Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1
7. ����Ł�
7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
7.1. Twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac)
Niech na dowolny układ ramowy statycznie wyznaczalny lub niewyznaczalny, ale o niepodatnych
podporach i przy braku naprężeń termicznych, działa układ sił i momentów skupionych. Obciążenia te
rozdzielić można, w sposób dowolny, na dwie grupy, z których jedną nazwiemy układem sił P a drugą
i
układem sił P (przez  siły należy rozumieć siły uogólnione). Przeanalizujemy dwie metody obciążenia
k
układu.
I przypadek:
Najpierw przykładamy grupę sił P , a następnie do tego stanu wprowadzamy grupę sił P (rys. 7.1).
i k
i k
Kolejność obciążania
I II
Pi
i
i
"ii "ik
Pk
k
"ki "kk
Rys. 7.1. Ugięcie belki pod wpływem działania sił P , a następnie P
i k
Objaśnienia:
Pi - układ sił (moment, siła skupiona itd.) działający na punkt i,
�ąii - przemieszczenie punktu i wywołane przyczyną w punkcie i,
�ąik - przemieszczenie punktu i wywołane przyczyną w punkcie k,
�ąki - przemieszczenie punktu k wywołane przyczyną w punkcie i,
�ąkk - przemieszczenie punktu k wywołane przyczyną w punkcie k.
Praca sił zewnętrznych na przemieszczeniach przez nie wywołanych wynosi:
Pi Pk
1 1
Lik= Pi �ąii �ą Pk �ąkk�ąPi �ąik (7.1)
[ ] [ ]
2 2
II przypadek:
Układ obciążenia jest taki sam jak w przypadku I z tą różnicą, że najpierw przykładamy grupę sił P , a
k
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 2
następnie do tego stanu wprowadzamy grupę sił P (rys. 7.2).
i
k i
Kolejność obciążania
I II
Pi i
"ik
"ii
Pk
k
"kk
"ki
Rys. 7.2. Ugięcie belki pod działaniem sił P , a potem P
k i
Praca sił zewnętrznych ma obecnie postać:
Pk Pi
1 1
Lki= Pk �ąkk �ą Pi �ąii�ąPk �ąki (7.2)
[ ] [ ]
2 2
Po zrównoważeniu prawych stron równań, zgodnie z zasadą superpozycji, oraz faktem, że wartość
pracy nie zależy od historii obciążeń (kolejności działania przyczyn) otrzymujemy:
Lik=Lki
po uproszczeniu:
Pi �ąik=Pk �ąki
(7.3)
Twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac):
Jeżeli na ustrój sprężysty działają dwa nie zależne od siebie układy obciążeń, spełniające warunki równowagi,
to praca obciążeń jednego układu wykonana na przemieszczeniach wywołanych działaniem drugiego układu
równa się pracy obciążeń drugiego układu wykonanej na przemieszczeniach wywołanych działaniem
pierwszego układu obciążeń.
7.2. Twierdzenie Maxwella (o wzajemności przemieszczeń)
Rozważmy dowolny układ statycznie wyznaczalny lub niewyznaczalny. Załóżmy obciążenia. Załóżmy
że podpory nie osiadają, a temperatura nie zmienia się, mamy więc do czynienia wyłącznie z naprężeniami
wywołanymi obciążeniem zewnętrznym.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 3
Układ poddamy działaniu dwóch typów obciążenia i zbadamy przemieszczenia:
�ąki
" typ I: działa siła jednostkowa P =1 (w punkcie i), badamy przemieszczenia w punkcie k ( ),
i
�ąik
" typ II: działa siła jednostkowa P =1 (w punkcie k), mierzymy przemieszczenie w punkcie i ( ).
k
�ąki �ąik
Pomiędzy przemieszczeniami i zachodzi szczególny związek. Pokażemy to na dwóch przykładach.
Przykład 1
Analizie zostaną poddane przemieszczenia w belce wolnopodpartej.
a)
Pi=1
k
k
k
k
i
i
i
i
Ćki
Mk=1
b)
k
k
k
k
i
i
i
i
"ik
Rys. 7.3. Do belki zostaje: a) przyłożona jednostkowa siła, b) przyłożony jednostkowy moment
Do danej belki przykładamy kolejno jednostkowe obciążenia: w punkcie i jednostkową siłę P =1, a w
i
punkcie k jednostkowy moment M =1. Spowoduje to powstanie odpowiednich przemieszczeń Ć i " .
k ki ik
Korzystając z twierdzenia Bettiego można zapisać zależność:
Pi �ąik=M �ąki (7.4)
k
�ąki �ąki
Należy zwrócić uwagę na to, że teraz przesunięcie we wzorze (7.3) ma wartość kąta w mierze
łukowej.
Przyjmując, że układy sił obciążających są jednostkowe, zapis można uprościć:
�ąik=�ąki
(7.5)
Przykład 2
Do kratownicy przyłożono siłę jednostkową w punkcie 1, która wywołała przemieszczenie w punkcie 2.
Następnie do tej samej kratownicy przyłożono siłę jednostkową w punkcie 2, która wywołała przemieszczenie
punktu 1. Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami przemieszczenia w punktach 1 i 2 w odpowiednich
kierunkach i wywołane odpowiednimi siłami są sobie równe.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 4
1
P1 =1
2
"21
1
"12
2
P2 =1
Rys. 7.4. Przemieszczenia kratownicy wywołane działaniem sił w punktach 1 i 2
Twierdzenie Maxwella (o wzajemności przemieszczeń).
�ąik
Przemieszczenie uogólnione odpowiadające i-tej sile uogólnionej (po kierunku tej siły) i wywołane
�ąki
działaniem uogólnionej siły P =1, równe jest przemieszczeniu uogólnionemu , odpowiadającemu k-tej sile
k
uogólnionej i wywołanemu przez działanie jednostkowej siły uogólnionej P =1.
i
7.3. Twierdzenie Rayleigha (o wzajemności reakcji)
Rozważmy pracę reakcji na przemieszczeniach w dowolnym układzie sprężystym (ciało odkształcalne)
przedstawionym na rys. 7.5.
k
Rki
i'
i
RBi
Rii
"ii
Rys. 7.5. Reakcje powstałe na skutek przemieszczenia podpory  i
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 5
k'
Rkk
k
k
"kk
i
i
RBk
Rik
Rys. 7.6. Reakcje powstałe na skutek przemieszczenia podpory  k
Zakładamy ogólny przypadek konstrukcji statycznie niewyznaczalnej. Rysunek 7.5 przedstawia
�ąii
przypuszczalne (narzucone) wymuszenie kinematyczne , po kierunku podpory w punkcie i. Rysunek 7.6 to
�ąkk
postać odkształcona i reakcje wywołane przesunięciem , po kierunku podpory k.
Zgodnie z twierdzeniem Bettiego można przyrównać pracę sił układu pierwszego na przemieszczeniach
układu drugiego do pracy sił układu drugiego na przemieszczeniach układu pierwszego:
Rii 0�ąRBi 0�ąRki �ąkk=Rkk 0�ąRBk 0�ąRik �ąii
(7.6)
Rki �ąkk=Rik �ąii
Jeżeli przemieszczenia podpór przyjmujemy jako jednostkowe:
�ąkk=1 �ąii=1
(7.7)
to ostatecznie otrzymujemy:
Rki=Rik
(7.8)
rki=rik
Twierdzenie Rayleigha:
Reakcja uogólniona r odpowiadająca i-temu przemieszczeniu uogólnionemu a wywołana jednostkowym
ik
�ąkk=1
przemieszczeniem k-tego więzu równa jest uogólnionej reakcji r odpowiadającej k-temu
ki
�ąii=1
przemieszczeniu uogólnionemu wywołana jednostkowym przemieszczeniem i-tego więzu.
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 6
7.4. Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń i reakcji
Niech na dowolny układ ramowy statycznie wyznaczalny lub niewyznaczalny, przy braku naprężeń
termicznych, działa najpierw układ sił P . Zapiszemy pracę tego układu jako L . Następnie załóżmy podatność
i I
jednej z podpór np. kąta obrotu Ć i zapiszmy jego pracę jako L .
k II
a)
k i Pi j
Hki
"ii
Mki
Vki
Rji
b)
"kk
=Ć
i j
Hkk k
Mkk
"ik
Vkk
Rjk
Rys. 7.7. Ugięcie belki pod działaniem: a) uogólnionej siły P b) uogólnionego przemieszczenia Ć
i k
Formułujemy równanie pracy sił układu I na przemieszczeniach układu II:
M �ąkk�ąH 0�ąV 0�ąPi �ąik�ąR 0=LI
(7.9)
ki ki ki ji
oraz sił układu II na przemieszczeniach układu I:
M 0�ąH 0�ąV 0�ąR 0=LII (7.10)
kk kk kk jk
Po porównaniu obu prac:
LI =LII (7.11)
otrzymujemy zależność:
M �ąkk�ąPi �ąik=0 (7.12)
ki
Dalej przyjmujemy, że siła i przemieszczenie są jednostkowe:
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 7
Pi=1i=1
(7.13)
�ąkk=�ąk=1k=1
i otrzymujemy związek pomiędzy reakcją i przemieszczeniem:
M 1�ą1�ąik=0
ki
(7.14)
M =-�ąik
ki
Na symbolach ogólnych można zapisać:
mki=-�ąik (7.15)
Zgodnie z twierdzeniem Rayleigha możemy posłużyć się uogólnionym symbolem reakcji:
rki=-�ąik
(7.16)
Twierdzenie:
Jeżeli na ustrój sprężysty w punkcie i działa uogólniona siła jednostkowa P =1, wywołująca w podporze k
i
�ąk
reakcję r i niezależnie od tego jeśli uogólnionemu przemieszczeniu jednostkowemu podpory k-tej
ki
�ąik
towarzyszy pojawienie się w punkcie i-tym przemieszczenia , to rzut reakcji r na kierunek
ki
�ąk �ąik
przemieszczenia jest równy rzutowi przemieszczenia na kierunek uogólniony siły P z przeciwnym
i
znakiem (-P ).
i
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater