7164239716

gdzie L odcinek łączący punkty A = (1,1,1) i B = (2,3,2).

d) Jy]x² + y² + z²dl gdzie L jest lukiem powstałym z przecięcia walca x²+y² =4 i płaszczyzny z = 2.

gdzie L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach:. A = (0,2); B = (4,2); C = (4,0). gdzie L jest łukiem powstałym z przecięcia walca x² + y² = 1 i płaszczyzny z = 1 + y. gdzie L jest łukiem powstałym z przecięcia stożka z = *Jx² +y² i walca x² + y² = y.

a) Odp: 1+ 72; b) Odp: 8; c) Odp:2; d) Odp: 872/r ; e) Odp:    ; f)Odp: 3/r; g) Odp:

2.    Obliczyć długość łuku L o opisie parametrycznym:

a)    r(£) = (a(£-sin£),a(l-cos£)) dla £e[0,2;r] i a>0 (wycinek cykloidy) Odp: 8a

b)    r(£) = (acos£,asin£,a£) dla te [0,2/r] i a>0 (wycinek linii śrubowej) Odp: 272a;r

c)    r(£) = {e~^l cos£,e~' sin£,e^-') dla £e[0,co) i (wycinek spirali)    Odp:    73

3.    Obliczyć masę łuku z zadania la),b),c),d),e) o gęstościach liniowych : a) p(x,y) = x + y b) p(x,y) = ^jx² + y² c)p(x,y) = — d)p(x,y) = -Jx² +y² +z² e) p(x,y)=xy

Z

o fc.

a) Odp: 1 + 72 ; b) Odp: 8;c)Odp:2; d) Odp: 872n ; e) Odp: -

3

4. Obliczyć współrzędne środka ciężkości jednorodnego p(x,y,z) = lłuku:

a)    wycinka linii śrubowej r(f) = (ćJCOS(,asinf,bt)dla t e [0,2;r] Odp: x_s = y_s = 0;z_s = xb.

e⁴ +4e² -1

Odp:x =0,v =    .

^s    4e(e² -1)

^odP^; x_s =y_s =z_s

3 n

b) wycinka linii łańcuchowej y(x) = i(e^x + e~^x) dla x e [—1,1]

c)    brzegu trójkąta sferycznego x² + y² + z² =1 dla x,y,z > 0.

B. Całka krzywoliniowa zorientowana z pola wektorowego W ciągłego po łuku L gładkim zorientowanym o opisie parametrycznym r = r(t) dla t e [a_yp] zgodnym z orientacją łuku L*

wyraża się wzorem jW(r) • di = Jw(r(t))-r'(t)dt gdzie: r\t) wektor styczny do łuku w punkcie r(t) e L .

L*    a

Gdy łuk przestrzenny Lc R³ jest dany w postaci parametrycznej r(f) = (x(f),y(f),z(f)) dla £ e[a,fi] to wektor styczny do łuku punkcie r(£) = (x(£),y(£),z(£))eL ma postaćr'(£) = [x'(£),/(t),z'(t)] i całka krzywoliniowa zorientowana z pola wektorowego W = [P,Q_fR] po tym łuku wyraża się wzorem

fi

I P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = J f P(x(t), y(t), z(t))x'(t) + QM0, y(0. z(t))y'(0 + K(x(0> y( 0. z(t))z'(i)]di

L‘    a

Gdy łuk płaski LcR² jest dany w postaci parametrycznej r(£) = (x(f), y(f)) dla £ e. [ar,/?] to wektor styczny do łuku punkcie r(£) = (x(£),y(£)) e L ma postać r'(£) = [*'(£),y'(£)] i całka krzywoliniowa zorientowana z pola wektorowego W = [P, Q] po tym łuku wyraża się wzorem

fi

J P(x,y)dx +Q(x,y)dy = J[P(x(r), y(t)).*'(r)+Q(x(t),y(t))y'(01^dt

L‘    a

(idy łuk płaski L jest dany w postaci jawnej (wykresu funkcji) y = y(x) dla x e [a,b] to wektor styczny do łuku w punkcie r(x) = (x,y(x)) e L ma postać r'(x) = [l,y'(x)] i całka krzywoliniowa zorientowana z pola wektorowego W =[P,Q] po tym łuku wyraża się wzorem