WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Olga Kopacz, Adam A
odygowski, Krzysztof Tymber,
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. Jerzy Rakowski
Poznań 2002/2003
1. SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW.
1.1 A
uk jednoprzegubowy kołowy.
Dla łuku jak na rysunku(Rys.1.1) dla obieram układ podstawowy (Rys.1.2) i
wykonuję dla niego wykresy momentów .
Rys.1.1
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Rys.1.2
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Układ równań kanonicznych przyjmuje zatem postać:
´11 Å" X1 + ´12 Å" X2 + "1P = 0
Å„Å‚
òÅ‚´ Å" X1 + ´22 Å"X +"2P = 0
ół 21 2
Poszczególne współczynniki wyznaczamy zaś, z zależności:
M M
i k
´ = ds (1.1)
ik
+"
EI
przy czym każdemu punktowi na łuku w układzie współrzędnych x,y odpowiada punkt o
współrzÄ™dnych biegunowych r,Õ stÄ…d:
r - y
cosÕ = Ò! y = r - r cosÅ"Õ
r
x
sinÕ = Ò! x = r Å" sinÕ
r
M1 = 1Å" x = r Å" sinÕ
M = -r(1- cosÕ)= - y
2
- qx2 - q
0 2 2
M = = r sin Õ
P
2 2
współczynniki wynoszą:
´12 = ´ = 0
21
Õ0
M12 1 1
2 2 2
´11 = ds =
+" +"r Å" sin Õr Å" dÕ = EI r3+"sin Õ Å" dÕ =
EI EI
s -Õ0
Õ0
3
r 1 1 1
Õ - sin 2Õ = Õ0 - sin 2Õ0
EI 2 4 2
-Õ0
Õ0 Õ0
2
M 1 1
2
2 3
´ = ds = (1- 2cosÕ + cos2 Õ)dÕ =
22
+" +"r (1- cosÕ) dÕ = EI r3 +"
EI EI
s -Õ0 -Õ0
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Õ0 Õ0 Õ0
îÅ‚ Å‚Å‚
1
2
= r3 dÕ - 2 cosÕdÕ + ÕdÕ =
ïÅ‚
+"1Å" +"+"cos śł
EI
ïÅ‚-Õ0 -Õ0 -Õ0
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1
= r3ëÅ‚3Õ0 - 4sinÕ0 + sin 2Õ0 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
EI 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Õ0
M12 1 1
2 2 2
´11 = ds =
+" +"r Å" sin Õr Å" dÕ = EI r3+"sin Õ Å" dÕ =
EI EI
s -Õ0
Õ0
3
r 1 1 1
= Õ - sin 2Õ = Õ0 - sin 2Õ0
EI 2 4 2
-Õ0
Õ
0
M Å" M 1 q
2 P
´2P = ds = r(1- cosÕ)Å" r2 sin2 Õ Å"Å"r Å" dÕ =
+" +"
EI EI 2
s -Õ0
Õ0 Õ0
1 q 1 q
4
= (sin2
+"(r - r Å" cosÕ)r2 sin2 ÕrdÕ = EI 2 +"r Õ - cosÕ sin2 Õ)dÕ =
EI 2
-Õ0 -Õ0
Õ0 Õ0 Õ
0
îÅ‚ Å‚Å‚
r4 q r4 q
= (sin2 Õ - cosÕ Å" sin2 Õ)dÕ = sin2 ÕdÕ -
ïÅ‚
+" +"+"cosÕ sin2 ÕdÕ śł
EI 2 EI 2
ïÅ‚-Õ0
śł
-Õ0 -Õ0
ðÅ‚ ûÅ‚
Õ0
Õ0
îÅ‚ëÅ‚ Å‚Å‚
r4 q 1 1 ëÅ‚ 1 öÅ‚
öÅ‚
ïÅ‚ìÅ‚
= Å" Õ - sin 2Õ - ìÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚1(2 +1) sin2+1Õ ÷Å‚ śł =
÷Å‚
EI 2 2 4
ïÅ‚ Å‚Å‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚
-Õ0
-Õ0
ðÅ‚íÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚Õ - 1
Å‚Å‚
sin 2Õ0 -
0
ïÅ‚ śł
r4 q 2 r4 q 1 2
îÅ‚Õ
ïÅ‚ śł
Å" == Å" - sin 2Õ0 - sin3Õ0Å‚Å‚
0
ïÅ‚ śł
EI 2 ëÅ‚ EI 2 2 3
ïÅ‚ìÅ‚ 1 sin3Õ0 - 1 sin3(- Õ0)öłśł ðÅ‚ ûÅ‚
÷łśł
ïÅ‚íÅ‚ 3
3
Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Przy czym:
8
Õ0 = arcsin Ò! Õ0 = 53o12'
10
Dalszy ciąg postępowania wygląda jak w każdym innym łuku (patrz wykład poprzedni).
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
1.2 A
uk bezprzegubowy-linie wpływu nadliczbowych.
Powiedzmy, że mamy łuk bezprzegubowy (Rys.1.3)i chcemy wyznaczyć linie
wpływu nadliczbowych. Układ ten jest układem trzykrotnie niewyznaczalnym.
Wygodne jest tu wykorzystać metodę bieguna sprężystego. Schemat podstawowy
przyjmujemy przecinając łuk jak na rysunku poniżej (Rys.1.4) Otrzymamy wtedy układ
równań kanonicznych przyjmuje postać:
´11 Å" X1 + ´12 Å" X + ´13 Å" X + "1P = 0
Å„Å‚
2 3
ôÅ‚´ Å" X1 + ´ Å"X +´ Å" X + "2P = 0
òÅ‚
21 22 2 23 3
ôÅ‚´ Å" X1 + ´32 Å"X +´33 Å" X + "3P = 0
ół 321 2 3
Położenie bieguna sprężystego określamy wielkością e z warunku
M1M
2
ds = 0 stÄ…d:
+"
EI
1
1 3
1
¾
Jc Jc dx
2
y d¾
f
y ds y 2 f Å"¾ dÅ›
+"
+" +" +"
2
3
J Jc / cosÕ cosÕ
f
Å›
s x 0 0
e = = = = = =
1 1
Jc Jc dx 1
3
¾
2
ds d¾
0
2 dÅ›
+" +" +"
+"¾
J Jc / cosÕ cosÕ 2
s x Å›
0
4 f I0
FunkcjÄ… opisujÄ…cÄ… krzywiznÄ™ jest :Õ = x(1- x) , a I(x) = .
2
l cosÕ
Rys.1.3
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Rys.1.4
Współczynniki ´ obliczamy zgodnie z wzorem (1.1):
ik
M M
i k
´ = ds
ik
+"
EI
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Spójrzmy na wykresy momentów(Rys.1.4) (Uwaga! na biegunie nie wykonujemy
wykresów-jego I = " ) okazuje się, że wprowadzenie bieguna sprężystego powoduje
obniżenie wykresu momentów M1 -otrzymaliśmy zatem funkcję dwuznakową-suma pól
f
równa jest zeru! Zatem´13,´ = 0 a ponieważ e = stÄ…d i ´12,´13 = 0 Nasz
23
3
układ równań kanonicznych sprowadza się zatem do postaci:
´11 Å" X1 + "1P = 0
Å„Å‚
ôÅ‚´ Å"X +"2P = 0
òÅ‚
22 2
ôÅ‚´ Å" X + "3P = 0
ół 33 3
Współczynniki´ okreÅ›lamy z wyżej wypisanego wzoru (1.1) korzystajÄ…c z twierdzenia
ik
Wereszczegina-Mohra.
2
1 îÅ‚1 l 2 2 2 1 l 1 l f 2 f 1 2 Å‚Å‚ l Å" f
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
´11 = Å" Å" f Å" f - Å" - Å" Å" Å" - Å" f =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷łśł
ïÅ‚2
EI 2 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 18EI
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
1 l l
ëÅ‚
´ = Å"1Å"1öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
22
EI 2 2EI
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 l l 2 l l3
ëÅ‚ öÅ‚
´ = Å" Å" Å" Å" =
ìÅ‚ ÷Å‚
33
EI 2 2 2 3 2 24EI
íÅ‚ Å‚Å‚
Szukane linie wpływu określamy zależnością:
- "iP
lwX =
(1.2)
i
²ii
Musimy zatem wyznaczyć zatem: "P1(x),"P2 (x),"P3(x) . Nasz łuk jest łukiem
symetrycznym zatem dalsze postępowanie przeprowadzimy na jego połówce (Rys.1.5)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Rys.1.5
W celu wyznaczenia "P1(x) wyznaczamy wykresy momentów od nadliczbowej i
zadanej siły P = 1 (rys.1.5).Współczynnik określony jest wzorem :
l
M Å" M1
"P1(x) = ds
(1.3)
+"
EI0
0
Określmy "P1(x) jako funkcję a skoro M = -1(a - x) to :powyższy związek
przechodzi do postaci :
4 f 2
Å‚Å‚
(x - a)îÅ‚ 2 x(l - x) - f Å" M1
a
ïÅ‚ śł
l 3 f 1
2
ðÅ‚ ûÅ‚ 2
"P1(a) = dx = Å" Å"Ä… (Ä… -1)
+"
EI0 EI0 3
0
a
przy czym ą = . Postępując analogicznie otrzymujemy :
l
a
2
M Å" M - l 1
2 2
"P2 (a) = dx = Å" Å"Ä…
+"
EI0 EI0 2
0
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
a
M Å" M l3 1
3 2
"P3 (a) = dx = Å" Å"Ä… (3 - 2µ)
+"
EI0 EI0 12
0
Linie wpływu zatem dla naszej umownej części po zamianie parametru a , na
współrzędną x określone są następująco :
-15 l
2
2
lwX1 = Å" Å"¾ (¾ -1)
4 f
l
2
lwX = Å"¾
2
2
2
lwX = ¾ (2¾ - 3)
3
Na poniższym rysunku przedstawiono wyżej określone linie wpływu
nadliczbowych(rys.1.6).
Rys.1.6
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
2. DODATKI .
2.1 .Stopień statycznej niewyznaczalności
Stopień statycznej niewyznaczalności można wyznaczyć wieloma sposobami. W
tym rozdziale przytoczymy trzy z nich. Na początku zdefiniujmy krotność przegubów.
Na poniższych rysunkach widzimy kilka rodzaji przegubów z różną liczbą prętów się w
nich schodzÄ…cych.
Rys.1.7
Pierwszy z nich jest przegubem jednokrotnym (rys.1.7 a). Oznacza to, że
możliwy jest dowolny obrót w obrębie tego przegubu. Jeśli w węz
le zbiegają się więcej
niż dwa pręty (rys.1.6 b,c i d) mówimy o przegubach wielokrotnych. Ich nazwa
pochodzi od liczby zbiegających się prętów. Przegub w którym zbiegają się dwa pręty
połączone jak na rysunku 1.6 d nazywamy przegubem jednokrotnym. Krotność przegubu
oznaczamy ogólnie jako :
KR = k -1 (1.4)
gdzie :
k - liczba prętów zbiegających się w pełnym przegubie.
Przedstawmy w skrócie wspomniane metody określania stopnia statycznej
niewyznaczalności :
f& Sposób 1
Sposób ten polega na zamianie prętów na pojedyncze tarcze w wyniku dokonania
cięć. Stopień statycznej niewyznaczalności określamy wg wzoru :
SSN = p - 3Å"t
(1.5)
gdzie :
p - liczba przeciętych prętów
t - liczba utworzonych niezależnych tarcz.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Przykład 1
Wez
my układ prętów jak na rysunku poniżej i spróbujmy określić jego SSN .
Rys.1.8
By odrzucić więz I musimy zrobić dwa cięcia(rys.1.8b), więz II trzy a trzeci
tylko jedno cięcie. Z rysunku powyżej widać, że z przecięcia dodatkowo dwóch
prętów górnych nasz układ prętowy przekształcił się w układ trzech niezależnych
tarcz poza tym przeciÄ™cieÄ… -Ä… i ² - ² to dodatkowe zwolnienie szeÅ›ciu wiÄ™zów
(3+3). Zatem zgodnie ze wzorem (1.5)stopień statycznej niewyznaczalności :
SSN = p - 3Å" t = (6 + 3 + 3)- 3Å" 3 = 3
Przykład 2
Na rysunku 1.9 przedstawiona jest rama (układ prętów). Sposób postępowania
jest analogiczny jak w przykładzie pierwszym. Określamy liczbę cięć i liczbę tarcz
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
powstałych w ich wyniku. Liczba cięć dla poszczególnych więzów związana jest z
krotnością przegubów stąd cztery cięcia w węz
le II (K -1)Å" 2 = (3 -1)Å" 2 = 4 .
Rys.1.9
W tym przypadku dokonaliśmy czternastu cięć uzyskując przy tym dwie tarcze.
Zatem stopień statycznej niewyznaczalności :
SSN = p - 3Å" t = 14 - 3Å" 2 = 8 ukÅ‚ad jest oÅ›miokrotnie statycznie
niewyznaczalny.
f& Sposób 2
Sposób ten polega na wprowadzeniu dodatkowych więzów, które usztywnią
układ. Praktycznie sposób ten polega na wprowadzeniu w miejsce podór
utwierdzenia i zastąpieniu przegubów podporami sprężystymi. Stopień statycznej
niewyznaczalności układu :
SSN = N - d (1.6)
gdzie :
N - stopień statycznej niewyznaczalności nowego przesztywnionego układu
d - liczba wprowadzonych dodatkowych więzów.
Przykład 1
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Na poniższym rysunku(rys.1.10) pokazano układ prętowy przed i po
usztywnieniu. Liczba więzów potrzebnych do usztywnienia pokazana została na
rysunku (rys.1.10b)
Rys.1.10
Stopień statycznej niewyznaczalności układu wynosi zatem :
SSN = N - d = 12 - 6 = 6
Przykład 2
Przyjrzyjmy się teraz ramie z rysunku 1.8. Należy tu zwrócić uwagę na to, iż
pręty górne zostały przecięte w celu usunięcia układu zamkniętego, który tworzą owe
pręty. Stopień statycznej niewyznaczalności nowego przesztywnionego układu
wynosi : N = 12 (rys.1.10), liczba wprowadzonych więzów cztery. Zatem :
SSN = N - d = 12 - 4 = 8 otrzymaliśmy wynik jak w przypadku określania
SSN metodÄ… pierwszÄ….
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Rys.1.11
f& Sposób 3
Można udowodnić, że stopień statycznej niewyznaczalności :
SSN = r + p1 + 2 p2 + 3p3 - (2w2 + 3w3 )
(1.7)
gdzie :
r - liczba reakcji (albo liczba więzów podporowych)
p1 - liczba prętów zakończonych obustronnie przegubami
p2 - liczba prętów zakończonych z jednej strony przegubem z drugiej sprężyście
zamocowanych
p3 - liczba prętów obustronnie sprężyście zamocowanych
w2 - liczba węzłów przegubowych
w3 - liczba węzłów w których występują sprężyście zamocowane pręty.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Przykład 1
Dla układu z rysunku 1.10 możemy określić zgodnie z rysunkiem poniżej (rys.1.12) :
r = 10
p1 = brak
p2 = 5 (oznaczono // na rysunku)
p3 = 7 (oznaczono /// na rysunku)
w2 = 4
üÅ‚
do w2 , w3 dodajemy także przeguby i utwierdzenia
w3 = 9żł
þÅ‚
Rys.1.12
SSN = 41 - 35 = 6
Przykład 2
Mamy układ jak na rysunku (rys.1.13). Postępując analogicznie do przykładu 1
otrzymujemy :
r = 2 + 3 = 5
p1 = brak
p2 = 2
p3 = 3
w2 = 1
w3 = 4
SSN = 4
Rys.1.13
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper