4130649706

5 D.E.Knuth, Sztuka Programowania, WNT, 2001.

6.    N. Wirth, Algorytmy + Struktury Danych = Programy, WNT, 2000 (wyd. 5).

7.    D. Harel, Rzecz o Istocie Informatyki: Algorytmika, WNT, 2000 (wyd. 3)

7. Analiza funkcjonalna 1 [AFN 661]

Specjalność    N+Z    Poziom    6    Status    O

L. godz. tyg.    2 W + 2    Ćw L. pkt.    5+1    Socr. Codę    11.1

Przestrzenie unormowane: Pojęcie przestrzeni unormowanej i przestrzeni Banacha; przykłady. Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe; twierdzenie Riesza. Przekształcenia liniowe przestrzeni unormowanych; przestrzeń sprzężona. Szeregi w przestrzeniach unormowanych. Twierdzenie Hahna-Banacha. Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym i twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym. Twierdzenie o domkniętym wykresie. Twierdzenie Banacha-Steinhausa.

Przestrzenie unitarne: Pojęcie przestrzeni unitarnej i przestrzeni Hilberta; przykłady. Twierdzenie Jordana - von Neumanna. Twierdzenia o zbiorze wypukłym i rzucie prostopadłym. Twierdzenie Riesza o postaci ciągłych funkcjonałów liniowych. Układy ortonormalne i szeregi Fouriera.

Szeregi Fouriera funkcji zespolonych: Twierdzenie Fejera. Zupełność układu trygonometrycznego. Twierdzenie Riesza-Fischera. Kryterium Diniego. Szeregi Fouriera zbieżne jednostajnie.

Zaliczenie przedmiotu: egzamin, (przedmiot może być kontynuowany).

Literatura:

1.    A. Alexiewicz; Analiza funkcjonalna. MM 49, PWN, 1969.

2.    W. Kołodziej; Wybrane rozdziały analizy matematycznej. BM 36, PWN, 1970.

3.    W. Kołodziej; Analiza matematyczna. PWN, 1978.

4.    H. i J. Musielakowie; Analiza matematyczna, t. 1, cz. 2, Wydawnictwo Naukowe UAM 1993.

5.    J. Musielak; Wstęp do analizy funkcjonalnej. PWN, 1976.

6.    S. Rolewicz; Metric Linear Spaces. PWN & D. Reidel Publishing Company, 1984.

7.    W. Rudin; Functional analysis. McGraw - Hill Book Company 1973. [wyd. rosyjskie: Mnp, 1975]

8.    W. Rudin; Podstawy analizy matematycznej. PWN, 1976.

8. Analiza matematyczna 1 i 2 [ANA 811, 2]

Specjalność	I+N+T+Z	Poziom	1 - 2	Status	O
L. godz. tyg.	4 W + 4 Ćw	L. pkt.	11	Socr. Codę	11.1
L. godz. tyg.	4 W + 4 Ćw	L. pkt.	13	Socr. Codę	11.1

Aksjomatyka i konstrukcje zbioru liczb rzeczywistych. Kresy. Teoria granic ciągów rzeczywistych. Preliminaria topologiczne: przestrzenie metryczne i pojęcia z nimi związane. Przykłady. Przegląd podstawowych rodzajów przestrzeni metrycznych.

Teoria granic odwzorowań. Granice funkcji rzeczywistych. Granice ekstremalne. Odwzorowania ciągłe, jednostajnie ciągłe i warunek Lipschitza. Ciągłość a zwartość; ciągłość a spójność; własność Darboux. Nieciągłości. Funkcje monotoniczne i wypukłe.

Rachunek różniczkowy funkcji zmiennej rzeczywistej. Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej. Różniczka. Twierdzenia o wartości średniej. Wzór Taylora i jego zastosowania. Ekstrema. Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona.

Szeregi elementów przestrzeni unormowanych. Ogólne kryteria zbieżności. Zbieżność bezwzględna. Szeregi liczb nieujemnych. Mnożenie szeregów i iloczyny nieskończone. Ciągi i szeregi funkcyjne. Rodzaje zbieżności ciągów funkcyjnych; zbieżność a ciągłość, różniczkowanie i całkowanie. Metryzacja zbieżności jednostajnej; przestrzenie funkcyjne. Twierdzenia aproksymacyjne.

Teoria szeregów potęgowych. Szereg Taylora. Funkcje holomorficzne a funkcje klasy C°°. Analityczne definicje przestępnych funkcji elementarnych. Szeregi Fouriera: kryteria zbieżności punktowej i twierdzenie Fejera.

Teoria całki Riemanna na przedziale zwartym. Kryteria całkowalności. Wzór Newtona-Leibniza. Twierdzenia o wartości średniej dla całek. Całki niewłaściwe; związki z teorią szeregów. Geometryczne zastosowania całek Riemanna.

Zaliczenie przedmiotu:    po I semestrze - zaliczenie ćwiczeń;

po II semestrze - egzamin.

20