3226794634

C. §zęzeg.pl.nęprz.yp.ad

Grupa addytywna (ad di ty w na) - grupa z określonym działaniem grupowym dodawania (działanie ma własności podobne do dodawania liczb ) i elementem neutralnym 0 (zwykle jest to grapa abelowa). Grupa multyplikatywna (multiplikatywna) - grupa z określonym działaniem grupowym mnożenia (działanie ma własności podobne do mnożenia liczb) i elementem neutralnym 1.

Grupa tryw ialna - grupa, która zawiera tylko jeden element - e.

Grupa ni et ry wialń a - grupa, która zawiera eo najmniej 2 elementy.

Grupa prosta - grupa, która nie zawiera podgrup nietrywialnych.

Grupa skończona (nieskończona) - grupa posiadająca skończoną (nieskończoną) ilość elementów.

Rząd grupy (rzG )-jest to liczba (ilość) elementów tej grupy (rząd grupy oz.nacz.amy: rzG. |G|, #G). Jeśli zbiór G jest nieskończony, to mówimy, że grupa G ma rząd nieskończony i piszemy rzG = co.

Działanie w grupie skończonej można opisać za pomocą tabelki - przykłady poniżej.

Tabelka działania grupy rzęd			u 3
0	e	a	b
e	e	a	b
a	a	b	e
b	b	e	a

Tabelka działania grupy rzędu 2

0	e	a
e	e	a
a	a	e

Rząd elementu a grupy G - najmniejsze xe N, takie że: a^x -e (e - element neutralny grupy G). Rząd elementu a skończonej grupy G jest rzędem podgrupy generowanej przez dany element a. Jeżeli nie istnieje xe N. takie że: a^x =e. to a nazywamy elementem nieskończonego rzędu grupy G.

Rzędem elementu a w skończonej grupie G nazywamy, dla grupy:

• addytywnej:    takie k. że ak = 0 (suma k elementów a = elementowi neutralnemu)

• multiplikatywnej:    takie A:, ze a^k = 1 (iloczyn k elementów a = elementowi neutralnemu)

E. St.ęp.i.ęń.a.rupy,

Minimalny (wierny) stopień grupy skończonej G - jest to najmniejsza liczba naturalna n, taka że G < S„ (S_n - grupa symetryczna/per mutacji rzędu n). Minimalny stopień grupy G oznaczamy: fl (G).

F. Podgrupą

Podgrupą (P. 0) grupy (G, 0. e) nazywamy podzbiór P grupy G. który sam jest grupą ze względu na istniejące w grupie działanie. Formalnie zapisujemy, że P < G gdy spełnione są następujące warunki:

	(1) eeP	(2)	A a,be P	(a Ob) e P	(3) /\ de P ae P
lub prościej:	(1) e e P	(2).(3)	A a,be P	(b Od) e P.

Uwagi

•    Element neutralny e i elementy symetryczne (odwrotne) d grupy i jej podgrupy są identyczne.

•    Jeżeli P < G, to rzP < rzG

•    Podzbiór złożony tylko z elementu neutralnego jest podgrupą - podgrupa tryw ialna.

•    Cała grupa jest swoją własna podgrupą - podgrupa niewłaściwa.

•    Podgrupa normalna P (niezmiennicza) w grupie G: /\ u P = Pa i a P = Pd, gdzie:

a e G

-    warstwa prawostronna Pa - zbiór wszystkich elementów grupy, będących iloczynem elementu a przez dowolny element podgrupy P.

-    warstwa lewostronna aP - zbiór wszystkich elementów grupy, będących iloczynem dowolnego elementu pod grupy P przez element a.

•    Indeks podgrupy P w grupie G - liczba (moc zbioru) warstw lewostronnych grupy G względem P, oznaczamy (G:P). Jeżeli (G:P) -2 to P jest dzielnikiem normalnym G.

© Copyright by Iiwa Kędzi orczyk    - 225 -    www.matematyka.sosnowiec.pl