147229715

I WM, studia stacjonarne I stopnia, 2010/2011 Algebra z geometrią Lista 1

1.    Ustalić, czy poniższa wypowiedź jest zdaniem w logice. Jeśli tak, to podać jego wartość logiczną.

a)    Czy liczba 7r² jest większa od 10?

b)    Liczba rr jest większa od 10.

c)    Liczba ~² jest mniejsza od 10.

d)    Liczba naturalna n jest mniejsza od 10.

e)    Pewna liczba naturalna jest mniejsza od 10.

f)    Każda liczba naturalna jest mniejsza od 10.

2.    Sprawdzić, że następujące wyrażenia są prawami rachunku zdań (tautologiami):

a) ~ (arA ~ a), b) ~ (~ a) -*=> a, c) ~ (aA J) (~ aV ~ /?),

d) ~ (a V 3)    (~ aA ~ 3), e) (a => 3) <=> (~ 3    a), f) [a A (a => /?)] => 3,

g) [(a A 3) => 7] <=> [a =► {3 => 7)]. h) [(a V /?) V 7]    [a V (0 V 7)],

i)    [(a A 3) A 7] «• [a A (3 A 7)], j) [a A (3 V 7)] <=> [(a A 3) V (a A 7)],

k) [a V (3 A 7)]    [(a V 3) A (a V 7)].

3.    Sprawdzić, czy są tautologiami następujące wyrażenia:

a)    [(a => 3) A (/3 =► a)] <=>■ (a <=> /?), b) [~ a A (a V /?)] => 3, c) (a ^ j3) ^ (a V /3), d) a => (~ a V /?), e) [(a =$■ 3) A (/? => 7)] => (a => 7), f) ~ (a => /?) <=> (aA ~ 3),

g) [(a A 3) => 7] =s- [a A {3 => 7)], h) (a => 3) => [(7 V a) => (7 V /?)].

4.    a) Zdefiniuj koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji.

b)    Zdefiniuj alternatywę za pomocą koniunkcji i negacji.

c)    Zdefiniuj alternatywę za pomocą implikacji i negacji.

5.    Określić wartość logiczną zdań złożonych:

a)    (2^{1 2} = 16) A ( V99 = 9),

b)    ~ (4 • 6 = 23),

c)    (7 > 6) V (3 < 2),

d)    (| — 3| = -3) V (cosTT = —1),

e)    (log₂8 = 3) => (sina- — 2),

f)    (e = 3) =» (w = 1).

T. II

1

Określić wartość logiczną każdego zdania i napisać jego zaprzeczenie (2, y - zmienne rzeczywiste):

a) V ^x2 — 1 > 0, b) V n/z^ = z, c) /\ z² + 1 > 0, d) /\ n/z^ = z, e) /\ z² — 1 > 0, f) A Vx² + 1 = z + 1, g) A(x + 2)² = z² +4, h) A Az + y = 0, i) A Vz + 2/ =

2

j)    + y = 0, k) AV*i/ = i-