następującego faktu:
Jeśli wykonamy równocześnie ciąg takich samych operacji elementarnych na macierzy
i macierzy jednostkowej I, taki że A A I ,
A
1
to wtedy I I A .
Uwaga! Wszystkie operacje wyłącznie na kolumnach lub wszystkie wyłącznie na wierszach.
Można wykorzystać ciąg operacji na kolumnach ( A. Sposób 1), uzupełniając go o zamiany
miejscami odpowiednich kolumn.
K K
1 2 1 F1,3(1) 0 0 1 F1(1/ 2) 0 0 1 F2K 3) 0 0 1
,1(
2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 0 0
3 5 7 F2K3(2) 10 19 7 F3K 1) 5 19 7 5 4 7
, (
K K K
0 0 1 F1,2( 5) 0 0 1 F1,2 0 0 1 F1,3 1 0 0
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0
F2K1/ 4) 5 1 7 F3K 0 1 0 1 0 0 0 0 1
( ,2(7)
6
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka  semestr I Kazimierz Jezuita
2008/2009
K K
1 0 0 F1,3(1) 1 0 0 F1(1/ 2) 1/ 2 0 0 F2K 3) 1/ 2 3/ 2 0
,1(
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 F2K3(2) 1 2 1 F3K 1) 1/ 2 2 1 1/ 2 1/ 2 1
, (
K K
4 3 0 F1,2( 5) 19 3 21 F1,2 3 19 21
1 1 1
0 2 0 10 2 14 2 10 14
8 8 8
F2K1/ 4) 4 1 8 F3K 1 1 1 1 1 1
( ,2(7)
K
F1,3 21 19 3
1
14 10 2
8
1 1 1
21 19 3 x 21 19 3 2 5 / 2
1 1
1
StÄ…d A 14 10 2 , y 14 10 2 1 2
8 8
1 1 1 z 1 1 1 1 1/ 2
1
1
ii) Korzystamy ze wzoru A AD , gdzie AD oznacza macierz dołączoną, która jest
det A
~
transpozycją macierzy dopełnień algebraicznych elementów macierzy . Niech Aij oznacza
A
macierz utworzoną z macierzy przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
A
Dopełnienie algebraiczne dij elementu aij wynosi
~
dij ( 1)i j det Aij
natomiast elementy macierzy dołączonej mają postać: AD d
ij
ji
d11 ... dn1
1
1
A Mð Mð Mð
det A
d1n ... dnn
W tym przypadku ( A. Sposób 2 ) det A 8.
3 0 2 1 2 1
d11 21 , d21 19 , d31 3 ,
5 7 5 7 3 0
2 0 1 1 1 1
d12 14 , d22 10 , d32 2 ,
3 7 3 7 2 0
2 3 1 2 1 2
d13 1 , d23 1 , d33 1
3 5 3 5 2 3
7
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka  semestr I Kazimierz Jezuita
2008/2009
21 19 3
1
1
StÄ…d A 14 10 2
8
1 1 1
Sposób 2. Wzory Cramera
Jeśli jest macierzą kwadratową, nieosobliwą ( det A 0 ) to rozwiązania układu równań
A
a11 ... a1n x1 b1 )ð
det Ai
Mð Mð Mð Mð Mð sÄ… postaci xi
det A
an1 ... ann xn bn
)ð
gdzie macierz Ai została utworzona z macierzy poprzez zastąpienie i-tej kolumny,
A
kolumną wyrazów wolnych b .
2 2 1 1 2 1 1 2 2
)ð )ð )ð
det A1 1 3 0 20 , det A2 2 1 0 16 , det A3 2 3 1 4
1 5 7 3 1 7 3 5 1
5 1
Ale ( A. Sposób 2 ) det A 8. Więc x x1 , y x2 2 , z x3 .
2 2
Sposób 3: Metoda operacji elementarnych ( na wierszach macierzy Ab )
Aby wyzerować w macierzy elementy pod diagonalą, wykonujemy ciąg operacji
A
elementarnych na wierszach macierzy Ab ( taki sam jak w A. Sposób 3 )
1 2 1 2 F3w 1) 1 2 1 2 F2w 2) 1 2 1 2
,1( ,1(
2 3 0 1 2 3 0 1 0 1 2 3
3 5 7 1 F3w2( 1) 0 0 8 4 0 0 8 4
,
Układ równań przyjmuje równoważną, prostą postać:
1 2 1 x 2 x 2y z 2 z 1/ 2
0 1 2 y 3 czyli y 2z 3 . StÄ…d kolejno y 2
0 0 8 z 4
8z 4 x 5/ 2
8
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka  semestr I Kazimierz Jezuita
2008/2009
4. Przekształcenie liniowe f : R3[ ] R3 posiada ( w bazach standardowych: w przestrzeni
wielomianów R3[ ] ; e1(x) 1 , e2 (x) x , e3(x) x2 , e4 (x) x3, natomiast w
przestrzeni R3 ; e1 (1,0,0) , e2 (0,1,0) , e3 (0,0,1) ) macierz postaci:
1 1 1 1
1 3 2 2
2 3 2 3
Określić Ker f , Imf ( podając bazy i wymiar ) oraz postać wielomianu w(x) , dla
którego
f (w) (1,0,2) .
RozwiÄ…zanie
Wskazówka. W podanych bazach, dowolny wielomian w R3[ ] postaci
w(x) w1 w2x w3x2 w4x3 reprezentowany jest przez wektor kolumnowy
w1
1
w2
w , wektor f (w) R3 przez wektor kolumnowy f (w) 0 ,
w3
2
w
1 1 1 1
przekształcenie f : R3[ ] R3 przez macierz A 1 3 2 2 ,
2 3 2 3
natomiast równanie f (w) (1,0,2) w zapisie macierzowym przyjmuje postać
w1
1 1 1 1 1
w2
1 3 2 2 0
w3
2 3 2 3 2
w4
Jądro przekształcenia liniowego Ker f {w R3[ ]: Aw 0 }
Równanie jednorodne
w1
1 1 1 1 0
w2
1 3 2 2 0
w3
2 3 2 3 0
w4
sprowadzamy metodÄ… operacji elementarnych na wierszach macierzy
A
9
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka  semestr I Kazimierz Jezuita
2008/2009
1 1 1 1 F2W 1) 1 1 1 1 F1W( 1) 1 0 1 0
,1( ,3
1 3 2 2 0 2 1 1 0 1 1 0
2 3 2 3 F3W( 2) 0 1 0 1 F2W 1) 0 1 0 1
,1 ,3(
do prostej postaci
w1 w1 t
1 0 1 0 0 w1 w3 0
w2 w3 t
0 1 1 0 0 czyli w2 w3 0 . StÄ…d kolejno
w3 w2 t
0 1 0 1 0 w2 w4 0
w4 w4 t
Jądro tworzą więc wektory
1 1
1 1
w t , to znaczy, że dim ker f 1 , a baza składa się z jednego wektora np. e1 .
1 1
1 1
Obraz przekształcenia liniowego Im f
Kolumny macierzy , jako obrazy wektorów bazy rozpinają obraz Im f
A
1 1 1 1
Im f 1 , 3 , 2 , 2
2 3 2 3
Wykonując operacje elementarne na kolumnach macierzy wykazujemy, że trzy z nich są
A
liniowo niezależne ( tworzą bazę w R3 )
1 1 1 1 Fi,K( 1) 1 0 0 0 Fi,K( 1) 1 0 0 0 F2K3( 2) 1 0 0 0
1 3 ,
1 3 2 2 1 2 1 1 0 2 1 0 0 0 1 0
K
2 3 2 3 i 2,3,4 2 1 0 1 i 1,4 2 1 0 1 F1,4( 2) 0 1 0 1
Tak więc Im f R3 , dim Im f 3 , baza np. standardowa, zero-jedynkowa.
Uwaga. W tym przypadku dim Im f dim Kerf 4 .
Przeciwobraz wektora f (w) (1,0,2)
Szukając wielomianów w(x) takich, że f (w) (1,0,2) rozwiązujemy układ równań
niejednorodnych
w1
1 1 1 1 1
w2
1 3 2 2 0
w3
2 3 2 3 2
w4
10
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka  semestr I Kazimierz Jezuita
2008/2009
metodą operacji elementarnych na wierszach macierzy A b postępując tak samo jak powyżej,
dla równania jednorodnego ( Kerf )
1 1 1 1 1 F2W 1) 1 1 1 1 1 F1W( 1) 1 0 1 0 1
,1( ,3
1 3 2 2 0 0 2 1 1 1 0 1 1 0 1
2 3 2 3 2 F3W( 2) 0 1 0 1 0 F2W 1) 0 1 0 1 0
,1 ,3(
sprowadzając układ równań do postaci:
w1 w1 t
1 0 1 0 1 w1 w3 1
w2 w3 1 t
0 1 1 0 1 czyli w2 w3 1 . StÄ…d kolejno
w3 w2 2 t
0 1 0 1 0 w2 w4 0
w4 w4 2 t
Przeciwobraz wektora f (w) (1,0,2) tworzą więc wielomiany
w(x) t ( 2 t)x (1 t)x2 (2 t)x3
11