3582308387

Edited by Foxit PDF Editor

Copyright (c) by Fox.it Software Company.. 2003 - 2009 For Evaluation Only,

Wykład 11 i 12: Całka oznaczona: metody obliczania, zastosowania

semestr zimowy; rok akademicki 2012/2013

Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciągłej

Definicja 1. Załóżmy, że funkcja f jest ciągła na przedziale [o, 6]. Całkę oznaczoną z funkcji ciągłej f na przedziale [a, 6] definiujemy wzorem

jj(x)dx=hm_o    +

-    fc—1

O)

Korzystając z wprowadzonej notacji, pole „trójkąta parabolicznego” można wyrazić następująco:

[

x²dx.

Obliczanie całek - wielomiany

Niech W(x) = oq + a\X + aix² +... + a_nxⁿ.

[ W{x)dx = ooa: +    x² 4- ^x³ +... + ^ -sⁿ⁺¹ + C

J    &    O    fl T 1

Obliczanie całek • funkcje wykładnicze

DlaMO:

f e^dt = le^M + C

Całka iloczynu funkcji wykładniczej i wielomianu

J xe^xdx=xe^x-J e^xdx = xe^x - e* + C,

J x²e^xdx = x²e^x — J 2xe^xdx = e^x(x² — 2x + 2) + C. Postępując podobnie: obliczamy całki /x^me^xdx, to = 3,4,....

Komentarz: całkowanie to raczej sztuka niż „automatyczne” stosowanie kilku reguł obliczeniowych.

Całkowanie funkcji wymiernych

Dla funkcji

/(*) =

-P(s)

Q{xV

gdzie P i Q są wielomianami, całkę f f(x)dx możemy obliczyć korzystając z metod przedstawionych w książce K. Kura-towskiego w podrozdziale 9.4. Algorytm obliczania całek / /(sin x)dx, f f(cosx)dx itd. można znaleźć w podrozdziale 9.6 tej książki.

Przykłady całek nieoznaczonych, których nie można obliczyć przy użyciu standardowych metod

Następujących całek nie da się przedstawić za pomocą funkcji elementarnych

/^8ta(cosa*^fe'

Uwaga, Przybliżoną wartość całki oznaczonej f* sin (cos x)dx dla zadanych aib możemy obliczyć przy użyciu metod numerycznych, dostępnych w systemach algebry symbolicznej i pakietach numerycznych. O tym - podczas następnego wykładu.

1