1109145113

odosobnionego. Związki te nie są spełnione, gdy działają siły zewnętrzne. Ich prawa strona musi być odpowiednio zmodyfikowana.

W zatosowaniach do dynamiki konstrukcji stosuje się zwykle współrzędne uogólnione, występujące w równaniach Lagrange’a — Eulera. Można je wprowadzić przez transformację

r,- = r_f (51,....g₃iv), i = l,...,iV.    (18)

Transformacja ta jest w powyższej postaci odwracalna. Ogólnie wymaga się, aby całkowita liczba n tych współrzędnych nie była mniejsza od ilości stopni swobody d = 3N. Oznacza to, że macierz

jJ^-J , i = 1,... ,AT, a = 1,...,rc,    (19)

jest dodatnio określona dla n = d, a dla n> d

rank

= d.

(20)

Zamiana zmiennych prowadzi do następującej transformacji funkcji Lagrange’a

L

E_k

E_k-U,

i !>£(£*-)■ £(§*•)-

(21)

1    dr i dr i \ . .

5 SI

dr i dti ^m% dq_a dq_p

gdzie macierz bezwładności B ma własności

det B    >    0    dla    n = d = 3N,    (22)

det. B    =    0    dla    n > d,

i B jest nieujemnie określona w drugim przypadku. Macierz bezwładności B jest w ogólnym przypadku funkcją współrzędnych uogólnionych q_a, a to oznacza, że funkcja La-grange’a nie rozbija się addytywnie na człony zależne tylko od prędkości q — [<?i, • • •, q_n]^J i tylko od położeń q = [<Zi, ■ • •, q_n\^T■

Dla układów liniowych (q określa małe odchylenie od zerowego stanu początkowego) energia potencjalna U ma również postać kwadratową. We współrzędnych uogólnionych ma ona postać

U = E, = iq^T ■ Kq.    (23)

gdzie K jest macierzą sztywności. Do jej konstrukcji przy pomocy sztywności k, charakterystycznych dla każdego stopnia swobody i odpowiedniej macierzy transformacji A = [dri/dq_a] powrócimy później.

Przy dyskretnym modelowaniu układów ciągłych, takich jak układy belkowe, pojawiają się również siły dysypatywne, związane z lepkością materiału lub też dysypacją zewnętrzną

8