5987093073

5. Wartość kapitału w czasie

Przykład. 1 stycznia 2015 roku kapitał ma wartość K = 1000 zł. Przy oprocentowaniu prostym ze stopą roczną i = 25% 1 stycznia 2016 roku kapitał ten będzie miał wartość Ki = AT(1+0,25) = 1000-1,25 = 1250 zł. 1 stycznia 2014 roku miał wartość Kq = K/(1 + 0,25) = 1000/1,25 = 800 zł. Gdyby 1 stycznia 2013 roku ten kapitał został wpłacony na 2 letnią lokatę oprocentowaną według modelu prostego to 1 stycznia 2016 wart byłby 800(1 + 0,25 ■ 2) = 1200 zł. Natomiast gdyby kapitał 1250 zł zdyskontować ze stopą procentową r = 25% przez dwa lata według modelu prostego to otrzymalibyśmy kapitał początkowy 1250/(1 + 0,25 • 2) = 1250/1,5 = 833,33. Czyli

2014.01.01    2015.01.01    2016.01.01

800 zł <—    1000 zł —►    1250 zł

800 zł -*    1200 zł

833,33 zł *- 1250 zł

Powodem tych różnic jest składanie operacji oprocentowania w pierwszym wierszu (odsetki procentują).

□

Aktualizacja wartości kapitału to obliczenie wartości kapitału, znanego w danym momencie, w dowolnym innym momencie. Jeżeli obliczamy wartość kapitału w przyszłości to mówimy o Futurę Value i oznaczamy FV. Wartość obecną nazywamyPresent Value i oznaczamy PV.

Obliczenie FV przy danej PV to oprocentowanie, a obliczenie PV gdy dana jest FV to dyskontowanie rzeczywiste, (nie mylić z dyskontowaniem handlowym).

Przykład. Mam teraz w banku 500 zł na lokacie rocznej oprocentowanej 10%, za rok dostanę 550 zł. Jaki kapitał mam teraz? Ile będę miał za rok?

Za rok będę miał 500 zł lokaty plus 10% czyli 550 zł oraz 550 nowej wpłaty, czyli razem 1100 zł. Teraz mam 500 zł lokaty i 550 zdyskontowane na dziś, czyli 550/(1 + 0,1) = 500. Razem dziś mam 1000 zł.

Trzeba zwrócić uwagę, że ani dziś ani za rok nie będę miał 1050 zł co wynika z prostego dodania kwot nominalnych.    □

Wartość kapitału w czasie wyrażamy jako funkcję K(t) gdzie £ € IR jest czasem wyrażonym w latach. Przyjmujemy, że K(t₀) > 0 to znana wartość kapitału w czasie £₀. Będziemy rozważać oprocentowanie składane (dlaczego - wyjaśnienie później) z roczną stopą procentową r > 0 oraz rocznym okresem kapitalizacji. Korzystamy zatem z modelu:

FV

FV = PV{1 + r)ⁿ, PV = ę_{1 + r})„ =FV{ l + r)~".

Jeżeli £ > £₀ to K(t) jest wartością przyszłą (FV) kapitału aktualnego K(t₀) (czyli K(t₀) to PV), a czas oprocentowania wynosi £ — £o i wtedy K(t) = K(to)(l + r)^ł~‘°. Jeżeli natomiast £ < £o to K(t) jest wartością aktualną dla wartości przyszłej K(to) z czasem oprocentowania £o - £, zatem K(t) = K(£o)(l + r)^-^^0-t) = K(£o)(l +r)^t_'°. Zatem wartość kapitału K(to) zaktualizowana na dowolny moment £, wcześniejszy, późniejszy lub nawet równy to, jest równa

K(t) = K(£o)(l + r)^l~^to gdzie £ei.

Jest to model wartości kapitału w czasie przy stopie oprocentowania rocznego r. Ten model ma trzy własności.

(a) Model nie zmienia się, jeżeli wartość początkową kapitału K(to) zamienimy na wartość tego kapitału zaktualizowaną na dowolny moment tj. Dla kapitału początkowego K(t\) w momencie t\ model ma postać K(t) = K(ti)( 1 + r)^t-tl, a ponieważ wiemy, że K(t{) = K(£₀)(l + r)^tl_t° to

K(t) = K(ti)(l + r)¹-¹' = K(t₀)(l + r)‘‘-'°(l + r)^' = K(t₀)( 1 + r)‘-‘°.