Grupa addytywna (ad di ty w na) - grupa z określonym działaniem grupowym dodawania (działanie ma własności podobne do dodawania liczb ) i elementem neutralnym 0 (zwykle jest to grapa abelowa). Grupa multyplikatywna (multiplikatywna) - grupa z określonym działaniem grupowym mnożenia (działanie ma własności podobne do mnożenia liczb) i elementem neutralnym 1.
Grupa tryw ialna - grupa, która zawiera tylko jeden element - e.
Grupa ni et ry wialń a - grupa, która zawiera eo najmniej 2 elementy.
Grupa prosta - grupa, która nie zawiera podgrup nietrywialnych.
Grupa skończona (nieskończona) - grupa posiadająca skończoną (nieskończoną) ilość elementów.
Rząd grupy (rzG )-jest to liczba (ilość) elementów tej grupy (rząd grupy oz.nacz.amy: rzG. |G|, #G). Jeśli zbiór G jest nieskończony, to mówimy, że grupa G ma rząd nieskończony i piszemy rzG = co.
Działanie w grupie skończonej można opisać za pomocą tabelki - przykłady poniżej.
|
Tabelka działania grupy rzęd |
u 3 | ||
|
0 |
e |
a |
b |
|
e |
e |
a |
b |
|
a |
a |
b |
e |
|
b |
b |
e |
a |
Tabelka działania grupy rzędu 2
|
0 |
e |
a |
|
e |
e |
a |
|
a |
a |
e |
Rząd elementu a grupy G - najmniejsze xe N, takie że: ax -e (e - element neutralny grupy G). Rząd elementu a skończonej grupy G jest rzędem podgrupy generowanej przez dany element a. Jeżeli nie istnieje xe N. takie że: ax =e. to a nazywamy elementem nieskończonego rzędu grupy G.
Rzędem elementu a w skończonej grupie G nazywamy, dla grupy:
• addytywnej: takie k. że ak = 0 (suma k elementów a = elementowi neutralnemu)
• multiplikatywnej: takie A:, ze ak = 1 (iloczyn k elementów a = elementowi neutralnemu)
Minimalny (wierny) stopień grupy skończonej G - jest to najmniejsza liczba naturalna n, taka że G < S„ (Sn - grupa symetryczna/per mutacji rzędu n). Minimalny stopień grupy G oznaczamy: fl (G).
Podgrupą (P. 0) grupy (G, 0. e) nazywamy podzbiór P grupy G. który sam jest grupą ze względu na istniejące w grupie działanie. Formalnie zapisujemy, że P < G gdy spełnione są następujące warunki:
|
(1) eeP |
(2) |
A a,be P |
(a Ob) e P |
(3) /\ de P ae P | |
|
lub prościej: |
(1) e e P |
(2).(3) |
A a,be P |
(b Od) e P. |
Uwagi
• Element neutralny e i elementy symetryczne (odwrotne) d grupy i jej podgrupy są identyczne.
• Jeżeli P < G, to rzP < rzG
• Podzbiór złożony tylko z elementu neutralnego jest podgrupą - podgrupa tryw ialna.
• Cała grupa jest swoją własna podgrupą - podgrupa niewłaściwa.
• Podgrupa normalna P (niezmiennicza) w grupie G: /\ u P = Pa i a P = Pd, gdzie:
a e G
- warstwa prawostronna Pa - zbiór wszystkich elementów grupy, będących iloczynem elementu a przez dowolny element podgrupy P.
- warstwa lewostronna aP - zbiór wszystkich elementów grupy, będących iloczynem dowolnego elementu pod grupy P przez element a.
• Indeks podgrupy P w grupie G - liczba (moc zbioru) warstw lewostronnych grupy G względem P, oznaczamy (G:P). Jeżeli (G:P) -2 to P jest dzielnikiem normalnym G.
© Copyright by Iiwa Kędzi orczyk - 225 - www.matematyka.sosnowiec.pl