Wykład 23
Obwody prÄ…du zmiennego
Obwód prądu zmiennego jest to dowolny zespół połączonych między sobą oporników,
kondensatorów i cewek indukcyjnych, w których płyną prądy zmienne w czasie ze stałą
czÄ™stoÅ›ciÄ… É Rozpatrzmy najprostszy przypadek obwodu prÄ…du zmiennego zawierajÄ…cego
opór elektryczny , kondensator o pojemności C , cewkę o indukcyjności i z
ródło prądu
R L
zmiennego
U = U0 cosÉt
. (23.1)
Jeżeli rozmiary takiego obwodu nie są zbyt duże, a pojemność kondensatora i
indukcyjność nie są nadmiernie małe, to można wykazać, ze natężenie prądu jest prawie stałe
w każdej chwili we wszystkich przekrojach obwodu. Takie prądy nazywamy kwaziustalonymi i
możemy dla tych prądów stosować prawa dla obwodów ze stałym prądem. Jeżeli oznaczmy
UC
przez wartość chwilową napięcia na okładkach kondensatora, to zgodnie z prawem Ohma
możemy zapisać
IR +UC = Es + U (t)
, (23.2)
gdzie
dI
Es = -L
, (23.3)
dt
U = I Å" R - spadek potencjaÅ‚u na oporze. BiorÄ…c pod uwagÄ™,
jest SEM samoindukcji cewki, a
R
że
dq q
I = UC =
, ,
dt C
291
wzór (23.2) możemy zapisać w postaci
2
d q R dq 1 U0 cosÉt
+ + q = . (23.4)
dt2 L dt LC L
OznaczajÄ…c
1
R U0
2´ =
, É0 = , F0 = ,
L LC L
przepiszmy równanie (23.4)
2
&ð&ð &ð
q + 2´q + É0 q = F0 cosÉt
. (23.5)
Z równaniem (23.5) już spotkaliśmy na wykładach z pierwszej części Fizyki Ogólnej. To jest
równanie wymuszonych drgań oscylatora harmonicznego z tłumieniem. Znajdziemy
rozwiązanie równania (23.5), korzystając z innej metody niż to robiliśmy wcześniej.
Rozwiązanie równania (23.5) łatwiej szukać korzystając z liczb zespolonych, a
mianowicie będziemy szukali rozwiązanie równania (23.5) w postaci
q = q0eiÉt = q0 Å"(cosÉt + i Å"sinÉt)
. (23.6)
Biorąc pod uwagę, że
2
&ð &ð&ð
q = q0eiÉt (iÉ) q = q0eiÉt(-É )
, ,
F0eiÉt
i zapisując prawą część równania (23.5) w postaci , z równania (23.5) otrzymujemy
q0
następujące równanie algebraiczne na
2 2
q0(- É ) + 2iq0´ Å"É + É0 q0 = F0
. (23.7)
SkÄ…d
F0
q0 = =
2 2
- É + 2i´É + É0
2 2
É0 - É 2´É
= F0 2 2 2 2 2 - iF0 2 2 2 2 2 . (23.8)
(É0 -É ) + 4´ É (É0 - É ) + 4´ É
Ponieważ
b
a - ib = Ae-iÕ = AcosÕ - iAsinÕ ,
A = a2 + b2 , tgÕ = a ,
292
rozwiązanie (23.8) możemy zapisać w postaci
q0 = q00 exp(-iÕ)
, (23.9)
gdzie
U0 1
2´É
q00 =
tgÕ =
i . (23.10)
2 2 2
L 2 2 2 2
É0 -É
(É0 - É ) + 4´ É
Ostateczne rozwiązanie równania (23.5) przyjmuje postać
q(t) = q00 Å" exp[i(Ét -Õ)]
. (23.11)
Rzeczywista część rozwiązania (23.11) wynosi
q(t) = q00 Å" cos(Ét -Õ)
. (23.12)
Rezonans. Dobroć obwodu
q00
Z zależnoÅ›ci od czÄ™stoÅ›ci É wymuszajÄ…cej SEM, przedstawionej na rysunku,
É H" É0 q00
wynika, przy gwałtownie rośnie wartość .
0.5
0.4
1
0.3
2
0.2
0.1
3
É0
0.0
É2,res
q00 (É) ´1 < ´ < ´3
Krzywa rezonansowa .
2
Zjawisko gwałtownego wzrostu amplitudy zmiennego w czasie ładunku elektrycznego,
a również wzrost amplitudy prądu zmiennego w obwodzie i amplitudy napięcia na okładkach
293
kondensatora, przy zbliżaniu wielkoÅ›ci pulsacji É wymuszajÄ…cej SEM do wartoÅ›ci
É0 = 1/ LC nosi nazwÄ™ rezonansu elektrycznego.
Korzystając ze wzoru (23.12) dla prądu zmiennego, który płynie w obwodzie
otrzymujemy
dq
, (23.13)
I = = I0 (É) Å"sin(Ét -Õ + Ä„ )
dt
gdzie
É U0
I0 (É) =
. (23.14)
2
L 2 2 2 2
(É0 -É ) + 4´ É
"Ostrość" rezonansowej krzywej prądu zmiennego (23.14) możemy wyrazić za pomocą
"É /É0 "É = É2 -É1
szerokoÅ›ci połówkowej wzglÄ™dnej, równej , gdzie , a czÄ™stoÅ›ci É1,2 sÄ…
częstości dla których
1
I0 (É1,2 ) = Å" I0 (É0 )
. (23.15)
2
UwzglÄ™dniajÄ…c wzór (23.14), dla czÄ™stotliwoÅ›ci É otrzymujemy równanie
1,2
ÉU0 1 1 U0
= Å"
.
2
L 2 2 2 2 L´
2 2
(É0 -É ) + 4´ É
SkÄ…d
2 2 2 2 2 2
8´ É = (É0 -É )2 + 4´ É Ò!
2 2
(É0 -É ) = Ä…2´É
. (23.16)
Równanie (23.16) ma rozwiązanie
2 2 2 2
,
É1 = -´ + ´ + É0 É2 = ´ + ´ + É0 .
Skąd dla szerokości połówkowej względnej znajdujemy
"É 2´ 2(R / 2L) C
= = = R
. (23.17)
É0 É0 L
(1/ LC )
294
Q
Wielkość odwrotna do szerokości połówkowej względnej nosi nazwę dobroci obwodu
É0 1 L
Q = = . (23.18)
"É R C
Opory pozorne cewki indukcyjności i kondensatora
Korzystając ze wzoru (23.11) znajdujemy następujący wzór na prąd, który płynie w
obwodzie
dq
I = = iI0 Å" exp[i(Ét -Õ)] a" (iI0 Å" e-iÕ ) Å" exp(iÉt)
. (23.19)
dt
2
É0 = 1/ LC
UwzglÄ™dniajÄ…c, że 2´ = R / L i , zapiszmy wzór (23.14) w postaci
É U U
0
I0 = = =
2 2
L 2 2 2 2
2
(É0 - É ) + 4´ É ëÅ‚ öÅ‚
É0 ÷Å‚
ìÅ‚ - LÉ + (L Å" 2´ )2
L
ìÅ‚ ÷Å‚
É
íÅ‚ Å‚Å‚
U0
=
2
. (23.20)
1
ëÅ‚
ìÅ‚ -ÉLöÅ‚ + R2
÷Å‚
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
U = U0 Å" exp(iÉt)
Po podstawieniu (23.20) do równania (23.19) i uwzględnieniu, że
otrzymujemy
exp(-iÕ)
I = i Å"U
2
. (23.21)
1
ëÅ‚
ìÅ‚ -ÉLöÅ‚ + R2
÷Å‚
íÅ‚ÉC Å‚Å‚
OznaczajÄ…c przez Z
2
1
ëÅ‚
, (23.22)
Z = -i Å" exp(iÕ) Å" -ÉLöÅ‚ + R2
ìÅ‚ ÷Å‚
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
wzór (23.21) możemy zapisać w postaci
295
U
I =
. (23.23)
Z
Wzór (23.23) jest analogiczny do wzoru, wyrażającego prawo Ohma dla prądu stałego (
I = U / R ). W związku z tym urojona wielkość nazywa się oporem pozornym albo zawadą.
Z
Ponieważ
1
ëÅ‚-ÉL + öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2´É R
1 ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
tgÕ = =
2 2 cosÕ = =
1
, ,
É0 - É
2 2
- LÉ
1+ tg Õ
1
ëÅ‚ÉL öÅ‚
ÉC
R2 + - ÷Å‚
ìÅ‚
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
R
sinÕ = cosÕ Å"tgÕ =
2
,
1
ëÅ‚ÉL öÅ‚
R2 + - ÷Å‚
ìÅ‚
ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚
ze wzoru (23.22) znajdujemy
2
1
ëÅ‚
Z = -i Å" exp(iÕ) Å" - ÉLöÅ‚ + R2 =
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ÉC Å‚Å‚
2 2
1 1
ëÅ‚ÉL öÅ‚ ëÅ‚ÉL öÅ‚
= -i Å" cosÕ Å" R2 + - ÷Å‚ ìÅ‚
+ sinÕ Å" R2 + - ÷Å‚
=
ìÅ‚
ÉC ÉC
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
i
= iÉL - + R
. (23.24)
ÉC
Ze wzorów (23.23) i (23.24) wynika, że w przypadku obwodów prądów zmiennych możemy
stosować prawa słuszne dla obwodów prądu stałego (prawo Ohma i prawa Kirchhoffa), jeżeli
cewce indukcyjności i kondensatorowi przypiszemy opory pozorne
i
ZL = iÉL ZC = - . (23.25)
,
ÉC
296
Równania Maxwella
Na poprzednich wykładach zapoznaliśmy z poszczególnymi równaniami pola
elektromagnetycznego. Teraz zapiszemy je wszystkie w tradycyjnej formie zwanej równaniami
Maxwella.
Pierwsze równanie Maxwella (równanie (23.26a) albo (23.26b)) wyraża prawo indukcji
Faradaya: zmienny w czasie strumień magnetyczny jest z
ródłem wirowego pola elektrycznego.
Całkowa postać równań Maxwella Różniczkowa postać równań Maxwella
rð rð
rð rð rð rð rð rð
"B "B
E Å" dl = - Å" dS [" × E] a" rotE = - , (23.26b)
+" +""t , (23.26a)
"t
L S
rð
rð
rð rð rð
rð rð rð rð
rð
ëÅ‚ öÅ‚ "D
"D
ìÅ‚ ÷Å‚ [" × H] a" rotH = j + , (23.27b)
H Å" dl = j + Å" dS
, (23.27a)
+" +"
ìÅ‚ ÷Å‚
"t
"t
L S íÅ‚ Å‚Å‚
rð rð rð
rð rð
(" Å" D) a" divD = Á , (23.28b)
D Å" dS = Á Å" dV
+" +"
, (23.28a)
S V
rð rð rð
(" Å" B) a" divB = 0 . (23.29b)
rð rð
B Å" dS = 0
+"
. (23.29a)
S
Z drugiego równania Maxwella (równanie (23.27a) albo (23.27b)) wynika, że pole
magnetyczne jest polem wirowym i z
ródłem tego pola są prądy przewodzenia oraz prądy
przesunięcia.
Trzecie równanie Maxwella (równanie (23.28a) albo (23.28b)) jest równoważne prawu
Coulomba. Z niego również wynika, że z
ródłem pola elektrycznego potencjalnego są ładunki
elektryczne i linii pola elektrycznego zaczynają się i kończą się na ładunkach elektrycznych.
Czwarte równanie Maxwella (równanie (23.29a) albo (23.29b)) oznacza że w
przyrodzie nie istniejÄ… "Å‚adunki" magnetyczne i linii pola magnetycznego sÄ… liniami
zamkniętymi.
W teorii Maxwella elektryczne i magnetyczne właściwości izotropowego środowiska są
określane trzema wielkościami:
1) przenikalnoÅ›ciÄ… dielektryczna µ substancji
rð rð
D = µ0µ Å" E , (23.30)
µ
2) przenikalnością magnetyczną
297
rð rð
B = µ0µ Å" H , (23.31)
3) przewodnoÅ›ciÄ… elektrycznÄ… wÅ‚aÅ›ciwÄ… Ã
rð rð
j = Ã Å" E . (23.32)
Układ czterech równań (23.26) - (23.29) oraz trzy równania materialne (23.30) -
(23.32) tworzą pełny układ równań teorii pola elektromagnetycznego Maxwella.
Fale elektromagnetyczne. Równanie falowe
Maxwell po raz pierwszy udowodnił, że z równań pola elektromagnetycznego (23.26) -
(23.29) wynika możliwość istnienia nawet w pustej przestrzeni (próżni) fal
elektromagnetycznych, rozchodzących się z prędkością równej prędkości światła w próżni.
Ten fakt pozwolił Maxwellowi założyć, że światło jest niczym innym, jak falą
elektromagnetyczną. Rozważmy elektromagnetyczną teorię światła Maxwella i najpierw
zapiszmy równania Maxwella w izotropowym ośrodku nie zawierającej ładunków
rð
Á = 0
elektrycznych ( ) i prądów przewodzenia ( j = 0 ):
rð
rð rð
"B
[" × E] = - , (23.33)
"t
rð
rð rð
"D
[" × H] = , (23.34)
"t
rð rð rð rð
(" Å" D) = µ0µ(" Å" E) = 0 , (23.35)
rð rð rð rð
(" Å" B) = µ0µ(" Å" H) = 0 . (23.36)
rð rð
W równaniach (23.35) i (23.36) uwzglÄ™dniliÅ›my, że dla izotropowych oÅ›rodków D = µ0µ Å" E i
rð rð
B = µ0µ Å" H .
rð
Pomnóżmy obustronnie równania (23.33) i (23.34) wektorowe przez operator
"
rð rð rð rð rð
"
[" ×[" × E]] = - [" × B]
, (23.37)
"t
rð rð rð rð rð
"
[" ×[" × H ]] = [" × D]
. (23.38)
"t
298
Korzystając z tożsamości wektorowej ("bac" minus "cab")
rð rð rð rð rð
rð rð rð rð rð rð rð rð rð rð
[a ×[b × c]] = b Å" (a Å" c) - c Å" (a Å"b) a" b Å" (a Å" c) - (a Å"b) Å" c ,
znajdujemy dla lewych części równań (23.37) i (23.38)
rð rð rð rð rð rð rð rð rð rð
["×["× E]]= "Å" ("Å" E) - ("Å" ") Å" E = -" Å" E
rð rð rð
rð rð rð rð , (23.39)
a c a c a b
b b
rð rð rð rð rð rð rð rð rð rð
["×["× H ]]= "Å" ("Å" H ) - ("Å"") Å" H = -" Å" H
rð rð rð
rð rð rð rð . (23.40)
a c a c a b
b b
rð rð rð rð
Tu uwzglÄ™dniliÅ›my wzór (23.35) ((" Å" E) = 0 ) i wzór (23.36) ((" Å" H) = 0 ) oraz wzór
rð rð
"2 "2 "2
" = (" Å"") = + +
. (23.41)
"x2 "y2 "z2
Dla prawych części równań (23.37) i (23.38), biorąc pod uwagę wzory (23.33) i (23.34),
otrzymujemy
rð rð
rð rð rð rð
ëÅ‚ öÅ‚
" " " "D "2E
ìÅ‚ ÷Å‚ -µ0µ0µµ
- [" × B] = -µ0µ [" × H ] = -µ0µ =
, (23.42)
2
ìÅ‚ ÷Å‚
"t "t "t "t "t
íÅ‚ Å‚Å‚
rð
rð rð rð rð
" " " "B "2H
ëÅ‚ öÅ‚
[" × D] = µ0µ [" × E] = -µ0µ =
. (23.43)
ìÅ‚ ÷Å‚ -µ0µ0µµ
2
"t "t "t "t "t
íÅ‚ Å‚Å‚
Po podstawieniu równań (23.39), (23.40) i (23.42), (23.43) do równań (23.37) i (23.38)
ostatecznie otrzymujemy
rð
rð
1 "2E
"E - = 0 , (23.44a)
2 2
Å "t
rð
rð
1 "2H
"H - = 0 , (23.44b)
2 2
Å "t
gdzie
1 1
2
Å = Å"
. (23.45)
µ0µ0 µµ
299
Z równaniami typu (23.44a) i (23.44b) już spotykaliśmy w pierwszej części Podstaw Fizyki. To
sÄ… tak zwane równania falowe. OkreÅ›lajÄ… oni ruch falowy z prÄ™dkoÅ›ciÄ… Å . Przed tym jak
rozważać rozwiązania równań falowych rozpatrzmy przypadek próżni (pustej przestrzeni) dla
µ = µ = 1
której . W tym przypadku, jak widać ze wzoru (23.45), prędkość fali jest określona
µ0 µ0
tylko przez fundamentalne stałe i i jest równa, jak okazuje się prędkości światła w
2
µ0 H" 8,9 Å"10-12 C /(N Å" m2 ) µ0 H" 1,3Å"10-6 H / m
próżni ( , )
1 1
c = = Å"109 H" 3Å"108 m / s
.
8,9 Å"1,3
µ0µ0
1/ µ0µ0
To, że wielkość
pokrywa się z prędkością światła w próżni nie jest przypadkową i
wynika z tego, że rozwiązania równań (23.44) reprezentują fali elektromagnetyczne, a światło
jest właśnie niczym innym jako falami elektromagnetycznymi. W ośrodku, zgodnie z (23.45),
prÄ™dkość fali elektromagnetycznej Å jest mniejsza od prÄ™dkoÅ›ci fali w próżni i wynosi
c
Å = < c
. (23.46)
µ Å" µ
Udowodnimy teraz, że rozwiązaniami równań (23.44a) i (23.44b) są fale
elektromagnetyczny rozchodzące się z prędkością Š.
y
W celu uproszczenia zapisu, zapiszmy równanie (23.44a) tylko dla - składowej
rð
wektora
E
"2Ey "2Ey "2Ey 1 "2Ey
+ + - = 0 (23.47)
2 2
"x2 "y2 "z2 Å "t
"Ey / "x = "Ey / "y = 0
i załóżmy, ze . Wtedy z równania (23.47) mamy
"2Ey 1 "2Ey
. (23.48)
- = 0
2 2
"z2 Å "t
Rozwiązanie równania (23.48) łatwo znalez
ć wprowadzając nowe zmienne
¾ = z -Å Å" t
, · = z +Å Å" t . (23.49)
Ey ¾, µ
Rozważając teraz jako funkcję zmiennych znajdujemy
300
"Ey "Ey "¾ "Ey "· "Ey "Ey
= Å" + Å" = +
, (23.50a)
"z "¾ "z "· "z "¾ "·
"Ey "Ey "¾ "Ey "· "Ey "Ey
= Å" + Å" = -Å Å" ( - )
. (23.50b)
"t "¾ "t "· "t "¾ "·
Ze wzorów (23.50) wynika, że
" " "
= +
, (23.51a)
"z "¾ "·
" " "
= -Å Å" ( - )
. (23.51b)
"t "¾ "·
Korzystając ze wzorów (23.51) otrzymujemy
"2Ey ëÅ‚ " " öÅ‚2 "2Ey "2Ey "2Ey
ìÅ‚ ÷Å‚
= + Ey = + + 2 , (23.52)
÷Å‚ 2 2
"z2 ìÅ‚ "¾ "· "¾ "· "¾"µ
íÅ‚ Å‚Å‚
"2Ey ëÅ‚ " " öÅ‚2 "2Ey "2Ey "2Ey
1
ìÅ‚
= - ÷Å‚ Ey = + - 2 . (23.53)
2 2 ìÅ‚ ÷Å‚ 2 2
Å "t "¾ "· "¾ "· "¾"µ
íÅ‚ Å‚Å‚
Po podstawieniu (23.52) i (23.53) do równania (23.48) znajdujemy
"2Ey 1 "2Ey "2Ey
- = 4 = 0 . (23.54)
2 2
"z2 Å "t "¾"·
A
atwo sprawdzić, że rozwiązaniem równania (23.54) jest suma dwóch dowolnych funkcji
¨1(·) ¨2 (¾ )
i
Ey (¾,·) = ¨1(¾ ) + ¨2 (·)
. (23.55)
¾
Istotnie, różniczkując (23.55) względem zmiennej otrzymujemy
"Ey "¨1(¾ )
= a" Åš(¾ )
. (23.56)
"¾ "¾
RóżniczkujÄ…c nastÄ™pnie (23.56) wzglÄ™dem zmiennej · uzyskujemy równanie (23.54).
z t
Przez zmienne i (patrz wzór (23.49)) równanie (23.55) możemy zapisać w postaci
301
Ey (¾,·) = ¨1(z -Å Å"t) + ¨2 (z +Å Å" t)
. (23.57)
¨1(z
Rozważmy teraz jakiÅ› punkt na krzywej -Åt)
A . Wtedy z równości
z -Å Å" t = const t z
wynika, że wzrostowi czasu odpowiada również wzrost . A zatem punkt
z
A będzie przesuwał się w dodatnim kierunku osi z prędkością Š. A więc funkcja
¨1(z -Åt) z
reprezentuje falÄ™ rozchodzÄ…cÄ… siÄ™ w dodatnim kierunku osi . Odpowiednie,
¨2 (z +Åt) z
funkcja reprezentuje falÄ™ rozchodzÄ…cÄ… siÄ™ w ujemnym kierunku osi .
Udowodniliśmy, że równanie (23.48) jest równaniem fal rozchodzących się z
z
prędkością światła w dodatnim i ujemnym kierunkach osi .
W zagadnieniach praktycznych najważniejszymi są fale o kształcie
¨1,2 = ¨102 Å" cos[k( z Ä…Å Å" t)]
, (23.58)
,
k = 2Ä„ /  = 2Ä„½ /( Å"½ ) = É /Å
gdzie .
W zapisie zespolonym fala (23.58) ma postać
¨1,2 = ¨102 Å" exp[i Å"(kz Ä… É Å" t)]
. (23.59)
,
(kz Ä… É Å" t = const
Powierzchni fazy stałej ) fali określonej wzorem (23.59) - czoło fali,
są płaszczyznami prostopadłymi do kierunku rozchodzenia się fali, czyli są prostopadłe do osi
Oz . Fali takie nazywamy falami płaskimi.
Fali postaci (23.58) nazywamy monochromatycznymi (zależą tylko od jednej częstości
É
) i harmonicznymi (opisuje ich funkcja cos albo sin) falami.
Fali płaskie są dobrym przybliżeniem w przypadku, gdy rozważamy punkty znajdujące
siÄ™ bardzo daleko od z
ródła fali. Gdyś jednak odległość od z
ródła nie jest wystarczająco duża,
stosujemy przybliżenie fali kulistej. Kulista fala harmoniczna ma postać
302
¨0
¨(r,t) = Å" cos(kr -É Å" t) , (23.60a)
r
lub, w zapisie zespolonym:
¨0
¨(r,t) = Å" exp[i(kr -É Å"t)] . (23.60b)
r
r
W równaniach (23.60) wielkość jest odległością punktu od z
ródła fali.
(kr
W przypadku fali kulistej powierzchni staÅ‚ej fazy - É Å" t = const
) będą miały postać
koncentrycznych powierzchni sferycznych, a nie płaszczyzn.
Oprócz fal płaskich i kulistych stosujemy też czasami przybliżenie fali walcowej. To
przybliżenie jest dobrym w przypadku z
ródła liniowego, albo przy przejściu fali płaskiej przez
nieskończenie długą i bardzo wąską szczelinę. Równanie fali walcowej harmonicznej wygląda
tak same jak równania (23.60). Jednak teraz w tych równaniach wielkość , a oś
r = x2 + y2
Oz jest osią symetrii walca, a także z
ródłem fali.
Rozważmy teraz falę płaską postaci
Ey = Ey0 Å" exp[i(kz + É Å" t)]
Ex = Ez = 0
, . (23.61)
Z pierwszego równania Maxwella (23.33) znajdujemy
rð rð rð
ex ey ez
rð rð
"Ey rð "Bx rð "By rð "Bz rð
" " "
[" × E] = = - ex = - ex - ey - ez
. (23.62)
"x "y "z "z "t "t "t
0 Ey 0
303
SkÄ…d
"By "Bz
"Bx "Ey
= = ik Å" Ey , = = 0 . (23.63)
"t "z "t "t
Z dwóch ostatnich równań wynika, że
By = Bz = 0
.
Całkując pierwsze z równań (23.63) względem czasu otrzymujemy
k 1
Bx (z,t) = ik Å" Ey0 exp[i(Ét + kz)]Å" dt = Å" Ey0 Å" cos(Ét + kz) = Å" Ey (z,t)
. (23.64)
+"
É Å
k /É = 2Ä„ /(2Ä„ Å"  Å"½ ) = 1/Å
Tu uwzględniliśmy, że .
rð rð
1/Å = µ0µµ0µ
BiorÄ…c pod uwagÄ™, że oraz B = µ0µ Å" H wzór (23.64) możemy
również zapisać w postaci
µ0µ Å" H (z,t) = µ0µ Å" Ey (z,t)
. (23.65)
x
Z równań (23.61) i (23.65) wynika, że:
1. drgania pola elektrycznego i magnetycznego są związany między sobą; stąd te fali
nazywamy falami elektromagnetycznymi;
rð rð
2. fale elektromagnetyczne sÄ… falami poprzecznymi: wektory i znajdujÄ… siÄ™ w
E B
rð
rð
płaszczyz
nie prostopadÅ‚ej do kierunku rozchodzenia siÄ™ fali k = k Å" ez ;
rð rð rð
3. trójka wektorów E, B,k tworzy trójkę wzajemnie prostopadłych wektorów;
rð rð
4. wzajemnie prostopadłe wektory i drgają w jednej fazie, czyli jednocześnie
E B
osiągają wartości zerowe i maksymalne.
Wektor Poyntinga - Umowa
z
Rozważana wyżej fala elektromagnetyczna przenosi w kierunku osi energię pola
elektromagnetycznego. Prędkość przepływu energii w dowolnej fali elektromagnetycznej przez
jednostkowÄ… powierzchniÄ™ opisuje tak zwany wektor Poyntinga - Umowa
rð rð rð
. (23.66)
S = [E × H ]
Udowodnimy wzór (23.66) na przykładzie fali elektromagnetycznej (23.61) i (23.64)
z
rozchodzÄ…cej siÄ™ w kierunku osi .
304
z
W ciągu czasu dt przez powierzchnie dS prostopadłej do osi przepłynie energia
zawarta w objÄ™toÅ›ci dV = Å Å" dt Å" dS
dW = w Å" (Å Å" dt Å" dS)
, (23.67)
w
gdzie - gęstość objętościowa energii pola elektromagnetycznego
rð rð rð rð
1 1 1
2 2
w = (E Å" D) + (B Å" H ) = (µ0µ Å" E + µ0µ Å" H )
. (23.68)
2 2 2
Z równania (23.65) wynika, że
2 2
µ0µ Å" H (z,t) = µ0µ Å" E (z,t)
. (23.69)
A zatem ze wzoru (23.68) znajdujemy
rð rð
1 1
2 2 2
w = (µ0µ Å" E + µ0µ Å" H ) = µ0µ Å" E = µ0µ Å" E Å" µ0µ Å" H = [E × H
. (23.70)
2 Å
Po podstawieniu (23.70) do wzoru (23.67) otrzymujemy
rð rð
dW = w Å" (Å Å" dt Å" dS) = dt Å" dS Å" [E × H]
. (23.71)
Skąd dla prędkości przepływu energii fali elektromagnetycznej przez jednostkową
powierzchnie prostopadła do kierunku propagacji fali uzyskujemy
rð rð rð
S = [E × H]
. (23.72)
305