3226794640

5. PODSTAWOWE KRZYWE STOPNIA DRUGIEGO

Krzywe stożkowe są nazywane krzywymi drugiego stopnia, ponieważ można każdą z nich opisać równaniem algebraicznym stopnia drugiego względem obu zmiennych x. y (w kart ezjańs kim układzie współrzędnych).

Równanie ogólne linii stopnia drugiego:

(*) Ax² 4- By² 4- Cxy 4- Dx 4- Ey 4- F = 0.

Jeżeli przynajmniej jedna z liczb A, B. C jest różna od zera. to powyższe równanie może przedstawiać krzywe stożkowe niezdegenerowane: okrąg, elipsę, parabolę, hiperbolę, a w przypadkach osobliwych krzywe stożkowe zdegenerowane: parę prostych, prostą, punkt lub zbiór pusty.

Szczególnie, gdy omawiana krzywa zostanie obrócona o pewien kąt względem układu współrzędnych, wówczas występuje w równaniu współczynnik C ź 0. Często dla uproszczenia omawiamy głownie równania, gdzie C = 0 (w razie potrzeby kilkoma przekształceniami znajdujemy ten kąt obrotu).

Kcćda z. wymienionych figur może powstać w wyniku przekroju pewnej powierzchni		Krzywe stożkowe niezdegenerowane (właściwe):
		OKRĄG - płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi obrotu stożka i nie przechodzi przez jego wierzchołek.	x^2 + y^1 = r^2
stożkowej płaszczyzną - tz.w. płaszczyzną tnącą.		KLIPSA - płaszczyzna tnąca tworzy z osią obrotu stożka kąt większy od kąta pomiędzy osią obrotu i tworzącą tego stożka.	^ y^2~7 4 JT = ^1a^z b^L
	oś obrotu	II1PKRBOLA - płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi obrotu stożka, albo tworzy kąt mniejszy od kąta pomiędzy osią obrotu i tworzącą tego stożka.	e- y^1a^1 b^1 ~ ^1
v ■" r /	dZp 1	PARABOLA - płaszczyzna tnąca jest równoległa do tworzącej stożka.	y^2 = 2 px
		Krzywe stożkowe zdegenerowane (niewłaściwe):
	'/ wierzchołek »\	DWIE PROSTE (hiperbola zdegenerowana) - płaszczyzna tnąca zawiera oś obrotu stożka.	x^2 y^2 —-TT = ° a- b^2
	\ \ tworz.ącą ,L -\ i Ty \ / W - 4-A ^ \	PARA PROSTYCH równoległych.	y^1 = a^2
		( ) - płaszczyzna tnąca zawiera jedną tworzącą stożka.	V^2 = 0
		PUNKT - płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi obrotu stożka i przechodzi przez jego wierzchołek.	x^2 y^2 - ^+ TT ^= 0 a^1 b^z
		ZBIÓR Pl‘S'TY (np. elipsa urojona) -płaszczyzna x^2 y^2tnąca nie posiada punktów wspólnych ze stożkiem, fjf- ~

A. Rów. na n ie. b je g. u n owe

Postać biegunowa równania (*) (patrz współrzędne biegunowe):

gdzie:    a,b,c ^ 0

P

(**) r = --

1 + £COS(p

Wszystkie krzywe stożkowe można opisać równaniem biegunowym postaci: r ■ (1 4- e cos <p) = p.

gdzie: (r, (p) - współrzędne punktu (yv układzie biegunowym), p - parametr {decyduje o kącie między tworzącą, a osią stożka), e - mimośród, który decyduje o rodzaju krzywej: okrąg (e = 0), elipsa (()<£< 1), parabola (f= 1), hiperbola ie > 1).

patrz współrzędne biegunowe

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk    - 253 -    www.rnatematyka.sosnowiec.pl